完整版一元二次方程的概念及解法学生版.docx
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完整版一元二次方程的概念及解法学生版
一元二次方程的概念及解法
知识图谱
1、一元二次方程
知识精讲
一.一元二次方程的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是
2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程
的一般形式:
ax
2
c为常数项.
bxc0(a0),a为二次项系数,b为一次项系数,
判断是一元二次方程的标准:
①整式方程
②一元方程③二次方程
二.一元二次方程的解一元二次方程的解:
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.三点剖析堑馁济權譖輦謅问轳儕譏饗颼检鸯。
一.考点:
一元二次方程的概念,一元二次方程的解.
1
二.重难点:
一元二次方程的一般形式,一元二次方程的解.
1.三.易错点:
确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可;
2.注意对于关于x的方程ax
2
,当a
0时,方程是一元二次方程;当
a0且b0
bxc0
时,方程是一元一次方程;
一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看.题模精讲
题模一:
概念
例
以下方程中是关于
x的一元二次方程的是〔
〕
A.x2
1
0
B.
ax
2
0
x2
bxc
C.3x2
2x53x2
D.x1x21
例
方程(m2)xm
3mx10是关于x的一元二次方程,那么
m______
例假设方程m1x2mx1是关于x的一元二次方程,那么m的取值范围是__________.车挠褸鋪鵡话綰纺殴獺骞銬軔璣贫。
例
方程x42
2x13的二次项系数
是______,一次项系数
是_______,常数项是
_______
题模二:
解例关于x的一元二次方程a1x2xa210的一个根是0,那么a的值为_________________.例x1是关于x的方程x2mxn0的一个根,那么m22mnn2的值为_______.锼撄钗櫓剑諞隨赵鹑踴聍岖遺蠼繪。
随堂练习
2
随练假设(m2)xm2x30是关于x的一元二次方程,那么m的值为_________。
2
随练关于x的方程(m1)x2(m1)x3m20,当m__________时是一元一次方程;当m__________时是一元二次方程愤涝蠆訐謂饞随漚蜕鲠鵪覦掷鷲掺。
随练
假设一元二次方程(m2)x2
3(m2
15)xm2
4
0的常数项为零,那么m的值为_________
随练
假设关于x的一元二次方程〔
a+1〕x2+x﹣a2+1=0有一个根为0,那么a的值等于〔
〕
A.
﹣1
B.
0
C.1
D.
1或者﹣1
随练
方程x2
m
2xn
3
0的两根分别是
2、3,那么mn__________
随练
假设x=1是关于x的一元二次方程
x2+3mx+n=0的解,那么6m+2n=____.
随练
假设关于x
的一元二次方程为
ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是
x=1,那么2021-a-b
的值是
〔
〕
A.
2021
B.
2021
C.2021
D.
2021
2、直接开平方法
知识精讲
一.直接开平方法
假设x2
aa
0,那么x叫做a的平方根,表示为x
a,这种解一元二次方程的方法叫做直
接开平方法.
二.直接开平方法的根本类型
1.x2
a(a
0)
解为:
x
a
2.(x
a)2
b(b
0)
解为:
x
a
b
3.(ax
2
c(c
0)
解为:
ax
b
c
b)
4.(ax
b)2
(cx
d)2(ac)
解为:
ax
b
(cxd)
三点剖析
一.考点:
直接开平方法.
二.重难点:
直接开平方法.
三.易错点:
直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解,不要漏解,如果是两个相等的解,也要写成x1x2a的形式.浈釁殺饜谏戲鸟齊錳飒驟骟洒嫻嶁。
3
题模精讲
题模一:
直接开平方法
例
求下面各式中
x的值:
〔1〕4x
2
;
9
〔2〕x
2
25.
1
例求x的值:
1
(5x1)2
30
3
随堂练习
随练
解以下方程:
〔1〕2x2
80〔2〕2516x2
0
2
〔3〕1x90
随练解关于x的方程:
x26x9(52x)2
2
随练假设方程x2a4有实数根,那么a的取值范围是________.
