考研数一真题与解析.docx
- 文档编号:5934693
- 上传时间:2023-01-02
- 格式:DOCX
- 页数:45
- 大小:40.75KB
考研数一真题与解析.docx
《考研数一真题与解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研数一真题与解析.docx(45页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
考研数一真题与解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学
(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题
中横线上)
x
2
(1)曲线y
的斜渐近线方程为_____________.
2x
1
(2)微分方程
(3)设函数
xy2y
xlnx满足y
(1)
1的解为____________.
9
u(x,y,z)
1
x2
y2
z2
单位向量n
1{1,1,1},则
6
12
18
3
u
=.________.
n
(1,2,3)
(4)
设是由锥面z
x2
y2与半球面z
R2
x2
y2
围成的空间
区域,
是
的整个边界的外侧,则
xdydzydzdx
zdxdy
____________.
(5)
设α,α,α均为
3
维列向量
记矩阵
12
3
A(α1,α2,α3),
B(α1
α2α3,α12α2
4α3,α13α2
9α3),
如果A1,那么B
.
(6)
从数1,2,3,4
中任取一个数,记为X,
再从1,2,
X中任取一
个数,记为Y,
则P{Y
2}=____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数f(x)limn1
x
3n,则f(x)在(
)内
n
(A)处处可导
(B)恰有一个不
可导点
(C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个
不可导点
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"MN"表示"M的充
分必要条件是N",则必有
(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数(B)F(x)是奇函数
f(x)是偶函数
(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数
f(x)是单调函数
(9)设函数u(x,y)(xy)(xy)
xy
具有二
(t)dt,其中函数
xy
阶导数,
具有一阶导数,则必有
(A)
(C)
2u
2u
x2
y2
2u
2u
xy
y2
(B)
(D)
2u
2u
x2
y2
2u
2u
xy
x2
(10)设有三元方程xyzlnyexz1,根据隐函数存在定理,存在点
(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数
zz(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x
x(y,z)和z
z(x,y)
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数
y
y(x,z)和z
z(x,y)
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数
x
x(y,z)和y
y(x,z)
(11)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别
为α,α,则α,A(αα)线性无关的充分必要条件是
12112
(A)
(C)
1
1
0
0
(B)
(D)
2
2
0
0
(12)设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵
B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则
(A)交换A*的第1
列与第2
列得B*
(B)交换A*的第1行
与第2行得B*
(C)交换A*的第1
列与第2
列得B*
(D)交换A*的第
1行与第2行得B*
(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X
01
Y
00.4a
1b0.1
已知随机事件{X0}与{XY1}相互独立,则
(A)
(C)
a
0.2,b
0.3
(B)
a0.4,b0.1
a
0.3,b
0.2
(D)a
0.1,b0.4
(14)设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为
样本均值,S2为样本方差,则
(A)nX~N(0,1)(B)nS2~2(n)
(C)(n1)X~t(n1)
(D)(n
n
1)X12
~F(1,n1)
S
i
2
Xi2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
(15)(本题满分11分)
设D{(x,y)x2
y2
2,x0,y
0},[1x2
y2]表示不超过
1x2
y2的最大整数.
计算二重积分
xy[1x2
y2]dxdy.
D
(16)(
本题满分
12分)
求幂级数
(1)n1(1
1
)x
2n
的收敛区间与和函数
f(x)
.
n1
n(2n
1)
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为yf(x),点(3,2)
是它的一个拐
点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)
处的切线,其交
点为(2,4)
.设函数f(x)具有三阶连续导数
计算定积分
3
x)f
(x)dx.
(x2
0
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)0,f
(1)1.
证明:
(1)存在
(0,1),使得f()
1.
(2)存在两个不同的点,
(0,1),使得f()f()1.
(19)(本题满分12分)
设函数(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲
线L上,曲线积分
(y)dx
2xydy
的值恒为同一常数.
L
2x
2
y
4
(1)
证明:
对右半平面x
0内的任意分段光滑简单闭曲线
C,有
(y)dx
2xydy
0.
C
2x
2
y
4
(2)
求函数(y)的表达式.
(20)(本题满分9分)
已知二次型f(x1,x2,x3)(1a)x12(1a)x222x322(1a)x1x2的秩为
2.
(1)求a的值;
(2)求正交变换xQy,把f(x1,x2,x3)化成标准形.
(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
(21)(本题满分9分)
已知
3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵
1
2
3
B2
4
6
(k为常数),且AB
O,求线性方程组Ax0的通解.
3
6
k
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1
f(x,y)
0
0x1,0
y
2x
其它
求:
(1)
(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y).
(2)
Z
2XY的概率密度fZ(z).
(23)(本题满分9分)
设X1,X2,
Xn(n
2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样
本均值,记Yi
XiX,i
1,2,,n.
求:
(1)Yi的方差DYi,i1,2,,n.
(2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
2005年考研数学一真题解析
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)曲线y
x2
的斜渐近线方程为
y
1x
1.
