《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究.docx
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《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究
《解析几何》高考命题规律分析与解题对策研究
《立体几何》高考命题规律趋势分析与解题对策研究卓越数学组刘朝阳立体几何是高中数学的重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线,其本质是用代数的方法研究图形的几何性质.在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下,每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例,除涉及平面向量知识外,还常与数列及函数和导数不等式交汇.一、版块知识分析及考纲考情分析1、知识结构图2、《考试大纲》要求考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求①知识要求.高中平面解析几何的内容要求的层次分析:
了解部分(文、理科完全一样):
二元一次不等式表示平面区域.线性规划的意义.解析几何的基本思想,坐标法.圆的参数方程的概念.椭圆的参数方程.圆锥曲线的初步应用.理解和掌握部分:
除上述了解部分外,其余都在理解和掌握的水平上;可见解析几何这一知识板块的重要性,这方面知识的考查在难题、中档题都有可能出现,根据考试说明的要求,我们在平时的教学中还是应上到一定的难度,以不变应万变.②能力要求.能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识.高中平面解析几何的主要体现在思维能力和运算能力上.③个性品质要求.个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.其中提到的要求考生崇尚数学的理性精神,形成审慎思维的习惯,体会数学的美学意义.克服紧张情绪树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神.在解析几何上是体现得淋漓尽致!
3、思想方法高考命题的着眼点看上去是考查知识,但核心是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力.利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质,其核心是数形结合的思想方法,由于解析几何内容的综合性,在解决问题的过程中,就必然还要用到其它的思想方法,如函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般思想,以及待定系数法、换元法等等.二、安徽卷近6年数学文、理高考试卷考查《解析几何》有关内容分析:
表一:
考点、分值和题型分析年份理科文科题号考点分值总分题号考点分值总分20088求直线倾斜角取值范围52210直线与曲线的公共点的考查52715点线距与线性规划511线性规划522直线与椭圆位置关系
(1)求椭圆方程
(2)求定点在定直线上.主要考查焦点坐标,椭圆定义,向量共线,设而不求的解法.1214双曲线离心率考查522直线与椭圆.1220093椭圆离心率5326曲线离心率5277直线与线性规划.57直线方程59抛物线,抽象函数,导数,切线方程514同理14512极坐标,两点间距离520直线与椭圆置关系
(1)求椭圆与直线的交点唯一
(2)求直线倾斜角的正切值成等比.主要考查焦点弦,解三角形,弦长公式,设而不求的通法,并与等比数列交汇.1218直线与椭圆的考查1220105利用双曲线的标准方程求双曲线的右焦点坐标5224直线方程5357曲线的参数方程与直线的距离512抛物线焦点坐标521直线与数列1319椭圆与直线
(1)求椭圆的方程
(2)角平分线所在的直线方程(3)对称点问题.主要考查椭圆的定义,离心率,角平分线的性质,交点弦,以及设而不求的通常解法.1217椭圆的方程及角平分线的直线方程1220192双曲线的实轴长的求解5273双曲线实轴长5235极坐标下的圆心距的求法56线性规划515直线方程与过整点的探讨,以及充要条件的考查521直线与抛物线位置关系
(1)求点的轨迹方程.主要考查抛物线焦点弦,基本性质,对称性,坐标化,以及其与向量关系的考查,和轨迹方程的一般解题思路.1217直线与直线位置关系,与直线与椭圆的交点1320199抛物线,焦点弦,以及焦点三角形面积的考查5228线性规划52813极坐标下的圆的方程与直线方程中的圆心到直线的距离的求解59直线与圆有公共点的范围问题520直线与椭圆位置关系、以及椭圆准线的知识点
(1)求椭圆方程
(2)证直线与椭圆有一个公共点.主要考查解方程组求曲线交点,韦达定理,焦点弦的运用,以及设而不求的思想.1214抛物线交点弦的考查520椭圆与焦点三角形1320197极坐标下的圆的切线方程的求解5274直线的充要条件5289向量引入的简单的线性规划面积的考查56直线与圆的弦长问题513直线与抛物线交点问题与参数范围的求解512线性规划518直线与椭圆,求
(1)求椭圆的标准方程
(2)变化下的定点过定直线问题.主要考查利用定义求椭圆问题,以及垂直关系,设而不求的解法.1221椭圆与直线的位置关系13表二:
以2019年安徽数学高考《考试说明》为参考,(Ⅰ)卷近6年文、理考点频率分析:
