高等代数试题库1.docx
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高等代数试题库1.docx
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高等代数试题库1
高等代数试题库
一、填空题:
1、在C[-1,1]中,定义
1
1
f(x)g(x)dx,则向量1的长度
为_____,1与x的夹角为_________。
2、二次型f(x1,x2)=x1
2+4x1x2+3x2
2的矩阵是___________。
3、R3的子空间W={(a,2a,3a)|a∈R}则dimW=_______。
4、设n阶矩阵A的特征根为λ1,λ2,⋯λn,则detA=___,Tr(A)=____。
5、线性变换σ的属于本征值λ的特征子空间Vλ=____________。
6、设α1,α2,⋯αn是欧氏空间V的一个规范正交基,V中向量α在
基α1,α2,⋯αn下的坐标可由内积表示为________。
7、R2的线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为A=⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
34
12
,则σ在基α1+
α2,2α2下的矩阵为___________。
8、实二次型f的典范形式由________和___________唯一确定。
9、实对称矩阵A正定当且仅当A与__________合同。
10、Rn空间中,向量α与任意向量β的内积都等于零的充要条件是
_________。
11、数域F上任意一个n维向量空间都与同构。
12、α线性相关的充要条件是。
13、α、β线性相关的充要条件是。
14、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为()
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
123
x
x
x
xxxA,
则A=___________。
15、设α1是线性方程组AX=B的一个解,α2是线性方程组AX=0的一
个解,则α1-α2是_______的一个解。
16、设n阶可逆矩阵A的特征根为λ1,λ2,⋯,λn,则A-1的特征
根为____________。
17、设W1、W2是V的两个子空间,则W1与W2的和W1+W2=。
18、二次型f(x1,x2)=()⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
1
1234
12
x
x
xx的矩阵为_________。
19、对任意向量空间V,V的平凡子空间是和。
20、线性变换把线性相关向量变成。
21、方程2x4−x3+2x−3=0的有理根为。
22、含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式D≠0时,
该方程组有解。
23、两矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。
24、设矩阵A=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
003
022
111
,A的转置矩阵为AT,则ATA=。
25、n阶可逆矩阵必等价于。
26、若4阶矩阵A的秩为2,则A的所有阶子式都等于零。
27、零多项式是。
28、若p(x)是不可约多项式,而f(x)是一个任意多项式,则当
(p(x),f(x))≠1时,有。
29、两本原多项式的乘积是多项式。
30、τ(n(n−1)⋅⋅⋅321)=。
31、设A为n阶方阵,则−A=。
32、设三阶方阵A,B满足A−1BA=6A+BA且A=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
7
001
0
4
01
00
3
1
则B=。
33、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素,则行列式值为。
34、设一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为A和B,则有解
的充要条件为
35、在实数域上,任意次数≥多项式都可约。
36、含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式D≠0时,
其方程组有且仅有解。
37、任n个矩阵乘积的行列式等于其矩阵行列式的。
38、有理数域多项式存在不可约多项式。
39、n阶可逆矩阵必等价于。
40、零多项式是。
41、若4阶矩阵A的秩为3,则A的所有阶子式都等于零。
42、若p(x)是不可约多项式,而f(x)是一个任意多项式,则当p(x)
不能整除f(x)时,有。
43、两本原多项式的乘积是多项式。
44、设A为4阶方阵,则3A=。
45、τ(n(n−1)⋅⋅⋅321)=。
46、设三阶方阵A,B满足A−1BA=6A+BA且A=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
7
001
0
4
01
00
3
1
则B=。
47、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为
和。
48、矩阵
11
12
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
的逆矩阵是_______________.
49、设A为m×n矩阵,B是一个矩阵,且BA有意义,则B的列数等于
___________.
50、设向量组12,,,rααα与12,,,sβββ等价,它们的秩分别为p,q,则
p与q的关系是_______.
51、设n级矩阵A的特征值为12,,,nλλλ,则
A=___________,Tr(A)=_____________.
52、二次型()1
1212
2
22
(,)
21
x
fxxxx
x
⎛⎞⎛⎞
=⎜⎟⎜⎟⎝−⎠⎝⎠
的矩阵为______.
53、设12,,,mααα为n维向量,已知12,,,mααα线性无关,则m和n的
关系是__________.