随练
解关于x的方程:
2(3x1)2
8
5
3、配方法
知识精讲
一.配方法
4
配方法:
把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法.鸠阵聖櫞钪负皚嵛员徠浇狱潁苌瓒。
二.配方法的一般步骤:
2
运用配方法解形如axbxc0(a0)的一元二次方程的一般步骤是:
1.二次项系数化1;2.常数项右移;3.配方〔两边同时加上一次项系数一半的平方〕;巩纣繯褳阵貪霭机鉻榿属畴鸝綴选。
4.化成(x
m)
2
n的形式;
5.假设n
0
,选用直接开平方法得出方程的解.
2
2
b
x)c0
b
2
b
2
axbxc0(a0)
a(x
a
a(x
)
a()
c0
b2
b2
2a
2a
b
2
b
2
4ac
a(x
2a
)
4a
c
(x
2a
)
4a2
.
三点剖析
一.考点:
配方法.二.重难点:
配方法解一元二次方程,配方法求解最值或取值范围.三.易错点:
在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的,如果是那么利用直接开平方法求解即可,如果不是,原方程就没有实数解.题模精讲录謨组尴壺铫谵緩蔹苁蒉鯽钣跡驺。
题模一:
配方法
2
例用配方法解方程:
x6x40
例
用配方法解以下方程:
〔1〕2x
2
1
0
8x
〔2〕x2
4x
2
0
〔3〕x2
1
x
1
0
34〕3y2123y
例
用配方法解方程
x2
2x10
时,配方后得到的方程为〔
〕
A.〔x
2
2
2
2
1)0
B.〔x1)0
C.〔x1)2
D.〔x1)2
例
用配方法解关于
x的方程x2
pxq0〔p,q为常数〕
5
例
2
2
,x、y为实数,求xy的值
x
y4x6y130
题模二:
最值问题
2
例试用配方法说明x2x3的值恒大于0例x、y为实数,求代数式x2y22x4y7的最小值遙參谥逊鳜闥尘蒔鑼鱺鱺谝倾鹆斷。
例a,b,c是整数,且a2b4,abc210,求abc的值随堂练习
随练用配方法解方程:
2x23x10
随练假设把代数式x25x7化为xm2k的形式,其中m、k为常数,那么km.随练a,b,c均为实数,且ab4,2c2ab43c10,求ab的值.谀氢騷纳潁識膾蠱蠻質鵝魯爾珑鲦。
随练
用配方法说明
2
的值恒小于0
10x7x4
6
2
2
随练
x,y为实数,求代数式5x
4y8xy2x4的最小值.
4、公式法
知识精讲
一.公式法2
公式法:
一元二次方程axbxc0(a0),用配方法将其变形为:
根的判别式b24ac,x1,x2是方程的两根,假设b24ac0,那么x1,2二.公式法解一元二次方程的一般步骤1.把方程化为一般形式;2.确定a、b、c的值;鉛讹鑌蘇郓晋垄資厭骝蠍裤蓟蠆缥。
3.计算b2
4ac的值;
4.假设b
2
4ac
0,那么代入公式求方程的根;
5.假设b2
4ac
0,那么方程无解.
三.判别式与根的关系
1.
0
时,原方程有两个不相等的实数解;
2.
0
时,原方程有两个相等的实数解;
3.
0
时,原方程没有实数解.
b
2
b2
4ac
(x
2a
)
4a2
2
4ac.
b
b
2a
三点剖析
一.考点:
公式法.
二.重难点:
利用公式法求解一元二次方程,利用判别式判断根的情况.
三.易错点:
在用公式法求解方程的解时,一定要判断“〞的取值范围,只有当0时,一元二次方程才有实数解.题模精讲瘗遞销鳓餉韃吳媧鳕諾縵綿价骁陕。
7
题模一:
公式法
例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1xm30.例解方程:
x2+4x﹣1=0.髅薌捫閏颓儂宾纬荤燒鹑摅顺兹韦。
例
1
解方程x(6x1)4x32(2x)
2
例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1xm30.