序号考试内容说明理科频数分值频数分值文科1直线的倾斜角和斜率求斜率315210倾斜角点斜式2102直线方程的点斜式和两点式3152103直线方程的一般式4两直线位置关系平行15垂直155两条直线的交角6点到直线的距离距离公式3153157线性规划曲线与方程的概念求最值42052589圆的标准方程和一般方程涉及定义及方程21021010圆的参数方程涉及点线距151511圆的几何性质椭圆及其标准方程直线与圆位置关系涉及定义及方程6307351263063013椭圆的简单几何性质焦半径、焦点弦、焦点三角形、夹角、离心率63063014椭圆的参数方程15双曲线及其标准方程16双曲线的简单几何性质焦半径、焦点弦、焦点三角形、夹角、离心率630630涉及定义及方程63063017抛物线及其标准方程涉及定义及方程73573518抛物线的简单几何性质焦半径、焦点弦、焦点三角形、夹角直线、圆与圆锥曲线及圆锥曲线间的关系73573519圆锥曲线的初步应用840840与三角形面积有关的315315与四边形面积有关的210210三、高考命题的特征及趋势:
我们可以通过以上表格来分析解析几何高考的命题特征及趋势:
1、题量稳定:
近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右,占总分值的20%左右,其中2010年文科达到了35分之多,足见其之不可动摇的重要地位.文理考点与分值差别不大,只是顺序变化,特别是解答题完全相同,理科都放在第21题,而文科都放在第20题.2、整体平衡,重点突出:
重点内容重点考,重点内容年年考.以2019年安徽数学高考《考试说明》为参考,可理解为有19个知识点,一般考查的知识点在60%左右,其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点,对支撑数学科知识体系的主干知识,考查时保证较高的比例并保持必要深度.直线与圆的方程,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石,也是高考命题的基本元素.高考十分注重对这些基础知识的考查,有的是考查定义的理解和应用,有的是求圆锥曲线的标准方程,有的是直接考查圆锥曲线的离心率,有的是考查直线与圆和圆锥曲线的位置关系等.近6年安徽卷数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型:
①求曲线方程(类型确定,甚至给出曲线方程);②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题(含切线问题);③与圆锥曲线定义有关的问题(涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线,利用余弦定理等)④与曲线有关的最值问题(含三角形和四边形面积);⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等);⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少);3、能力立意,渗透数学思想:
如2019年理第(18)题(文科第
(2)题),以椭圆和直线为背景,将两者的概念、性质等知识融为一体,有很强的综合性.一些虽是常见的基本题型,但如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案.4、题型稳定,中规中矩,不偏不怪,内容及位置也很稳定.对某个知识的考查都没有太多的变化更没有出什么花样.近6年来安徽卷的解析几何试题的难度都不算太大,选择题、填空题大多属易中等题,圆一般不单独考查,总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题.高考一般不给出图形(选择题、填空题从没有,解答题也只基本不给图),以考查学生的想象能力、分析问题的能力,从而体现解析几何的基本思想和方法,解答题加大与相关知识的联系(如向量、函数与导数、方程、不等式等),难度不大,所有问题均很直接,都不具备探索性.特别是近4年的解答题都与直线有关,计算量减少,但思考量增大,对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题,体现在解法上,不仅仅只是利用根与系数关系研究,而是在方法的选择上更加灵活,如联立方程求交点或向量的运算、设而不求思想得以体现等,思维层次的要求并没有降低.若再按以前的解几套路解题显然难以成功.四、解题对策研究1、直线与圆的方程要理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握点到直线的距离公式等,特别是求直线方程的三种形式.要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法.如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等.这些方法是解决与圆有关问题的常用方法,必须认真领会,熟练运用.xy+=通过点M例1(2008年全国Ⅰ卷理10)若直线1ab(cossin),,则()A.221ab+B.221ab+C.22111ab+D.22111ab+2、线性规划全国大纲卷的这部分内容考得很直接很简单,线性约束条件都不含参数且目标函数都是直线型的,其他型的可做了解,不必过分拓展.例2(2008年全国Ⅰ卷理13)若xy,满足约束条件03003xyxyx++,,,则2zxy=的最大值为.其它年高考的目标函数如:
(2008年全国Ⅱ卷理5)则(2010年全国Ⅰ卷理3)则(2010年全国Ⅱ卷理3)则(2019年全国Ⅰ卷理3)则3、圆锥曲线的定义、标准方程
(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一.对于圆锥曲线定义的考查,一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间yyyyxx23zzzz32+xx====的最小值为()的最大值为()的最大值为()的最小值为.的关系,属于基础知识、基本运算的考查,一般用到余弦定理解三角形,解题时要注意恒等变形,进行合理转化与化归.此类题目高考常现,每年约有两道小题.