54、n维欧氏空间V中向量ξ在标准正交基{}12,,,nααα下的坐标是
()12,,,nxxx,那么(,)_________,__________iξα=ξ=.
55、在欧氏空间R4中,向量α=(−1,2,−2,4),β=(0,−2,2,2),那么α与β的
夹角是____________,d(α,β)=____________.
56、线性变换把线性相关向量变成_____________向量.
57、Rn空间中,向量α与任意向量β的内积都等于零的充要条件是
_________.
58、设A为正交矩阵,则A=_________或_______.
59、设1a,2a不等于零,则
1
2
1
0
0−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
a
a
=.
60、设A、B均为n级对称矩阵,则AB也是对称矩阵的充要条件是
_____________.
61、设A为7级反对称矩阵,则A=_________.
62、设n级可逆矩阵A的特征值为12,,,nλλλ,则A−1的特征值是
_______________;f(A)的特征值是___________________;
A=_____________.
63、欧氏空间中对称变换的属于不同特征值的特征向量
_________________.
64、实对称矩阵的特征值都是__________.
65、当一个向量组的极大无关组不唯一时,其两个不同的极大无关组
所含向量个数_______.
66、设12,,,sααα是n维线性空间中s个向量,则当s满足条件________
时,12,,,sααα线J______性相关.
67、数域P上任意一个n维线性空间都与同构.
68、二次型f(x1,x2)=()⎟
⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
2
1
1234
12
x
x
xx的矩阵为_________.
69、设A∈Pn×n,f(λ)为A的特征多项式,则f(A)0.
70、实对称矩阵A正定当且仅当A与__________合同.
71、设A为m×n矩阵,秩(A)=r 解系含______个解向量. 72、在C[-1,1]中,定义 1 1 f(x)g(x)dx,则向量1的长度 为_____,1与x的夹角为_________。 73、二次型f(x1,x2)=x1 2+6x1x2+2x2 2的矩阵是___________。 74、R3的子空间W={(a,2a,3a)|a∈R}则dimW=_______。 75、线性变换σ的属于特征根λ的特征子空间Vλ =_________________。 76、设α1,α2,⋯αn是欧氏空间V的一个标准正交基,V中向量α 在基α1,α2,⋯αn下的坐标可由内积表示为__________。 77、R2的线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为A=⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 34 12 ,则σ在基α1+ α2,2α2下的矩阵为___________。 78、实二次型f的典范形式由________和___________唯一确定。 79、若C=AB,则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为______________。 80、Rn空间中,向量α与任意向量β的内积都等于零的充要条件是, _________。 81、设A为n阶可逆矩阵,则|A-1|=__________。 82、实对称矩阵A正定当且仅当A与__________合同。 83、已知矩阵A、B、C=(cij)m×n,满足AC=CB,则A和B分别是____ 阶和____阶矩阵。 84、二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3的矩阵表达式为() ⎟⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 123 x x x xxxA, 则A=___________。 85、设α1是线性方程组AX=B的一个解,α2是线性方程组AX=0的一 个解,则α1-α2是_______的一个解。 86、设n阶可逆矩阵A的特征根为λ1,λ2,⋯λn,则A-1的特征根 为____________。 87、线性变换σ的属于特征根λ的特征子空间Vλ=_______________。 88、在Rn空间中,向量α与任意向量β的内积都等于零的充要条件是 __________。 89、R2的线性变换σ在基α1,α2下的矩阵为A=⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 34 12 ,则σ在基α1+ α2,2α2下的矩阵为___________。 90、实二次型f的典范形式由________和___________唯一确定。 91、若C=AB,则矩阵C的秩与矩阵A、B的秩的关系为______________。 92、二次型f(x1,x2)=()⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 1 1234 12 x x xx的矩阵为_________。 93、设A为n阶矩阵,且n>1,|A|=d,则|A*|=__________。 94、实对称矩阵A正定当且仅当A与__________合同。 