2x
1
2
4
【分析】
本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
.
【详解】
f(x)
lim
x2
1
,
因为a=lim
x
2x
2
x
2
x
x
b
lim
f(x)
ax
lim
x
1,
x
x
2(2x
1)
4
于是所求斜渐近线方程为
y
1x
1.
2
4
(2)微分方程xy
2y
xlnx满足y
(1)
1
1
1
9
的解为yxlnx
x..
3
9
【分析】直接套用一阶线性微分方程
y
P(x)y
Q(x)的通解公式:
ye
P(x)dx
P(x)dx
[Q(x)e
dxC],
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为
2
yylnx,
x
2dx
2dx
1
2
于是通解为
x
x
y
e[
lnx
e
dxC]
x2[
xlnxdxC]
1
xlnx
1
C
1
=
3
x
x
2,
1
9
1xlnx
1x.
由y
(1)
得C=0,故所求解为y
9
3
9
u
n
(3)设函数u(x,y,z)1
x2
y2
z2
,单位向量n
1{1,1,1},则
6
12
18
3
3
=.
(1,2,3)
3
【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量n
{cos,cos,cos}的方向导数为:
u
u
u
u
n
cos
cos
cos
x
y
z
因此,本题直接用上述公式即可.
【详解】
因为
u
x,u
y,
u
z,于是所求方向导数为
x
3y
6
z
9
u
1
1
1
1
1
1
3
n
=
3
3
3
3
3
.
(1,2,3)
3
3
(4)设
是由锥面z
x2
y2与半球面z
R2
x2
y2围成的空间区域,
是
的整个边界的外侧,则
xdydz
ydzdx
zdxdy
2
(1
2
)R3.
2
【分析】本题
是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球
面(或柱面)坐标进行计算即可.
【详解】
xdydz
ydzdx
zdxdy
3dxdydz
R
2d4sind
2
2(1
2)R3.
=3
d
0
0
0
2
(5)设1,2,3均为3维列向量,记矩阵
A(1,2,3),B(12
3,12243,13293),
如果A
1,那么B2.
【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即
可.
【详解】由题设,有
B
(1
2
3,1
2243,1
3293)
1
1
1
=(1,2,3)12
3,
1
4
9
1
1
1
于是有
B
A
1
2
3
1
2
2.
1
4
9
(6)从数1,2,3,4
中任取一个数,记为
X,再从1,2,,X
中任取一个数,记为
Y,则
P{Y
2}
=
13
.
48
【分析】本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互
不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X2}
+P{X
3}P{Y
2X
3}+P{X4}P{Y2X4}
=
1
(0
1
1
1)
13.
4
2
3
4
48
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数f(x)
limn1
x
3n,则f(x)在(
)内
n
(A)
处处可导.
(B)
恰有一个不可导点.
(C)
恰有两个不可导点.
(D)
至少有三个不可导点.
[C
]
【分析】先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形.
【详解】
当
x
1
时,
()
lim
n
1
3n
1;
x
x
f
n
当x
1时,f(x)
limn1
11;
n
3
1
1
3
当x
1时,f(x)
lim
x
1)n
(3n
x.
n
x
x3,
x
1,
即f(x)
1,
1
x
1,
可见f(x)仅在x=
1时不可导,故应选(C).
x3,
x
1.
(8)设F(x)是连续函数
f(x)的一个原函数,"M
N"表示“M的充分必要条件是
N”,
则必有
(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.
(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数.
(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.
(D)F(x)是单调函数
f(x)是单调函数.
[
A]
【分析】本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案
.
F(x)
x
C,且F(x)
f(x).
【详解】
方法一:
任一原函数可表示为
f(t)dt
0
当F(x)为偶函数时,有
F(
x)F(x),于是F(x)(
1)F
(x),即
f(
x)
f(x),
也即f(x)
x
f
(t)dt为偶函数,
f(x),可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则
0
从而F(x)
x
C为偶函数,可见(A)为正确选项.
f(t)dt
0
方法二:
令f(x)=1,
则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=
1x2,
排除(D);故
应选(A).
2
(9)设函数u(x,y)
(xy)(x
xy
(t)dt,其中函数
y)
具有二阶导数,
xy
具有一阶导数,则必有
2u
2u
2u
2u
(A)
x2
y2.(B)
x2
y2.
2u
2u
2u
2u
(C)
xy
y2.
(D)
xy
x2.
【分析】
先分别求出
2u
、
2u
、
2u
,再比较答案即可.
x2
y2
x
y
【详解】
因为u
(x
y)
(x
y)
(x
y)
(x
y),
x
u
(x
y)
(xy)
(x
y)
(xy),
y
于是
2u
(xy)
(xy)
(xy)
(xy),
x2
2u
(xy)
(xy)
(xy)
(xy),
xy
2u
(
xy
(
xy
)
(
xy
)
(
xy
,
y2
)
)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 数一真题 解析