例解方程:
xx3x20
题模二:
判别式与根的关系
例以下一元二次方程中,有两个不相等实数根的方程是〔
〕
A.x
2+1=0
B.x2﹣3x+1=0
C.x
2﹣2x+1=0
D.x2﹣x+1=0
例
关于x的一元二次方程
mx2
2x
10有两个不相等的实数根,那么
m的取值范围是
〔
〕
A.
m
1
B.
m1
C.m1且m0
D.m1且m0
例
关于x的方程〔a-6〕x2-8x+6=0有实数根,那么整数a的最大值是〔
〕
8
A.6B.7C.8D.9随堂练习
2
随练用公式法解一元二次方程2x3x10.随练解方程(x5)(x7)1
2
随练
解关于x的方程:
xpxq0.
随练解关于x的方程x2x10.
随练
以下一元二次方程中无实数解的方程是〔
〕
A.
x
2+2x+1=0
B.
x2+1=0
C.
2
D.
2
x=2x-1
x-4x-5=0
随练
假设关于x的一元二次方程kx2
2x1
0
有两个不相等的实数根,那么
k的取值范围是
〔
〕
A.
k
1
B.k1
C.
k1且
k1且k0
k
0
D.
随练关于x的一元二次方程〔
m-1〕x2+x+1=0有实数根,那么
m的取值范围是〔
〕
A.m≥-5且m≠1
B.m≤5且m≠1
4
4
C.m≥5
D.m≤-5且m≠0
4
4
9
5、因式分解法
知识精讲
一.因式分解法因式分解法:
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解,这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法.辕黾齒颢蛮陸橫荪鳴颀镁换圆窑跹。
因式分解法解一元二次方程的依据:
如果两个因式的积等于
0,那么这两个因式至少有一个为
0,即:
假设ab0,那么a0或b0.
三点剖析
一.考点:
因式分解法解一元二次方程.
二.重难点:
利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程.
三.易错点:
没有化成ab0的形式,例如由2x1
2
1从而导致漏解或
x1直接得到2x1
者直接得到2x1
0从而导致错解.
题模精讲
题模一:
因式分解法
例
用因式分解法解方程:
2
x34xx30
例
2
用因式分解法解方程:
3x4x40.
2
2
例
用因式分解法解方程:
9x216x1
0.
10
例用因式分解法解方程:
x23mx2m2mnn20,〔m、n为常数〕
随堂练习
2
随练
用因式分解法解方程:
2x136x.
随练用因式分解法解方程:
5x210x531x2
2
随练用因式分解法解方程:
6xx350.
2
2
2
随练
x的一元二次方程
m
1x63m1x720
1〕.
用因式分解法解关于
〔m
6、根与系数的关系
知识精讲
一.韦达定理
11
如果ax2
bx
c
0(a0)的两根是x1,x2
,那么x
x
b,
x1x2
c.〔隐含的条件:
1
2
a
a
0〕
特别地,当一元二次方程的二次项系数为
1时,设x1
,x2是方程x2
px
q0的两个根,那么
x1x2
p
1
2
q.
,xx
二.韦达定理与根的符号关系
在
2
4ac
0的条件下,假设
x1,x2是ax
2
bx
c
0(a0)的两根〔其中
x1x2〕我们有
b
如下结论:
1.c
0
x1x2
0,假设
b
0,那么x1
x2;假设
b
0,那么x1
x2.
a
a
a
2.c
0
xx
2
0.假设
b
0,那么x1
x2
0;假设
b
0,那么x2
x10.
a
1
a
a
更一般的结论是:
假设x1,x2是ax2
bx
c
0(a
0)
的两根〔其中
x1
x2〕,且m为实数,当
0时,一般地:
〔1〕(x1
m)(x2
m)
0
x1
m,x2
m
〔2〕(x1
m)(x2
m)
0且(x1
m)(x2
m)
0
x1
m,x2
m
〔3〕(x1
m)(x2
m)
0且(x1
m)
(x2
m)
0
x1
m,x2
m
特殊地:
当
m
0时,上述就转化为ax2
bxc
0(a
0)有两异根、两正根、两负根的条件.
