数学建模例题及解析.docx
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数学建模例题及解析
例1差分方程一资金的时间价值
问题1:
抵押贷款买房——从一则广告谈起
每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房,但又没有足够的资金一次买下,这就产生了贷款买房的问题。
先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房而积、设施等等,人们关心的是:
如果一次付款买这栋房要多少钱呢?
银行贷款的利息是多少呢?
为什么每个月要付1200元呢?
是怎样算出来的?
因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按吋还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。
现在我们来进行数学建模。
由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。
a.明确变量、参数,显然下面的量是要考虑的:
需要借多少钱,用月。
记;
月利率(贷款通常按复利计)用R记;
每月还多少钱用x记;
借期记为N个月。
b.建立变量之间的明确的数学关系。
若用月树己第k个月时尚欠的款数,则一个
月后(加上利息后)欠款^+1=〔1+氏〕虫£,不过我们又还了x元
所以总的欠款为
弘1=〔1+去〕/宀k二0,1,2,3,
而一开始的借款为°。
.所以我们的数学模型可表述如下
4上+]=(1+氏)上=0,1,2,3,
局己知(不妨假设缶为己知)
(1)
c.
(1)的求解。
由
+Ai-x=(1十去〕[(1十尺)血
=(1+Q%-a[〔1+氏)+1]易卸
Ah=(1+A)^0-j[(1+去)(1+R)r'2+...+(1+去)+1]
=Cl+2?
)%-気〔1十R)"-!
]
故厶=5-y)(1+QJ专
这就是虫上'IR之间的显式关系。
d・针对广告中的情形我们来看
(1)和
(2)中哪些量是已知的。
N二5年二60个月,已知;每月还款x=1200元,已知A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由
(2)可知60个月后还清,即缶o=从而得
1]
(3)表示N=60,x=1200给定时人和x之间的关系式,如果我们已经知道银行的贷款利息R,就可以算出人。
例如,若R=0.01,则由⑶可算得血=53946元。
如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946=123946元的话,你就应自己去银行借款。
事实上,利用图形计算器或Mathematica这样的
数学软件可把(3)的图形画出来,从而可以进行估算决疑。
以下我们进一步考虑下面两个问题。
注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你的不动产。
例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0.01,贷款期25年二300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清。
假设这对
夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢?
解:
现在的问题就是要求使虫迦=0的x,由
(2)式知
X_〔1+应)—1
现凡二60000,R=0o01,k=300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房。
例题2恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告:
"若借款60000元,
22年还清,只要;(i)每半个月还316元;(ii)由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款,即316X6=1896元。
这对夫妇想:
提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了;要预付18%元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟,是1896元的十几倍哪!
这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢?
这对夫妇请教你给他们一个满意的回答。
具体解法略.
问题2:
养老基金
今当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人的养老杀金,所在单位(若经济效益好的话)每月再投入一定数量的钱,再存入某种利息较高而又安全的"银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用。
也就是说,若退休金不足以维持一定的生活水平时,就可以动用自己的养老基金,每月取出一定的款项来补贴不足部分.假设月利率及二0.01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入一笔钱血(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入的总和);通常从三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化的假设,但作为估算仍可作为一种考虑的出发点。
本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为
J爲+i=Ajf〔1+氏)+尹?
总=0,1,2,3j,.,
仏己知
〔1+氏>~x、冷=31,…
仏己知
其中x为每月要从养老基金中提出的款项.
习题1某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基金,他把已有的积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0.01(以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休吋,他的退休基金有多少?
又若,他退休后每月要从银行提取1000元,试问多少年后他的退休基金将用完?
你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件)。
习题2渔业(林业)管理问题
设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼儿条,鱼的平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼月肚条,则池内鱼数按年的变化规律为
力松1=A毎〔1+R)-x>血己知
注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数的。
若对某海域的渔业作业中血二100000吨,R=0.02,x=1000吨,试问加二彳会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了(资源枯竭了)?
例2比例分析法一席位分配
问题:
某学校有三个系联合成立学生会,
(1)试确定学生会席位分配方案。
(2)若甲系有100名,乙系60名,丙系40名。
学生会设20个席位,分配方案如何?
