导数基础知识专项练习.docx
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导数基础知识专项练习
导数专项练习
一、选择题(本大题共
21小题,共
105.0分)
1.
函数f(x)=x3+x在点x=1处的切线方程为(
)
A.4
xy
+2=0
B.4
x
y
-2=0
C.4
xy
xy
-
-
++2=0
D.4+-2=0
2.
已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则
a的值为(
)
A.1
B.2
C.-1
D.-2
3.
已知曲线
y
x2
,则点M的坐标是(
)
=2+1在点M处的瞬时变化率为-4
A.(1,3)
B.(1,4)
C.(-1,3)
D.(-1,-4)
4.
若函数
yf
x
yf
x
yfx
)的图象可能(
)
=()的导函数
=′()的图象如图所示,则
=(
A.B.C.D.
5.已知函数
f
x
x3
ax2
x
-1
在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则实数
a
的取值范
()=-
+
-
围是(
)
A.(-∞,-
]∪[
,+∞)
B.[-
]C.(-∞,-
)∪(
,+∞)D.
(-
)
6.已知函数f(x)=
x
在区间[1,2]上是增函数,则实数
m的取值
范围为(
)
m
m
m
m
A.4≤≤5
B.2≤≤4
C.≤2
D.
≤4
7.设点P是曲线
上的任意一点,点
P处切线的倾斜角为
α,则角α
的取值范围是()
A.B.[0,)∪[,π)C.D.
8.函数y=f(x)导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是()
A.函数y=f(x)在(-∞,0)上单调递增
B.函数y=f(x)的递减区间为(3,5)
高中数学试卷第1页,共13页
C.函数
yf
x
x
=
()在
=0处取得极大值
D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值
9.已知y=
+(b+6)x+3在R上存在三个单调区间,则
b的取值范围是(
)
A.b≤-2或b≥3B.-2≤b≤3
C.-2<b<3
D.b<-2或b>3
10.函数
在R上不是单调增函数则
b范围为(
)
A.(-1,2)
B.(-∞,-1]∪[2,+∞)
C.[-1,2]
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
11.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,
b)上的图象如图所示,则函数
f(x)在(a,b)上的极大值点
的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
12.
y
x3
-
x2
-4
x
+1
直线
lxyk
x
已知曲线C:
=
:
++2
-1=0,当∈[-3,
3]时,直线l
恒在曲线C的上方,则实数k的取值范围是(
)
k
B.
C.
D.
A.
>-
13.
曲线y=2lnx
上的点到直线
2x-y+3=0的最短距离为(
)
A.
B.2
C.3
D.2
14.
f
x
x
-
alnx
,当
x
fx
恒成立,则实数
a
的取值范围是(
)
已知函数(
)=
>1时,()>0
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(e,+∞)
D.(-∞,e)
二、填空题(本大题共4
小题,共20.0分)
22.
f
x
)的图象在
x
处的切线方程为
xy
f
f
.
函数(
=2
2
+-3=0,则
(2)
+'
(2)=______
23.已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞,+∞)内既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是______.
24.
已知函数
f
x
)=
ax3x
的图象在点(
f
x
y
垂直,则
(
++1
1,
(1))处的切线与直线
+4=0
实数a=______
.
25.
ye-2x
在点(0,2)处的切线与直线
y
和
yx
围成的三角形的面积为
______.
曲线=
+1
=0
=
三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)
26.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).若函数f(x)在x=1处有极值-4.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)求函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
27.已知函数f(x)=x2+lnx-ax.
(1)当a=3
时,求f(x)的单调增区间;
fx
)在(0,1)上是增函数,求
a
得取值范围.
(2)若(
高中数学试卷第2页,共13页
28.已知函数f(x)=-x3+x2+x+a,g(x)=2a-x3(x∈R,a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)求函数f(x)的极值.
(3)若任意x∈[0,1],不等式g(x)≥f(x)恒成立,求a的取值范围.
29.已知函数
.当x=2时,函数f(x)取得极值.
(I)求实数a的值;
x
f
x
m
=0
有两个根,求实数
m
的取值范围.
(II)若1≤≤3时,方程
()+
fx
)=
ax3
bx
+4,当
x
=2时,函数
fx
30.若函数(
-
()有极值.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的极值;
(3)若关于
x
的方程
f
xk
有三个零点,求实数
k
的取值范围.
()=
答案和解析
【答案】
1.B2.B
3.C
4.C
5.B6.D
7.B
8.D
9.D
10.D11.B12.B13.A14.D15
.C
16.D
17.A
18.A
19.D
20.D
21.A
22
.-323.(-∞,0)∪(9,+∞)
24
.125.
