高三数学用空间向量求角和距离.docx
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高三数学用空间向量求角和距离
9.8用空间向量求角和距离
一、明确复习目标
1.了解空间向量的概念;会建立坐标系,并用坐标来表示向量;
2.理解空间向量的坐标运算;会用向量工具求空间的角和距离.
二.建构知识网络
1.求角:
(1)直线和直线所成的角:
求二直线上的向量的夹角或补角;
(2)直线和平面所成的角:
①找出射影,求线线角;
②求出平面的法向量,直线的方向向量,设线面角为θ,则.
(3)二面角:
①求平面角,或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角(或补角);
②求两个法向量的夹角(或补角).
2.求距离
(1)点M到面的距离
(如图)就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.
由
得距离公式:
(2)线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离;
(3)异面直线的距离:
求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量,再代上面距离公式.
三、双基题目练练手
1.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是()
①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z)
②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z)
③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z)
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z)
A.3B.2C.1D.0
2.直三棱柱A1B1C1—ABC,∠BCA=90°,D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=___
4.已知A(3,2,1)、B(1,0,4),则线段AB的中点坐标和长度分别是,.
◆答案提示:
1.C;2.A;3.;
4.(2,1,),dAB=
四、以典例题做一做
【例1】(2005江西)如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:
D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1—EC—D的大小为.
解:
以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)
(1)
(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),
从而,,
设平面ACD1的法向量为不与y轴垂直,可设
,则
也即,得,从而,
∴点E到平面AD1C的距离:
(3)
设平面D1EC的法向量,
由
依题意
∴(不合,舍去),.
∴AE=时,二面角D1—EC—D的大小为
【例2】(2005全国)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,
且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点。
(Ⅰ)证明:
面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角;
(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.
(Ⅰ)证明:
因为PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,
又由题设知AD⊥DC,且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD
(Ⅱ)解:
因
由此得AC与PB所成的角为
(Ⅲ)解:
设平面ACM的法向量为,
由得:
设平面BCM的法向量为同上得
∴
结合图形可得二面角A-MC-B为
解法2:
在MC上取一点N(x,y,z),则存在使
要使
为所求二面角的平面角.
【例3】如图,AFDE分别是⊙O⊙O1的直径AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是⊙O的直径,AB=AC=6,OE//AD
(Ⅰ)求直线BD与EF所成的角;
(Ⅱ)求异面直线BD和EF之间的距离.
解:
(Ⅰ)以O为原点,BCAFOE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),
则O(0,0,0),A(0,,0),B(,0,0),D(0,,8),E(0,0,8),F(0,,0)
所以,
设异面直线BD与EF所成角为,则
直线BD与EF所成的角为
(Ⅱ)设向量与BD、EF都垂直,则有
,
∴BD、EF之间的距离
五.提炼总结以为师
1.求线线角、线面角、二面角的方法:
2.求点面距离,线面距离、面面距离及异面直线的距离的方法:
同步练习9.8用空间向量求角和距离
【选择题】
1.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()
A(,,)B(,,)
C(,,)D(,,)
2.在正方体A—C1中,E、F分别为D1C1与AB的中点,则A1B1与截面A1ECF所成的角为()
A.arctanB.arccosC.arcsinD.都不对
【填空题】
3.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是_________.
4.二面角α——β的平面角为120°,A、B∈,ACα,BDβ,AC⊥,BD⊥,若AB=AC=BD=,则CD的长为.
◆答案提示:
1.A;2.A;3.120°;4.2
【解答题】
5.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求D到平面ABC的距离.
解:
∵A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),
∴;
设平面ABC的法向量=(x,y,z),则·=0,·=0,
∴
即
令z=-2,则=(3,2,-2)由点到平面的距离公式:
==.
∴点D到平面ABC的距离为.
6.(2004浙江文)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
(Ⅰ)求证AM∥平面BDE;
(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF;
(Ⅲ)求二面角A—DF—B的大小;
解:
(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.
设,连接NE,
则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),
∴=(,
又点A、M的坐标分别是、(.
∴=(
∴=且与AM不共线,∴NE∥AM.
又∵平面BDE,平面BDE,
∴AM∥平面BDF.
(Ⅱ)
(Ⅲ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,
∴AB⊥平面ADF.
7.(2004全国·河北)如下图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小.
解
(1):
如下图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,连结PE.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB.
∵PA=PD,∴OA=OD.
于是OB平分AD,点E为AD的中点,∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,∴∠PEB=120°,∠PEO=60°.由已知可求得PE=,
∴PO=PE·sin60°=×=,即点P到平面ABCD的距离为.
(2)解法一:
如下图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.
P(0,0,),B(0,,0),PB中点G的坐标为(0,,),连结AG.
又知A(1,,0),C(-2,,0).
由此得到=(1,-,-),
=(0,,-),=(-2,0,0).
于是有·=0,·=0,
∴⊥,⊥.,的夹角θ等于所求二面角的平面角.
于是cosθ==-,
∴所求二面角的大小为π-arccos.
解法二:
如下图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,
则AG⊥PB,FG∥BC,FG=BC.
∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB.∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=,
在Rt△GAE中,AE=AD=1,于是tan∠GAE==.
又∠AGF=π-∠GAE,
∴所求二面角的大小为π-arctan.
8.如图,已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形,点P、Q分别是ED和AC的中点
求:
(1)与所成的角;
(2)P点到平面EFB的距离;
(3)异面直线PM与FQ的距离
解:
建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、M(0,0,a)、E(a,0,a)、F(0,a,a),
则由中点坐标公式得P(,0,)、Q(,,0)
(1)∴=(-,0,),=(,-,-a),
·=(-)×+0+×(-a)=-a2,
且||=a,||=a.
∴cos〈,〉===-.
故得两向量所成的角为150°
(2)设=(x,y,z)是平面EFB的法向量,
即⊥平面EFB,∴⊥,⊥.
又=(-a,a,0),=(0,a,-a),
即有,
取,则.
∵=(,0,).
∴设所求距离为d,则=a.
(3)设=(x1,y1,1)是两异面直线的公垂线的方向向量,
则由=(-,0,),=(,-,-a),
得,
而=(0,a,0)所求距离=a.
9.在60°的二面角的棱上,有A、B两点,线段AC、BD分别在二面角的两个面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8.
⑴求CD的长度;⑵求CD与平面所成的角
解:
⑴因为
,故有
,
∵CA⊥AB,BD⊥AB,∴
.
(2)过C作CE⊥平面α于E,连接AE、CE在△ACE中,CE=6sin60°=3,连接DE,则∠CDE就是CD与平面α所成角。
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