高中数学《双曲线》教案7 新人教A版选修11.docx
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高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修11
2019-2020年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修1-1
一、教学内容分析
本节的重点是双曲线性质的研究,通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.
本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系,以及渐近线与双曲线的位置关系.
二、教学目标设计
本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质,介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质,讨论共渐近线的双曲线系方程,使学生加深对双曲线性质的理解,能利用这些性质解决实际问题.
三、教学重点及难点
重点:
双曲线的性质.
难点:
双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习引入
1.观察
复习双曲线的定义、双曲线的标准方程(焦点位置)、标准方程中的意义(与椭圆对比)
2.思考
(类比椭圆)椭圆有哪些几何性质?
[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质,方法是相同的,这部分的内容可以采用类比的教学方法,让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质,得到一些结论并加以研究.
3.讨论
研究双曲线几何性质,双曲线图形发展趋势怎样?
二、学习新课
1.概念辨析
以双曲线标准方程,为例进行说明.
1.范围:
观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围:
双曲线在两条直线的外侧.
从双曲线的方程如何验证?
由标准方程可得,当时,y才有实数值;对于y的任何值,x都有实数值这说明从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线
2.对称性:
双曲线不封闭,但仍具三个对称性,称其对称中心为双曲线的中心
3.顶点:
双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形),所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长,它的长是2a,a叫半实轴长
而在方程中令x=0得,这个方程没有实数根,说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点,在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴,它的长是2b,b叫做虚半轴长
归纳:
顶点:
特殊点:
实轴:
长为2a,a叫做半实轴长.
虚轴:
长为2b,b叫做虚半轴长.
注意:
名称,不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点,与椭圆的又一差异
4.渐近线:
经过作轴、轴的平行线,围成一个矩形,其对角线所在的直线方程为.
(1)定义:
如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时,点到该直线的距离无限接近于零,则这条直线叫这一曲线的渐近线;
(2)直线与双曲线在无穷远处是否相交?
解:
不失一般性,只研究双曲线在第一象限内的部分与直线的位置关系;
设是上的点,是直线上与有相同横坐标的点,则,
,∴在的下方.
∴
,是关于的减函数,∴无限增大时,无限趋近于,而到直线的距离,∴无限增大时,也无限趋近于,但永不相交.其他象限类似证明;
(3)求法:
在方程中,令右边为零,则,得渐近线方程即;
若方程为,则渐近线方程为.
2.问题拓展
(一)等轴双曲线
1、定义:
若a=b即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线
2、方程:
或.
3、等轴双曲线的性质:
(1)渐近线方程为:
;
(2)渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3)等轴双曲线方程可以设为:
当时交点在轴,当时焦点在轴上.
例:
等轴双曲线的两个焦点在直线上,线段的中点是原点,分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.
(二)共轭双曲线
1、定义:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
2、方程:
(1)的共轭双曲线为;的共轭双曲线为;
(2)互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;
3、性质:
有一对共同的渐近线;有相同的焦距,四焦点共圆;
4、注意:
(1)共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线,如和;
(2)与(a≠b)不共渐近线,有相同的焦距,四焦点共圆;
例如:
分清①、与②、③、④、⑤之间的关系.
(三)共渐近线的双曲线系方程
问题
(1)与;
(2)与的区别?
(1)不同(互换)相同,焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线);
(2)不同,不同,焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此:
双曲线的渐近线是,但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.
问题:
共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征?
如果已知一双曲线的渐近线方程为,那么此双曲线方程就一定是:
或写成.
当时交点在x轴,当时焦点在y轴上.
即:
双曲线()与双曲线有共同的渐近线.
证明:
若,则双曲线方程可化为,渐近线,双曲线的渐近线方程为,
∴两双曲线渐近线相同;
若,则双曲线方程可化为,渐近线,即,又∵双曲线的渐近线方程为,
∴两双曲线渐近线相同,所以,原命题结论成立.
[说明]与双曲线()有共同渐近线的所有双曲线方程为().
3.例题分析
1、若双曲线以为渐近线,根据下列条件,分别求双曲线标准方程.
(1)且实轴长为;
(2)过点;(3)一个焦点坐标为.
解:
(1)设双曲线方程为,
当时焦点在x轴上,,双曲线方程;
当时焦点在y轴上,,双曲线方程;
(2)设双曲线方程为
将代入得,双曲线方程
(3)设双曲线方程为,因为焦点坐标为,所以,,双曲线方程为.