(2)圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位.一般地,求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查直线与圆锥曲线的第一小问的,这一问至关重要,因为只有求出了曲线方程,才能进行下一步的运算.求曲线方程的方法很多,其中待定系数法最为常见.例3(2019年全国Ⅰ卷理8)已知12,FF为双曲线22:
2Cxy=的左右焦点,点P在C上,12||2|=|PFPF,则12cosFPF=()A.14B.35C.34D.45【命题意图】本小题主要考查了双曲线的定义和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可.类似的题目很多.(2019年全国Ⅰ卷理10)已知抛物线C:
24yx=的焦点为F,直线24yx=与C交于A,B两点.则cosAFB=()4B.A.535C.35D.45(2019年全国Ⅰ卷理15)已知1F、2F分别为双曲线C:
221927xy=的左、右焦点,点AC,点M的坐标为(2,0),AM为12FAF的平分线.则2||AF=.(2010年全国Ⅰ卷理9)已知12,FF为双曲线22:
1Cxy=的左、右焦点,点在P在C上,1260FPF=,则P到x轴的距离为()A.32B.62C.3D.6总结:
利用圆锥曲线的定义是解决此类问题的有效方法,当然熟记某些常用的结论对于提高解题速度大有好处,特别是在高考复习的冲刺阶段,尤为重要.4、圆锥曲线的离心率离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点.求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题,其归根结底是利用定义寻求关于a、b、c的相应等式,并把等式中的a、b、c转化为只含有a、c的齐次式,再转化为含e的等式,最后求出e.该类题型较为基础,一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现,而对于选择填空题中常常可利用第二定义构造直角三角形来解决,避免了复杂的运算.例4(2010年全国Ⅰ卷理16)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点,则C的离心率为.22:
1(Cabab,则k=D,且2BFFD=(2010年全国Ⅱ卷理12)已知椭圆220)xy+=>>的离心率为32,过右焦点F且斜率为(0)kk>的直线与C相交于AB、两点.若3AFFB=A.1B.2C.3D.2(2010年全国Ⅱ卷理15)已知抛物线2:
2(0)Cypxp=>的准线为l,过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若AMMB=,则p=.(2009年全国Ⅰ卷理12)已知椭圆22:
12xCy+=的右焦点为F,右准线为l,点Al,线段AF交C于点B,若3FAFB=,则||AF=()a.2b.2C.3D.3(2009年全国Ⅱ卷理11)已知双曲线()222210,0xyCabab=:
的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点,若4AFFB=,则C的离心率为()A.65B.75C.58D.95类似的题目还有2008年全国Ⅰ卷理15,2007年全国Ⅰ卷理11,2007年全国Ⅱ卷理115、直线与圆锥曲线的位置关系及圆锥曲线的综合性问题此类试题一般为理第21(文22)题,主要考查圆锥曲线的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.高考对圆锥曲线的考查是综合性的,这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式、数列及函数和导数等知识的相互交汇,一般以圆锥曲线为依托,结合圆这一重要曲线,全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系,考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用.外省的高考题经常设计有探究性存在性问题,还有定点定值、最值及参数范围等问题,题目新颖而精彩,但,这毕竟是属于别人的精彩,并非我们的!
相比之下,我们全国大纲卷的命题更显平稳平淡中庸,特别注重基础,从2007年到2019年的全国Ⅰ卷来看,除2008年的以双曲线为背景结合向量融入等差数列的题目有些新意外,其余的都是以椭圆或抛物线为背景,全部给定圆锥曲线方程.所以不存在再考查求其方程和离心率的可能(都在小题考了),所以大都结合考查圆的有关知识,也经常考查与平面向量基础知识的综合运用.有关题型应引起我们足够的重视.例5【2019高考北京理19】已知椭圆22:
14xGy+=.过点(m,0)作圆221xy+=的切线l交椭圆G于A,B两点.(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(II)将AB表示为m的函数,并求AB的最大值.例6【2019高考浙江理21】如图,椭圆C:
2222+1xyab=(a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)求∆ABP的面积取最大时直线l的方程.例7【2010高考陕西理21】如图,椭圆C:
22221xayb+=的顶点为1212,,,AABB,焦点为12,FF,117AB=,11ABAB2211BFBF222SS=.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,1OP=,是否存在上述直线l使0=OBOA成立?