(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化?
(4)因为有20个席位的代表会议在表决提案时有可能出现10:
10的平
局,会议决定下一届增加1席,若在第(3)问中将学生会席位增加一席呢?
(5)试确定一数量指标衡量席位分配的公平性,并以此检查
(1)-(4).
公平而又简单的席位分配办法是按人数的比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名。
学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.
如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示
系别
学生人数
所占比例
(%)
按比例分配的席位
按惯例分配的席位
甲
103
51.5
10.3
10
乙
63
31o5
6o3
6
丙
34
17.0
3o4
4
总和
200
100.0
20o0
20
第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)。
在将取得整数的19席分配完毕后,剩下的1席按照惯例分给余数最大的丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位.
因为有20个席位的代表会议在表决提案吋有可能出现10:
10的平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算的结果令人吃惊:
总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表。
系别
学生人数
所占比例(%)
按比例分配的席位
按惯例分配的席位
甲
103
51o5
10o815
11
乙
63
31・5
6o615
7
丙
34
17.0
3.570
3
总和
200
100.0
21.000
21
看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”的办法.
下面就介绍这样一个席位分配模型•设A.B两方人数分别是p1和p2,分别占有n1和n2个席位,
则两方每个席位所代表的人数分别是p1/砧2和p2/n2.很明显,仅当这两个数值相等时,席位的分配才是公平的。
但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平。
不公平的程度可以用数值協1加1叨2/#2|来表示,它衡量的是“绝对不公平”.从
下表所举的例子来看,A、B之间的“绝对不公平”与C、D之间是一样的。
但是从常识的角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重的不公平。
所以"绝对不公平”不是一个好的衡量标准。
P
n
p/n
p1/n1
-p2/n2
A
120
10
12
12—10=2
B
100
10
10
C
1
-100=2
D
1000
10
1oo
为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准。
因为p/n越大,每个席位代表的人数越多,或者说,总人数一定时分配的席位越少。
所以,如果p1/n13>p2/n2,则A方是吃亏的,或者说,对A是不公平的,由此,我们这样定爻“相对不公平”:
若p1/n1>p2/n2,则称
_p2n1
p\//?
1
为对A的相对不公平值,记做心51,。
若p1/n1 -p2! n2_p1n2. p2in2p2n\ 为对B的相对不公平值,记做OSI,”2)。 假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平的城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方? 不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即此时对A方不公平,, 有定义。 当再分配1个席位时,关于p/n的不等式有以下三种可能: 1)p1/(n1十1)>p2/n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方: 2)p1/(n1十1) 3)说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A的相对不公平值是 r〔刃1+1,«2)(wl5刃2+1) (注意: 在p1/n1>p2/n2的假设下,不可能出现p1/n1Vp2/(n2+1)的情况因为公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小,所以如果r£(«1+15«2)(«1? 刃2+1) 则这1席应给A方;反之应给B方。 根据(3).(4)两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况的p1/(n1十1)>p2/p2也可推出。 于是我们的结论是: 当(6)式成立时,增加的1席应分配A方;反之,应分配给B方. —M 若记M洛O卄1),则增加的1席位应分配给Q值较大的一方. 将上述方法可以推广到有m方分配席位的情况。 下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出的,三个系分配21个席位的问题.首先每系分配1席,然后计算: 甲系n1=1, _1032 幺】_«1+_1^2" 乙系,n2二1, 一32〕2_632 也_总2〔总+1〕_W 丙系,n3=1, c_Cp3)2_3护 Q_心©3+1〕_W 因为。 