2、
(1)求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角;
(2)焦距为,两条渐近线包含双曲线的部分所成角为,求双曲线标准方程.
解:
(1)渐近线方程为,,;
(2)当焦点在轴上时,方程为;
当焦点在轴上时,方程为.
三、巩固练习
1、中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是.
2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.
3、求与双曲线有共同的渐近线,且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.
4、以5x2+8y2=40的焦点为顶点,且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是.
四、课堂小结
双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线;双曲线的渐近线是,但反过来此渐近线对应的双曲线则是或写成.
五、作业布置
1、习题册P363,4,5,6,7
2、补充作业
(1)求方程mx2+ny2+mn=0(m (2)双曲线的渐进线方程为,且焦距为10,求双曲线方程. (3)求以为渐近线,一个焦点是F(0,2)的双曲线方程. 七、教学设计说明 1.研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的,所以采用类比的教学方法,让学生在已有经验的基础上,研究双曲线并得出结论,比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣,提高学生分析问题的能力. 2.渐近线是双曲线所特有的,证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零,是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程,或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容,所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程,加深学生对渐近线的认识. 3.等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线,通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质,开拓视野. 2019-2020年高中数学《双曲线》教案7新人教A版选修1-1 一、教学内容分析 本节的重点是双曲线性质的研究,通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容. 本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系,以及渐近线与双曲线的位置关系. 二、教学目标设计 本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质,介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质,讨论共渐近线的双曲线系方程,使学生加深对双曲线性质的理解,能利用这些性质解决实际问题. 三、教学重点及难点 重点: 双曲线的性质. 难点: 双曲线的渐近线与双曲线的位置关系. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、复习引入 1.观察 复习双曲线的定义、双曲线的标准方程(焦点位置)、标准方程中的意义(与椭圆对比) 2.思考 (类比椭圆)椭圆有哪些几何性质? [说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质,方法是相同的,这部分的内容可以采用类比的教学方法,让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质,得到一些结论并加以研究. 3.讨论 研究双曲线几何性质,双曲线图形发展趋势怎样? 二、学习新课 1.概念辨析 以双曲线标准方程,为例进行说明. 1.范围: 观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围: 双曲线在两条直线的外侧. 从双曲线的方程如何验证? 由标准方程可得,当时,y才有实数值;对于y的任何值,x都有实数值这说明从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性: 双曲线不封闭,但仍具三个对称性,称其对称中心为双曲线的中心 3.顶点: 双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形),所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长,它的长是2a,a叫半实轴长 而在方程中令x=0得,这个方程没有实数根,说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点,在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴,它的长是2b,b叫做虚半轴长 归纳: 顶点: 特殊点: 实轴: 长为2a,a叫做半实轴长. 虚轴: 长为2b,b叫做虚半轴长. 注意: 名称,不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点,与椭圆的又一差异 5.渐近线: 经过作轴、轴的平行线,围成一个矩形,其对角线所在的直线方程为. (4)定义: 如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时,点到该直线的距离无限接近于零,则这条直线叫这一曲线的渐近线; (5)直线与双曲线在无穷远处是否相交? 解: 不失一般性,只研究双曲线在第一象限内的部分与直线的位置关系; 设是上的点,是直线上与有相同横坐标的点,则, ,∴在的下方. ∴ ,是关于的减函数,∴无限增大时,无限趋近于,而到直线的距离,∴无限增大时,也无限趋近于,但永不相交.其他象限类似证明; (6)求法: 在方程中,令右边为零,则,得渐近线方程即; 若方程为,则渐近线方程为. 2.问题拓展 (一)等轴双曲线 1、定义: 若a=b即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线 2、方程: 或. 3、等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: ; (2)渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3)等轴双曲线方程可以设为: 当时交点在轴,当时焦点在轴上. 例: 等轴双曲线的两个焦点在直线上,线段的中点是原点,分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程. (二)共轭双曲线 1、定义: 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线. 2、方程: (1)的共轭双曲线为;的共轭双曲线为; (2)互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或; 3、性质: 有一对共同的渐近线;有相同的焦距,四焦点共圆; 4、注意: (1)共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线,如和; (2)与(a≠b)不共渐近线,有相同的焦距,四焦点共圆; 例如: 分清①、与②、③、④、⑤之间的关系. (三)共渐近线的双曲线系方程 问题 (1)与; (2)与的区别? (1)不同(互换)相同,焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线(共轭双曲线); (2)不同,不同,焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此: 双曲线的渐近线是,但反过来
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