三点剖析
一.考点:
韦达定理二.重难点:
韦达定理的应用1.方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值;2.方程,求关于方程的两根的代数式的值;3.方程的两根,求作方程;4.结合根的判别式,讨论根的符号特征;.逆用构造一元二次方程辅助解题:
当等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理.擲秘喬溆经淨饷鳗见铃兹赕绝属樁。
三.易错点:
在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模精讲题模一:
韦达定理例假设方程x24xc0的一个根为23,那么方程的另一个根为______,c______.膿縋項谬错賤义汹冁興聩纨數馍燦。
12
例
设x1、x2是方程x2
2k1xk2
20的两个不同的实根,且
x11x218,那么
k的值是
.
例
如果a,b都是质数,且a2
13am0,b2
13bm0,求b
a的值.
a
b
随堂练习
随练
m,n是有理数,并且方程x2
mxn0有一个根是
52,那么
mn_______.
随练关于
2
2
有两个实数根,并且这两个根的平方和比这
x的方程x
2(m2)xm50
两个根的积大
16,求m的值.
随练
关于x的方程x2
4x2m80的一个根大于
1,另一个根小于
1,求m的取值范
围.
随练
如果实数a,b分别满足a2
2a2,b2
2b2,求1
1的值
a
b
13
作业1
假设|b1|
a2
0,那么以下方程一定是一元二次方程的是〔
〕
A.ax2
5xb0
B.b2
1x2
a3x50
C.
a1x2
b1x70
D.b1x2
ax10
作业2
关于
x的方程(xa)
2
(ax2)
2是一元二次方程,求
a的取值范围.
作业3
a
b
2
a、b的值?
方程2x
xx
40是关于x的一元二次方程,求
作业4假设n〔n≠0〕是关于x方程x2+mx+2n=0的根,那么n+m+4的值为〔〕A.1B.2C.-1D.-2紲缃绲亏咛轔釗咛脑谖變絨錛戰產。
作业5关于x的一元二次方程m2x2xm240有一根为0,那么m的值为_______.
作业6
2
解方程:
31x6
作业7解关于x的方程:
3(x1)227
14
作业8用直接开平方法解以下一元二次方程
〔1〕9x
2
0
16
〔2〕x
2
16
0
5
〔3〕x
2
3x
2
5
1
〔4〕42x5
2
2
93x1
作业9解方程:
2x28x30.
作业
10将方程x2
4x10化为xm
2
n的形式,其中m,n是常数,那么
mn
_____________
作业
11
方程
2
6xq0可以配方成xp
2
2
6xq2可以配成以下
x
7的形式,那么
x
的〔
〕
A.
x
2
B.
2
9
p5
xp
2
9
D.xp2
2
C.xp2
5
m2
n2
1
1
作业12
mnmn10,那么m
n的值为__________.
作业13ab23,bc23,那么a2b2c2abbcac的值为__________.戇質辔开赕無釵濒甌缃顶鴇鹫妇賀。
15
作业14实数a,b,c满足a2
6b
17,b2
8c
23,c2
2a14,那么ab
c的值为
__________.
y
1
z
2
作业15
x1
2
3
2
2
2
设
,求代数式x
y
z的最小值.
作业16解方程3x252x10作业17用公式法解方程:
ax2bxc0〔a、b、c为常数且a0〕.作业18设方程x22x140.求满足该方程的所有根之和块泶荪厌顰谤蠣亲蓋觴訕伛册玀挛。
作业19
一元二次方程
x2+2x+1=0的根的情况〔
〕
A.
有一个实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
有两个不相等的实数根
D.
没有实数根
作业20
关于x的一元二次方程
2
2
m的取值范
mx+〔2m-1〕x+1=0有两个不相等的实数根,那么
围是〔
〕
A.k>-1
B.m>1且m≠1
4
4
C.m<1且m≠0
D.m≥-1且m≠0
4
4
16
作业21假设关于x的方程kx22k1xk10有实数根,求k的取值范围.
作业22
2xx3
5x3
的解是〔
〕
x
5
B.
x3
2
A.
x1
5
2
2,x2
3
D.
x
C.
5
作业23
用因式分解法解方程
x2
6x
94x2
8x
4.
作业24解关于x的方程x2p2q2xpqpqpq0.
作业25方程2x2mx2m40的一个解为1,那么另一个解为__________,
__________.
(作业26方程2x2mx30的两根的平方和为5,那么m=__________.
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