95、已知⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 31 12 10 3 1 1 3 1 0 10 X,则X=______________。 96、零次多项式是一个_________________________。 97、p(x)是不可约多项式,f(x)为任意多项式,则p(x)与f(x)的关 系为_________或。 98、实数域上的不可约多项式只有 和。 99、映射的合成不满足________。 100、若n阶行列式有多于n2-n个为零的元素,则其行列式值等于 _______。 101、ijn(a)表示的n阶行列式是____项的代数和,其一般项 是,符号是___________。 102、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r, 且r 103、每一个对换都改变排列的。 104、若一个整系数多项f(x)在有理数域上不可约,则f(x)有 理根。 105、若是一个整系数多项式f(x)的系数_______,则称f(x)是一个 本原多项式。 106、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式 _________时,有且只有一个解。 107、设f(x)=4x4-7x2-5x-1,则f(x)的有理根为。 108、设f(x),g(x)不是零多项式,在f(x)与g(x)的一切公因式中, 最大公因式是次数者。 109、当且仅当f(x)是多项式时,任意多项式g(x)与f(x)的 最大公因式都是g(x)。 110、设f: A→B,g: A→B都是集合A到B的映射,则f=g是 指。 111、排列2k,1,2k-1,2,⋯,k+1,k的反序数是。 112、|(aij)n|表示的n阶行列式是_______________项的代数和, 其一般项是____________,符号是___________。 113、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为 ______或_______。 114、每一个对换都改变排列的________。 115、设f(x)=x5-x4-2x3+2x2+x-1,则f(x)的典型分解式 为。 116、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数,则该方程 组有解。 117、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式 _________时,有且只有一个解。 118、设f(x)=xn+1,则f(x)重因式。 119、零多项式是指_________________________。 120、p(x)是不可约多项式,f(x)为任意多项式,若(p(x),f(x))≠ 1,则。 121、f(x)、g(x)是本原多项式,则f(x)g(x)本原多项式。 122、若α是f(x)的k重根,则α是f(x)一阶导数的重根。 123、映射的合成不满足________。 124、ijn(a)表示的n阶行列式是____项的代数和,其一般项 是,符号是___________。 125、若一个n元线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩都等于r, 且r 126、每一个对换都改变排列的。 127、当且仅当f(x)是多项式时,任意多项式g(x)与f(x)的 最大公因式都是g(x) 128、三阶初等矩阵T12(3)是。 129、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式 _________时,有且只有一个解。 130、设A、B、C为n阶方阵且A可逆,则当AB=C时,B=。 131、若detA≠0,B≠0,则AB0. 132、设f(x),g(x)不是零多项式,在f(x)与g(x)的一切公因式中, 最大公因式是次数者。 133、若一个整系数多项f(x)在有理数域上不可约,则f(x)有 理根。 134、设f: A→B,g: A→B都是集合A到B的映射,则f=g是 指。 135、排列2k,1,2k-1,2,⋯,k+1,k的反序数是。 136、|(aij)n|表示的n阶行列式是_______________项的代数和, 其一般项是____________,符号是___________。 137、若一个线性方程组的系数矩阵的秩为r,则其增广矩阵的秩为_ _____或_______。 138、每一个对换都改变排列的________。 139、若一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数,则该方程 组有解。 140、一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式 _________时,有且只有一个解。 141、设f(x)=xn+1,则f(x)重因式。 142、______________是最小的数域。 143、43217865的反序数是。 144、在四阶行列式(aij)中,23124134aaaa的符号是。 145、初等变换不改变矩阵的__。 146、在一个齐次线性方程组中,若方程组的系数矩阵的秩小于它的 未知量的个数,则该方程组有解。 147、行列式 456 234 123 =。 148、在一个齐次线性方程组中,若方程组的系数行列式等于零,则 该方程组有解。 149、设A、B为任意两个n阶方阵,则AB=。 150、三阶初等矩阵T12(3)是。 151、()n n aaa b b b ,,12 2 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ ⎛ =。 