26
f
x
x2axb
f
f
(1)=-4
,
.
(1)
′()
=3
+2+
,依题意有
′
(1)=0,
即
得
.(4分)
f
x
x2
x
x
x
所以′()=3+4-7=(3
+7)(
-1),
由f′(x)<0,得-
<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间(-,1).(7分)
(2)由
(1)知f(x)=x3+2x2-7x,f′(x)=3x2+4x+7=(3x+7)(x-1),令f′(x)=0,解得x1=-,x2=1.
高中数学试卷第3页,共13页
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
高中数学试卷第4页,共13页
高中数学试卷第5页,共13页
由上表知,函数f(x)在(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.
故可得f(x)min=f
(1)=-4,f(x)max=f(-1)=8.(13分)
2
∴f′(x)=2x+-3,由f′(x)>0得,0<x<或x>1,
故所求f(x)的单调增区间为(0,),(1,+∞);
(2)f′(x)=2x+-a,
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
x
-
a
>0在(0,1)上恒成立,即
a
x
恒成立,
∴2+
<2
+
x
≥2
(当且仅当
x
=
时取等号)
∵2+
所以a<2
,
当a=2
时,易知f(x)在(0,1)上也是增函数,
所以a≤2
.
28.解:
(1)f(x)=-x3+x2+x+a,
2
x
f'(x)=-3x
+2+1,
.
.
.
(2)由
(1)可知,
当
时,函数f(x)取得极小值,函数的极小值为
当
x
fx
)取得极大值,函数的极大值为
f
a
=1时,函数(
(1)=+1,
(
3)若任意
x
g
xf
x
∈[0,1],不等式
()≥
()恒成立,
即对于任意
x∈[0,1],不等式
a≥x2+x恒成立,
设h(x)=x2+x,x∈[0,1],则h'(x)=2x+1,
∵x∈[0,1],
∴h'(x)=2x+1>0恒成立,
∴h(x)=x2+x在区间[0,1]上单
调递增,
∴[h(x)]max=h
(1)=2∴a≥2,
∴a的取值范围是[2,+∞)
29.解:
(I)由
,
则f'(x)=x2+2ax+6因在x=2
时,f(x)取到极值
所以f'
(2)=0?
4+4a+6=0解得,
高中数学试卷第
(II)由(I)得
且1≤x≤3则f'(x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3)由f'(x)=0,解得x=2或x=3;
f'(x)>0,解得x>3
或x<2;
f
x
x
fx
)的递增区间为:
(-∞,2)和(3,+∞);
'(
)<0,解得2<
<3∴(
f(x)递减区间为:
(2,3)
又
要f(x)+m=0有两个根,
f
x
)=-
m
有两解,分别画出函数
yfx
y
m
的图象,如图所示.
则(
=(
)与=-
由图知,实数
m的取值范围:
.
30.解:
(1)f′(x)=3ax2-b
由题意知
,
解得,
∴所求的解析式为f(x)=x3-4x+4;
(2)由
(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2)令f′(x)=0,得x=2或x=-2,
∴因此,当x=-2时,f(x)有极大值,
当x=2时,f(x)有极小值;
(3)由
(2)知,得到当x<-2或x>2时,f(x)为增函数;当-2<x<2时,f(x)为减函数,
∴函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图.
由图可知:
.
31.解:
(1)复数
z
是纯虚数,则由
,得
,即
a
=0.
(2)若复数z是实数,则a2-3a+2=0,得a=1或a=2.
(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限,
则,
即
,解得
a
或
a
<0
>2.
【解析】
1.解:
∵f(x)=x3+x
fx
x2
+1∴容易求出切线的斜率为
4当
x
f
x
利用点斜式,求出切
∴′(
)=3
=1时,
()=2
高中数学试卷第7页,共13页
线方程为4x-y-2=0故选B.
首先求出函数f(x)在点x=1处的导数,也就是切线的斜率,再利用点斜式求出切线方程.
本题比较简单,主要应用导数的几何意义,求出切线方程.
2.解:
设切点P(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又∵
∴x0+a=1∴y0=0,x0=-1∴a=2.
故选项为B
切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程;又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程.
本题考查导数的几何意义,常利用它求曲线的切线
3.解:
∵y=2x2+1,∴y′=4x,
令4x=-4,则x=-1,∴y=3∴点M的坐标是(-1,3)
故选C.
求导函数,令其值为-4,即可求得结论.
本题考查导数知识的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
4.解:
由y=f′(x)可得y=f′(x)有两个零点,x1,x2,且0<x1<x2,当x<x1,或x>x2时,f′(x)<0,即函数为减函数,
当x1<x<x2,时,f′(x)>0,函数为增函数,
即当x=x1,函数取得极小值,当x=x2,函数取得极大值,故选:
C
根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可.