最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算: 将。 】与上面的02,2相比,。 2最大,第5席应分给乙系,继续计算。 如此继续, 直到第21席分配给某个系为止(详见列表)。 n 甲系 乙系 丙系 1 5304»5(4) 1984.5(5) 578(9) 2 1768.2(6) 661.5(8) 192.7(15) 3 884.1(7) 330.8(12) 96.3(21) 4 530.5(10) 198.5(14) 5 353.6(11) 132.3(18) 6 252.6(13) 94.5 7 189o4(16) 8 147o3(17) 9 117o9(19) 10 96o4(20) 11 80.4 合计 11席 6席 4席 可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失的1席。 你觉得这个方法公平吗? 习题: 学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合.学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数. 1)惯例的方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者。 2)Q值方法。 如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化? , 例3状态转移问题——常染色体遗传模型 随着人类的进化,人们为了揭示生命的奥秘,越来越注重遗传学的研究,特别是遗传特征的逐代传播,引起人们的注意.无论是人,还是动植物都会将本身的特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲的基因,形成自己的基因对,基因对将确定后代所表现的特征。 下面,我们来研究两种类型的遗传: 常染色体遗传和x—链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型的分布。 在常染色体遗传中,E代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型。 如呆我们所考虑的遗传特征是有两个基因A和控制的,那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花的颜色,基因型是AA的金鱼草开红花,型的开粉红色花,而型的开白花。 又如人类的眼睛的颜色也是提高通过常染色体遗传控制的。 基因型是的人,眼睛是棕色,基因型是的人,眼睛是兰色。 这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A支配基因,也可以认为基因对于A来说是隐性的 父体-母体的基因型 AA—AA AA-A a AA—a a Aa-A a Aa— aa aa—aa 代基因型 AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa 0 0 0 1/4 1/2 1 农场的植物园中某种植物的以 (因型为AA,A和。 农场计丸 采用AA型的植物与 每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。 那么经过若干年后,这种植物的任一代的三种基因型分布如何? 第一步: 假设: 令〃=0,1,2,…。 (1)设和°”分别表示第"代植物中,基因型为AA,Aa和aa的植物 占植物总数的百分率。 令为第n代植物的基因型分布: 屮)=bn 6 当n=0时 占=» 5o_ 表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),显然有 血+%+5=1 (2)第n代的分布与第nT代的分布之间的关系是通过上表确定的. 第二步: 建模 根据假设 (2),先考虑第n代中的AA型.由于第n-1代的AA型与AA型结合, E代全部是AA型;第n—1代的Aa型与AA型结合,后代是AA型的可能性为 1/2,第代的aa型与AA型结合,后代不可能是AA型。 因此,当//=0^2»••- 时 an=1*an-\+h/2+0・C”「 即5=/2 类似可推出 an=cn_l+bn_l/2 c”=0 将式相加,得 an+bn+C”=+虹i+ 根据假设⑴,有 5+乞+5=勺+%+5=1 对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为 其中 1 1/2 0' M= 0 1/2 1 x 0 0 0_ A. 式递推,得 =M.W=M2xo,-2>=…=M 式给出第代基因型的分布与初始分布的关系。 为了计算出M”,我们将M对角化,即求出可逆矩阵P和对角阵D,使 M=PDP-' 因而有 M”=PD"PS=1,2,… 其中 0 0_ n 0 o' Dn= 0 兄2 0 = 0 0 _0 0 兄3_ 0 0 这里入以2以3是矩阵M的三个特征值。 对于式中的M,易求得它的特征值和特征向 量: 2)=1,22=1/2,兄3=0 _1 0 0_ ■f 1■ 1 D= 0 1/2 0 S= 0 G= ■ -1 -= -2 因此 0 0 0 9 0 _0_ _1 '1 1■ G] = 0- 1 -2 所以 00 1 通过计算P=P\因此有 x(n>=Mnx(0)=PDnP'lx{0) _1 1 1・ 1 0 o' _111' «o_ = 0 -1 一 2 0 G)“ 0 0-1-2 优 0 0 0 z 0 0. 