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高等等离子体物理
高等等离子体物理
(一)线性理论
(研究生教材)
王晓钢
北京大学物理学院
2009年2月
等离子体的流体理论
1.等离子体的流体描述
1.1等离子体的双流体模型
1.2Hall磁流体(Hall-MHD)模型
1.3电子磁流体(E-MHD)模型
1.4理想磁流体力学(MHD)方程组
1.5位力定理
1.6变分原理
2.理想磁流体平衡
2.1磁场与磁面
2.2Z-箍缩与θ-箍缩
2.3一维平衡与螺旋箍缩
2.4Grad-Shafrano方程
3.等离子体的理想磁流体稳定性
3.1能量原理
3.2扭曲模与交换模
3.3一维稳定性,直柱托卡马克
4.磁流体力学波
4.1线性磁流体(MHD)方程
4.2非磁化等离子体中的磁流体波
4.3磁化等离子体中的磁流体波
5.均匀等离子体中的波(双流体理论)
5.1双流体模型
5.2介电张量与色散关系
5.3静电波简介
5.4准静电波与准电磁波
5.4电磁波简介
1.等离子体的流体描述
1.1等离子体的双流体模型
等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。
一般意义上的等离子体由带正电的离子和带负电的电子组成。
由于带电粒子之间的Coulomb长程相互作用,等离子体呈整体电中性,即总的正电荷与负电荷相等。
因此,除特殊的非中性(一般是强耦合的)等离子体之外,我们可以用带负电的电子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。
这种近似牵涉到等离子体时空尺度的讨论,我们在后面将进一步详细论述。
基于流体力学的图像及其近似,或者从统计物理的分布函数及其满足的方程(如Vlasov方程或者Fokker-Planck方程等,取决与碰撞项的形式,这里用类Markov过程的碰撞项)出发,我们得到“双流体”方程组:
连续性方程(统计方程的零阶矩)
,(I-01)
动量方程(力平衡方程,统计方程的一阶矩)
,(I-02)
状态方程(对统计方程各阶矩的“不封闭链”(Hierarchy)的一种截断)
;(I-03)
Coulomb定律(Poisson方程)
,(I-04)
Ampere定律
,(I-05)
Gaussion定理
,(I-06)
Fayraday定律
;(I-07)
这里;对类粒子来说:
是粒子数密度,是粒子质量,是粒子电荷,是流体速度,是理想气体近似下的分压强;而是类与类粒子之间的碰撞频率(当时为自碰撞)。
,,则分别是电场强度、磁感应强度、和等离子体电流密度。
关于状态方程,我们以后会进一步讨论。
这里我们只是指出:
参数的取值决定等离子体的状态,如等温(isothermal)状态对应;不可压缩状态对应;其它的值对应“绝热”状态。
1.2Hall磁流体(Hall-MHD)模型
一般来说,双流体模型是描述等离子体宏观(大于粒子回旋半径的尺度)运动的有力工具;在高频波段也可以应用,甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一些有用的结果。
但是,由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别,在具体计算双流体模型的时候,会遇到所谓“刚性”问题:
即电子已经完全改变了运动状态,离子还基本没有动!
这使得我们在计算离子时空尺度下的物理问题时,耗费大量的计算机时间。
而且由于code本身的精度,即使经过长时间运算看到了离子的运动,其结果或者是看到了很强的数值不稳定性、或者是很难令人相信。
而为了稳定code引进的数值耗散,则往往带来人为的非物理的效应。
即使对纯理论的解析推导,不仅过程繁杂,而且得到的物理图像也不清晰。
所以我们经常引进进一步的近似。
因为离子运动的时间尺度远远长于电子的时间尺度(通常在40倍以上,对于回旋运动来说则可以大于1840倍),所以我们在主要考虑离子运动时,可以认为电子响应是“瞬时”的(instantaneouslyorsimultaneously)。
这样,我们可以保持其它方程不变,近似地把(I-02)中电子的质量趋于零,得到:
,(I-02e)
这里是所谓的“Spitzer电阻”。
利用在“准电中性”近似下,,是等离子体电流,这个方程可以写为:
。
必须注意到:
这里我们还用到了的条件。
明显地,要求电子运动与离子运动的分离,即所谓Hall效应。
所以我们称这个近似模型为Hall磁流体模型;这个方程则称为Hall磁流体的广义欧姆定律(HallMHDGeneralizedOhm’sLaw)。
方程中的明显地就是我们在电磁学课程里熟知的Hall电场项。
1.3电子磁流体(E-MHD)模型
而另一方面,我们在主要考虑电子运动时,可以认为离子响应是“无穷慢”的,或者说离子可以看成是保持总体电中性的“背景”。
或者说,把离子看成是“稳态”的(,但是可以有)。
将的近似带入离子的方程,得到的是所谓电子磁流体(ElectronMHD)模型。
这个模型也是在电子和离子的运动分离的情况下得到的,适用于比HallMHD模型更小的空间尺度和更快的时间尺度的问题。
1.4理想磁流体(MHD)方程组
如果不仅整体等离子体呈电中性,而且在非常小的局部也呈电中性,我们可以把这个局部取做流体元,则有。
上面(I-04)的右边等于零,而(I-02)的不同电荷粒子方程相加可以消去小尺度下(即流体元)的电场。
这样可以在很多情况下使问题得到简化。
这个图像,我们称为磁流体(magnetohydrodynamics,MHD)近似(或称“磁流体力学”近似)。
在这个近似下,宏观的“大尺度”电场满足的方程可以由(I-02)两式之差(得到的Ohm定律)来计算。
这一节里,我们详细讨论这一近似。
等离子体过程的时空尺度
研究物理问题时首要的是讨论时空尺度。
经典的宏观(大空间尺度)、低速(慢时间尺度)下的牛顿力学与相对论(快时间尺度)、量子力学(小空间尺度)的适用范围就是典型例子。
在等离子体中存在着很多的运动模式,我们无法、也没有必要同时考虑所有这些运动模式。
那么哪一种(或者几种)运动模式是主导的、起着决定作用的?
