哈尔滨市第九中学高三模拟考试数学理科试题.docx
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哈尔滨市第九中学高三模拟考试数学理科试题
哈尔滨市第九中学
2009年高三模拟考试
数学试题(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共22小题,共150分。
考试结束后,将答题卡交回。
注意事项:
1.答题前,考生务必将答题卡上的姓名、准号证号填写清楚,将答形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定必须用黑色字迹的签字笔描黑。
4.保持卡面清洁,不要折叠、弄破,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)
1.复数
在复平面内的对应点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设集合
下,2的原象所成的集合是()
A.{1}B.{1,0,-1}C.{1,-1}D.{9}
3.已知向量
,则四边形ABCD是()
A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形
4.设抛物线
的距离是5,则P到抛物线焦点F的距离为
()
A.5或10B.4或9C.5D.4
5.已知角
等于()
A.
B.
C.
D.
6.6.已知点
的最大值为
()
A.2B.1C.0D.-1
7.正四棱椎P—ABCD的顶点都在同一个球面上,若底面ABCD的外接圆是球的大圆,异面直线PA与BC所成的角是()
A.
B.
C.
D.
8.已知
上的减函数,那么a的取值范围是()
A.(0,1)B.
C.
D.
9.关于
的()
A.充要条件B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件
10.由1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数中,既含有奇数字又含偶数字的有()
A.72B.54C.48D.35-33
11.把函数
的方向平移后,所得的图象的解析式为
的最小正值是()
A.
B.
C.
D.
12.某通讯公司国际长途资费为通话
其中
的最大整数,那么按此资费通话5分钟42秒的话费应是()
A.6.3B.6.75C.5.385D.7.2
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡上)
13.若互不相等的实数
,则a=
20090413
14.过双曲线的右焦点作倾斜角为60°的直线,与双曲线的左右两支各交于一点,则双曲线的离心率的取值范围是
15.已知
20090413
16.一个三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长是2,高是3,则该三角形面积的最大值为
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
在
(1)求
的值;
(2)若
18.(本小题满分12分)
甲、乙等五名大冬会志愿者被随机地分到黑大、体院、理工、亚布力四个不同的比赛场馆服务,每个场馆至少有一名志愿者。
(1)求甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率;
(2)设随机变量
为这五名志愿者中到黑大场馆服务的人数,求
的分布列及数学期望。
19.(本小题满分12分)
如图,正方形ABCD和ABEF的边长均为1,且它们所在平面互相垂直,G为BC的中点。
(1)求点G到平面ADE的距离;
(2)求直线AD与平面DEG所成的角。
20.(本小题满分12分)
设函数
(1)若
在其定义域内为单调递增函数,求p的取值范围;
(2)当
的图象有3个交点,求实数b的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知E、F是x轴上的点,坐标原点O为线段EF的中点,G、P是坐标平面上的动点,点P在线段FG上,
(1)求P的轨迹C的方程;
(2)A,B为轨迹C上任意两点,且
,M为AB的中点,求
面积的最大值。
22.(本小题满分12分)
已知各项均为正数的数列
(1)求
的通项公式;
(2)设数列
项和,求证:
参考答案
一、选择题
DBCABAACBBDA
二、填空题
13.-414.
15.18016.
三、解答题
17.解:
5分
又
7分
9分
10分
18.解:
(1)记甲、乙两人同时到黑大场馆服务为事件A,那么
即甲、乙两人同时到黑大场馆服务的概率是
4分
(2)随机变量
可能取的值为1,2。
事件“
=2”是指有两人同时到黑大场馆服务,
则
所以
的分布列是
1
2
P
的数学期望
19.
(1)
平面ADE。
点G与平面ADE的距离即为点B到平面ADE的距离,连结BF交AE于H,
则
平面ADE,
BH即为点B到平面ADE的距离3分
在
点G到平面ADE的距离为
6分
(2)设DE中点为O,连结OG、OH,
则
四边形BHOG为平行四边形,
GO//BH。
由
(1)知,
平面ADE,
平面ADE,又
平面DEG,
平面DEG,
为直线AD与平面DEG所成的角9分
在
12分
法
(2):
(1)建立坐标系,
设平面ADE的法向量
3分
6分
(2)
设平面DEG的法向量
9分
12分
20.解:
(1)
要使
内为单调增函数,
只需
恒成立。
2分
由
3分
且
时等号成立4分
故
5分
(2)当
6分
令
当
的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
10分
由
同理
所以当直线
的图象有3个交点时,实数b的取值范围为
12分
21.解:
(1)取EG的中点为H,则
PH是EG的垂直平分线2分
P点的轨迹是以E、F为焦点,长轴长为10的椭圆4分
设其轨迹方程为
则
5分
(2)
A、B、E三点共线
整理关于y的方程为:
9分
10分
当
,即
12分
22.解:
(1)解:
由
解得
因此
1分
又由
得
因
从而
是公差为3,首项为2的等差数列,
故
的通项为
5分
(II)证法一:
由
6分
从而
7分
因此
令
,则
因
故
11分
特别的
从而
即
12分
证法二:
同证法一求得
。
7分
由二项式定理知当
时,不等式
成立。
由此不等式有
12分
证法三:
同证法一求得
。
7分
令
因
11色
从而
12分
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