本题主要考查函数图象的判断,结合函数单调性,极值和导数之间的关系是解决本题的关键.
5.解:
∵f(x)=-x3+ax2-x-1,∴f'(x)=-3x2+ax-1,
要使函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则f'(x)≤0恒成立,
即f'(x)=-3x2+ax-1≤0恒成立,
∴△=a2-4(-3)?
(-1)=a2-12≤0,
解得,
即实数a的取值范围是[].
故选:
B.
求函数的导数,函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则f'(x)≤0恒成立,
解不等式即可.
本题主要考查导数的应用,要求熟练掌握导数与函数单调性,极值,最值之间的关系.
6.解:
函数
f(x)=
x
,
fx
x2
-
mx
f
x
x
在区间[1
,2]上是增函数,
可得′()=
+4,函数()=
可得x2-mx+4≥0,在区间[1,2]
上恒成立,
可得m≤x+
,x+
≥2
=4,当且仅当x=2,时取等号、
可得m≤4.
故选:
D.
求出导函数,利用函数的单调性,推出不等式,利用基本不等式求解函数的最值,推出结果即可.
本题考查函数的导数的应用,考查最值的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及
高中数学试卷第8页,共13页
计算能力.
7.解:
y′=3x2-≥-,tanα≥-,
∴α∈[0,)∪[,π),
故答案选B.
先求函数的导数的范围,即曲线斜率的取值范围,从而求出切线的倾斜角的范围.
本题考查导数的几何意义,直线的倾斜角与斜率.
8.解:
由函数y=f(x)导函数的图象可知:
当x<-1及3<x<5时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当-1<x<3及x>5时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
fx
)的单调减区间为(-∞,-1),(3,5);单调增区间为(
-1,3),(5,+∞),
所以(
f(x)在x=-1,5取得极小值,在
x=3处取得极大值.
故选D.
利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断.
本题考查函数的单调性及极值问题,
本题以图象形式给出导函数,
由此研究函数有关性
质,体现了数形结合思想.
9.解:
若y=+(b+6)x+3在R上存在三个单调区间,
2
只需y′=x+2bx+(b+6)=0有2个不相等的实数根,
2
即只需△=4b-4(b+6)>0,解得:
b<-2或b>3,
故选:
D.
2
问题转化为只需y′=x+2bx+(b+6)=0有2个不相等的实数根即可.
10.解:
∵y=x3+bx2+(b+2)x+3,
∴y′=x2+2bx+b+2,
∵f(x)是R上的单调增函数,
∴x2+2bx+b+2≥0恒成立,∴△≤0,即b2-b-2≤0,
则b的取值是-1≤b≤2.
∴y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,
实数b取值范围是b<-1或b>2,
故选:
D.
三次函数y=x3+bx2+(b+2)x+3的单调性,通过其导数进行研究,故先求出导数,利用
其导数恒大于0即可解决问题.
本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题,属于基础题.
11.解:
导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,
由函数取得极大值点x0的充要条件是:
在x0左侧的导数大于0,
右侧的导数小于0,
由图象可知:
函数f(x)只有在点A,C处取得最大值,
而在B点处取得极小值,而在点O处无极值.
故选:
B.
导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,由函数取得极大值点x0的充要条件是:
在x0左侧的导数大于0,右侧的导数小于0,即可判断出结论.
本题考查了函数取得极大值在一点x0的充要条件是:
在x0左侧的导数大于0,右侧的导数小于0,考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力,属于中档题.
高中数学试卷第9页,共13页
12.
解:
命题等价于
x在(-3,3)内,
x
k
)>0恒成立
(-
-2+1)-(
即k<
,
y
,
设=
y'=
=(3-x)(1+x)
所以函数y=
,
在[-3,-1)内y递减,(-1,3]内递增所以x=-1,y取最小值
所以k<
故选B.
将已知条件当
x
l
恒在曲线C的上方,等价于
x
x
k
+1)
∈[-3,3]时,直线
在(-3,3)内(--2
-
>0恒成立,构造函数,通过求导数,判断出函数的单调性,进一
步求出函数的最值.
求函数在闭区间上的最值,一般的方法是求出函数的导函数,令导函数为
0,判断出根
左右两边的导函数值,求出函数的极值及区间两个端点处的函数值,选出最值.
13.解:
设与直线
2x-y+3=0平行且与曲线
y=2lnx相切的直线方程为
2x-y+m=0.
设切点为P(x0
,y0
),
∵y′=,
∴斜率=2,
解得x0=
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