001 _co_ 1 1-(1/2)" l-(l/2)n-,_ = * = 0 (l/2)n (1/2)"" % cn 0 0 0 c“ 即 LnJ L0」 5+久+5—(1/2)%-(1/2厂匕(1/2)%+(1/2)”・匕 0 所以有 ①=1—(1/2)也一(1/2)"-匕 '乞=(1/2)也+(1/2)”-匕 c”=0 当J2TS时(1/2)"->°,所以从式得到 即在极限的情况下,培育的植物都是AA型。 第三步: 模型讨论 若在上述问题中,不选用基因AA型的植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型的概率如下表: 父体一母体基因型 AA-AA Aa—Aa aa—aa 后代基因型 AA 1 1/4 0 Aa 0 1/2 0 aa 0 1/4 1 11/40 M的特征值为人=1説2=1以3=1/2 通过计算,可以解出与入“2相对应的两个线性无关的特征向量仃和5,及与兄3 相对应的特征向量"3 ■1・ 0 ■1・ 0 G= 0 。 3= -2 -1. 1_ 1_ 0 3】= 因此 1/2 -1/2 x 1 0 1 _1 0 0 _1 1/2 0' 0 0 -2 0 1" 0 1 1 1 -1 1 1- 0 (1/2); 0 -1/2 0_ 5(). 所以有 %=兔+(1/2)%+(1/2)”% •乞=(1/2)"® 5=Co+(1/2)%-(1/2尸b 当ms时(1/2)"t°,所以从式得到 an->。 ()+(1/2)仇,仇—>0和C”TC°+(1/2)久 因此,如果用基因型相同的植物培育后代,在极限情况下,E代仅具有基因AA和aa。 例4合作对策模型 在经济或社会活动中,几个社会实体(个人、公司、党派、国家)相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多的经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究的问题。 请看下面的例子。 问题一: 经商问题 甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元;甲乙合作可获利7元;甲丙合作可获利5元;乙丙合作可获利4元;三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元的收入。 甲的收入应按照甲对各种形式的合作的贡献来确定。 对于某一合作的贡献定义为: 有甲参加时这个合作的收入与无甲参加时这个合作的收入之差.例如甲对甲乙二人合作的贡献是7—1=6(因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元).甲可以参如的,合作有四个: 甲自己(单干视为合作的特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙.甲对这些合作的贡献分别是甲: 1一0二1元;甲乙: 7T=6元;甲內: 5-1=4元;甲乙丙: 10—4=6元,甲应分得的收入是这四个贡献的加权平均值,加权因子将由下面的一般模型给出. 这个问题叫做3人合作对策,是对策论的一部分,这里介绍它的一种解法. 一般的n人合作对策模型可以叙述如下: 记n人集合为I二{1,厶3,,卍},如果对于|中的任一子集&日,都对应一个实值函数v(s),满足 v10J=0 vCsin也)2卩(旳)+卩〔衍) (&ic匕=莎) 则称为定艾在I上的特征函数。 所谓合作对策是指定爻了特征函数的I中n个人的合作结果,用向量值函数e(卩)=(例〔卩〉,血型(卩))来表示.在实际问题中.常可把I中各种组合的 合作获得的利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少。 不 难看出,如将三人经商问题中合作的获利定义为特征函数V,V是满足(1人 (2)的. 为了确定©3丿,Shapley在1953年首先制定了一组0(卩丿 应该满足的公理,然后证明了满足这组公理的如W的唯一解是 (v)=^6jC|s|)[vCs)-v],r=l,2,3,・・・,n 其中凡是丨中包含{i}的所有子集,|s|是集合s中的人数,^Us|丿是加权因子,由 3)式中 朋訂)=屮卜1八SWI八 2 2Js丿-v2{订丿]可看作成员{i}对合作s的贡献;表示对所有包含 {i)的集合求和.0(卩丿称为由v定义的合作的ShapIey值. 我们用(3).(4)计算三人经商问题中各个人应得到的收入. 甲、乙、丙分别记作{11,12],{3),包含{1}的集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表. S {1} {1,2) {1,3} {1,2,3} V(s) 1 7 5 10 V(s-{11) 0 1 1 4 V(s)-V(s-{1}) 1 6 4 6 s 1 2 2 3 W(|s|) 1/3 1/6 1/6 1/3 W(bI)[V(s)-V(s- {")] 1/3 1 2/3 2 例(卩)=1/3+1+2/3+2=4元 ■ 同样可以算出乙.丙应得收入为佃&)=3.5元,为5)=2.5元. 问题二: 三城镇的污水处理方案 沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4: 6所示•污水需处理后才能排入河中•三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流的上游城镇向下游城镇输送)。 以Q表示污水量(吨/秒),工表示管道长度(公里)。 按照经验公式,建
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