要回答这个问题,就要进行时空尺度分析:
我们关心的是哪个时空尺度下的物理问题,在这个时空尺度下存在哪几种运动模式?
所以,对于等离子体这样的存在大量运动模式的连续介质来说,时空尺度分析尤其重要。
磁流体(MHD)理论的基本假设
磁流体理论本质上来说是一种与流体力学相类似的连续介质的理论。
因为考虑宏观的大尺度问题,其特征长度(或)一般可以看成是所研究等离子体区域的大小,比如柱形等离子体的横截面(的半径)。
而特征时间尺度(或者特征频率)则可以用一个特征信号穿越这一尺度的时间来表征。
这等于特征尺度与特征信号在等离子体这一介质中传播的速度之比。
在流体理论里,这显然是声速,这里是质量密度。
但是在磁化等离子体中,对于大尺度的MHD问题来说,这一特征速度是所谓Alfvén速度。
当然,如果所研究的等离子体可以看成是一个驱动(driven)系统,那么其特征时间尺度应该由驱动频率给出。
磁流体(MHD)理论基于下列假设:
*非相对论假设:
*流体假设:
1)局域热力学平衡(局域Maxwellian分布)假设:
(要求较高碰撞频率:
压强是标量,);
2)忽略有限Larmor半径(FLR)效应:
,;
3)单流体(准电中性)假设(即Debye球内有大量粒子,也称等离子体假设):
,,。
我们会发现,局域Maxwellian分布的假设对于“无碰撞”理想(ideal)等离子体(其平均自由时间)来说的不是一个好的假设。
我们需要进一步讨论:
1)粒子间“碰撞”(collision)和关联(correlation)之间的关系,以及长程碰撞的“集体”(collective)效应和短程碰撞之间的关系;
2)以及导向中心理论的回旋动理学(gyrokinetic)和漂移动理学(drift-kinetic)近似。
磁流体(MHD)方程组
如果我们利用,定义小的等离子体元的“单流体”物理量:
质量密度:
,流体速度,等离子体压强,等离子体电流,将(I-01)、(I-02)分别对不同电荷分量求和得到
连续性方程
,(I-08)
动量方程(并利用Ampere定律)
。
(I-09)
而电子的动量方程(I-02)(时)可以写成
,
这里包括了电子自碰撞及电子—离子碰撞;或者
。
这个方程我们一般称为广义Ohm定律,其中为经典的等离子体Spitzer电阻率。
一般来说电流主要是电子携带的,可以忽略最后两项得到常用的广义Ohm定律
。
(I-10)
所谓理想磁流体近似,在“无碰撞”近似下忽略方程右边的电阻项,在大尺度磁流体近似下忽略方程右边其它各项(Hall电场项由离子惯性尺度、电子压强梯度项由“离子声回旋半径”尺度、电子惯性项由电子惯性尺度表征),得到理想磁流体的Ohm定律
。
(I-11)
带入Fayraday定律(I-07)得到
;(I-12)
加上状态方程
,(I-13)
我们得到完整的理想磁流体(idealMHD)方程组(I-08-09),(I-12-13):
共10个方程确定10个未知函数,,,。
这10个变量是在,,这7个流体变量之外加上磁场。
所以称磁流体(MHD)。
磁流体(MHD)方程组的守恒形式
流体中物理量的守恒定律可以写成的形式其中,而是的“通量”。
这个守恒定律的微观形式是。
则从MHD方程组出发,对于数密度
,(I-14)
对于动量密度,有
,,(I-15)
对于能量(绝热状态下),有
,。
(I-16)
1.5位力定理
对于一个有限系统,如果可以达到平衡态,则总的平均动能和总的平均“位力”(virial)之间满足关系。
这个关系被称为“位力定理”。
对多粒子体系(量子的或经典的)来说,这里说的平衡是总的“力学平衡”;对统计力学体系来说,这个平衡指“热力学平衡”。
这个定理在经典力学和量子力学里成立,我们这里需要讨论这个定理对等离子体的应用。
在磁流体理论中,容易证明,。
则“位力定理”可以写成
。
(I-17)
这告诉我们保持等离子体平衡(力学的或热力学的)唯一可能就是外加一个很大的、负的来平衡。
这对应于:
(1)一个外加的势场(势阱),比如太阳的自身引力场或者约束尘埃等离子体的外加负电场来提供;
(2)或者外部线圈产生的外加磁场提供一个边界(比如各种磁约束位形);
(3)最简单的,一个容器的“硬壁”(hardwall)提供一个无穷高势垒。
1.6变分原理
经典力学中的变分原理
变分原理是物理学的理论基础:
(1)变分原理是物理规律更清晰、更普遍的形式,方便几何方法的应用(如Hamiltonian量的结构、对称性、度规等);
(2)变分原理自然保证不变量的全域守恒性质;
(3)是物理的和很多其它的多自由度领域处理多体问题的基石。
经典力学中的变分原理是所谓“最小作用量原理”:
对一个系统的Lagrangian作用量,我们有,导致系统的Lagrangian方程
。
磁流体力学中的变分原理
在磁流体(MHD)理论中,我们同样可以得到系统的Lagrangian作用量
。
(I-18)
由系统的Lagrangian方程可以得到MHD方程组。
关于变分原理的应用,我们在后续课程里还要深入讨论。
作业1:
试推导等温条件下()磁流体(MHD)方程组的守恒形式。
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