若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、基本不等式等基础知识,考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力.直线与圆锥曲线的问题,一般方法是联立方程,利用设而不求思想解题.五、复习建议1、回归课本,重视通性通法从近年的高考试题中,我们可以发现高考命题的一个重要规律:
很多高考试题在课本中都能找到题源.因为高考命题的一个不变的原则就是源于课本,又不囿于课本,因此,在高考的复习中,我们必须重视课本知识的回顾和整理,对课本知识重新认识,挖掘其更深层次的内容,充分发挥课本上的典型例题和习题的作用,提高复习效率,达到事半功倍的复习效果.例如:
课本上圆心与弦中点连线与该弦垂直(斜率关系)推广到圆锥曲线类似问题.课本P.83例2:
已知圆的方程是222xyr+=,求经过圆上一点M(00,xy)的切线方程.本题的多种求解方法及结果的推广都很重要.课本P.90习题7.6第3题圆的直径式方程的求解及应用(解决以二次曲线的弦为直径的圆系)课本P.107习题8.1第5题椭圆焦点三角形的有关问题课本P.131例3中抛物线焦点弦(有斜率或倾斜角)长的求解与推广课本P.133习题8.5第7题焦点弦两端点的横坐标(或纵坐标)之积为定值的意义及推广课本P.137习题8.6第6题所涉及的有关模型2、夯实基础,关注核心内容常态试题是考查数学基础知识、基本技能的重要阵地,《考试说明》在命题指导思想中也指出:
考查考生对基础知识、基本技能的掌握程度是高考考查的重要目标之一,对数学基础知识的考查,要求既全面,又突出重点.对于支撑数学知识体系的主干知识要占有较大的比例,是支撑数学试卷的主体.因此,考查核心内容、主干知识的问题在高考的试卷中都较为基础、常态.按前面统计的高频词,除了课本上有的之外,还有的往往会让我们忽略,稍有不慎满盘皆输,例如:
⑴重心坐标计算及向量表示(2019年全国Ⅰ卷理21)已知O为坐标原点,F为椭圆C:
2212yx+=在y轴正半轴上的焦点,.过F且斜率为2的直线l与C交与A、B两点,点P满足0OAOBOP++=(Ⅰ)证明:
点P在C上;(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:
A、P、B、Q四点在同一圆上.(2007年全国Ⅱ卷理12)设F为抛物线xy42=的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若0=++FCFBFA,则=++||||||FCFBFA()A.9B.6C.4D.3⑵角平分线定理(2019年全国Ⅰ卷理15)已知1F、2F分别为双曲线C:
221927xy=的左、右焦点,点AC,点M的坐标为(2,0),AM为12FAF的平分线.则2||AF=.⑵研究透圆(含初中知识)圆幂定理及其逆定理(相交弦定理、切割线定理及割线定理)、有关外接圆和内切圆的性质和定理、有关切线的性质和定理、圆的弦的有关性质.近四年的全国Ⅰ卷解答题均与此有关.⑷三角形和四边形的面积计算的各种方法(特别注意与圆相结合的,以及对角线互相垂直的四边形)(2009年全国Ⅰ卷理21)如图,已知抛物线2:
Eyx=与圆222:
(4)(0)Mxyrr+=相交于A、B、C、D四个点.(I)求r得取值范围;(II)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P坐标.(2009年全国Ⅱ卷理16)已知ACBD、为圆O:
224xy+=的两条相互垂直的弦,垂足为()1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为.(2008年全国Ⅱ卷理21)设椭圆中心在坐标原点,(20),,,(01)AB是它的两个顶点,直线)0(k=kxy与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若6EDDF=,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.(2008年全国Ⅰ卷理14)已知抛物线21yax=的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为.(2007年全国Ⅰ卷理11)抛物线24yx=的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF△的面积是()A.4B.33C.43D.8(2007年全国Ⅰ卷理21)已知椭圆22132xy+=的左、右焦点分别为1F,2F.过1F的直线交椭圆于BD,两点,过2F的直线交椭圆于AC,两点,且ACBD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为00()xy,,证明:
2020192xy+;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.⑸向量的基本运算⑹导数的几何意义与基本应用⑺均值不等式与类双勾函数()0()(+=abxbaxxf型)求最值3、熟记一些重要二级结论,对解决选择填空题非常有效,对解答题也有很好的指导作用.解析几何中的二级结论特别多,而抛物线又是特别多,其中又绝大多数与焦点、焦半径、焦点弦,焦点三角形和准线有关,简单地说,就是与定义有关.如抛物线的二级结论有如下:
有关定点、定值问题;有关圆线相切问题;有关共线问题;有关平分问题;有关面积问题;与数列有关的问题等.(2010年全国Ⅰ卷理9)已知12,FF为双曲线22:
1Cxy=的左、右焦点,点在P在C上,1260FPF=,则P到x轴的距离为()A.32B.62
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