152、设A为三阶矩阵,|A|≠0,但A的第二行,第三列元素的代数 余子式A23≠0,则为AX=0的一个基础解系; 153、数域Ω上的所有n阶对称矩阵构成的向量空间的维数为; 154、二次型f(x,y,z)=x2+y2+5z2+2xy+2xz+6yz在合同变换下的标准 型为;所用的可逆变换矩阵P为; 155、设三阶方阵A的三个特征值为1,1,2,则且|A−1+I|=; 156、设A为三阶矩阵,且A2+2A+I=0,则A的Jordan标准形的所 有可能形式为; 157、正定矩阵与半正定矩阵之和为. 158、f(x)=x4+x3−3x2−4x−1,g(x)=x3+x2−x−1,则(f(x),g(x))=; 159、设A为n阶方阵,则R(A)+R(A+I)n; 160、设D为n阶行列式,Aij表示D中第i行第j列元素的代数余子 式,又已知D的第1行元素皆为p,则n1n2nnA+A++A=; 161、设A为三阶实对称矩阵,且 222 1231231223123123f(x,x,x)=x+3x−2x+2xx−4xx=(x,x,x)A(x,x,x)T则A=. 162、设A为三阶实对称矩阵且A3−2A2+A=2I,则|A−1+I|=; 163、设A为四阶方阵,其列向量为1234α,α,α,α,且123α,α,α线性无关, 412α=2α+α,234β=α+α+α,则Ax=β的通解为; 164、设A为四阶方阵,且A4=0,A3≠0,则A的Jordan标准型为. 二、判断题: (下列命题中,正确的在题号前划“√”,不正确的划“×”。 1、R2是R3的子空间。 2、设F2[x]是数域F上一切次数不超过2的多项式连同零多项式组成 的向量空间,则F2[x]与F2同构。 3、相似矩阵有相同的迹。 4、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。 5、实二次型f(x1,x2,⋯xn)=X′AX正定的充要条件是|A|>0。 6、正交变换在任意基下的矩阵都是正交矩阵。 7、实数域是复数域上向量空间。 8、向量组α1,α2,⋯αn中的向量两两线性无关,则向量组α1,α2,⋯ αn也线性无关。 9、已知α1,α2都是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量,则α1, α2的任意线性组合也是σ的属于本征值λ的本征向量。 10、设A,B是两个n阶正定矩阵,则A与B必合同。 11、Vλ={α|σ(α)=λα}中每一个向量都是σ的属于本征值λ的本 征向量。 13、Fn+1[x]是Fn[x]的子空间。 14、设A、B为n阶对称矩阵,则AB为对称矩阵的充要条件为AB= BA。 15、相似矩阵有相同的特征向量。 16、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组。 17、实二次型f(x1,x2,⋯xn)=X′AX正定的充要条件是A的主子式都大 于0。 18、对称变换在任意基下的矩阵都是对称矩阵。 19、存在数域F上恰好含有两个向量的向量空间。 20、已知α1,α2是齐次线性方程组AX=0的两个解,则k1α1+k2α2 是AX=0的解,其中k1,k2为任意数。 21、任意多项式在数域P上至多有n个根。 22、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。 23、若n阶行列式D恰有个n元素非零,则D不为0 24、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。 25、设A,B都是可逆方阵,则A+B也是可逆矩阵。 26、初等矩阵都是可逆矩阵。 27、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。 28、数域P上的多项式只有两类,即可约多项式和不可约多项式。 29、齐次线性方程组永远有解。 30、零多项式能整除任意多项式。 31、任意多项式在数域P上至n多有个根。 32、数域P上的任意多项式都可分解成不可约多项式的乘积。 33、若n阶行列式D恰有个n元素非零,则D不为0 34、任意一个包含零向量的向量组必线性相关。 35、设A,B都是可逆方阵,则A−1+B也是可逆矩阵。 36、齐次线性方程组永远有解 37、任n个矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩。 38、数域P上的多项式只有两类,即可约多项式和不可约多项式。 39、若n阶行列式有多于n2−n个为零的元素,则行列式值为0。 40、任何可逆矩阵都等价于单位矩阵。 41、Rn−1是Rn的子空间. 42、设A,B为n级矩阵,则有(AB)k=AkBk,k为大于1的整数. 43、若A2=E,则A=E或A=−E.E为单位矩阵. 44、线性变换把线性无关向量组变成线性无关向量组. 45、实二次型f(x1,x2,⋯xn)=X′AX正定的充要条件是|A|>0. 46、欧氏空间中对称变换在任意标准正交基下的矩阵都是对称矩阵. 47、若12,,,(3)rαααr≥线性相关,则其中必有两个向量成比例. 48、若12(,,,)sV=Lααα,则V的每一个基都与12,,,sααα等价. 49、设W是n维欧氏空间V的一个子空间,则(W⊥)⊥=W. 50、n维欧氏空间的正交变换使两个非零向量的夹角保持不变. 51、1[]nPx−是[]nPx的子空间. 52、设A为n级矩阵,若对任意n级矩阵B都有AB=
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