北师大版高中数学必修第三章《三角恒等变形》全部教案.docx
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北师大版高中数学必修第三章《三角恒等变形》全部教案
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北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》全部教案
法门高中姚连省
第一课时§3.1.1两角和与差的余弦
(一)
(一)教学目标:
1、知识目标:
(1)利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式;2)灵活正反运用两角差的余弦。
2、能力目标:
(1)通过求两个向量的夹角,发现两角差的余弦,培养学生融会贯通的能力。
(2)培养学生注重知识的形成过程。
3、情感目标:
通过公式的推导,更进一步发现“向量”的强大作用。
(二)教学重点、难点
重点:
(1)两角差的余弦;
(2)灵活应用两角差的公式解决问题
难点:
(1)两角差的余弦的推导;
(2)两角差的余弦的灵活应用
(三)教学方法:
本节主要是采用数形结合的思路,由代数的精密推导和几何的直观性,推导出两角差的余弦,使学生养成数形结合的习惯;另外,整体上是由特殊到一般,再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。
这样学生易接受。
(四)教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习向量的数量积以及它的主要作用:
求两个向量夹角的余弦值。
正板书:
例1:
已知向量
,
,求<>的余弦
解:
=1
=1
=
=
==
即:
cos15o=
=
学生回答,老师写副板书;写出向量的数量积以及它的变形(求夹角的余弦值)
师:
求向量夹角的余弦值,应具备哪些条件?
生:
应该求出两个向量的数量积以及它们各自的模
师:
回答很好。
我们先来求这两个向量的模以及它们的数量积。
生:
上黑板板书。
师:
下面我们来看看这道题的几何解释。
由上面的代数解法可知,它们的模都是1,这说明它们都在单位圆上。
(给出幻灯片或边说边画)
如果,,则∠AOB=<>=15o;通过图形可知,实际上我们求的就是cos15o
以旧带新,注意创设问题的情境,为引出新课程打基础。
通过这道题一来巩固向量积,二来为引出两角差的余弦做好准备。
先通过代数方法来求;
从几何图形上直观的反应这道题。
加深同学们从几何图形上进一步理解两个向量夹角的余弦
练习1:
向量与向量夹角的余弦值
解:
cos<>=
师:
思考题:
请同学们按照上述想法来看这道题
师:
提醒学生从几何图形方面想问题。
并找学生回答。
生:
在坐标系的单位圆中画出向量,由图形可知,这两个向量的夹角是60o,所以它们夹角的余弦值是
让学生深刻理解和掌握通过图形可以解决两个向量夹角的余弦
利用向量积公式出发来求,碰到的困难是“求不出向量积”;逼着学生从几何角度想问题。
公式的推导以及理解
公式cos(α—β)的推导,以及公式的结构。
练习2:
设∠XOA=α,∠XOB=β,那么向量,夹角的余弦值是多少?
解:
点A,点B,
那么,
所以cos∠AOB=cos(α-β)=cos<>
==
总结:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
师:
如果上述图形中∠XOA=α,∠XOB=β,那么向量,夹角的余弦值是多少?
生:
点A,点B,那么,
所以cos∠AOB=cos(α-β)=cos<>
==
师:
非常好。
我们注意到在推导过程中,角α,β没有任何限制。
所以cos(α-β)=
由特殊到一般。
推导出两角差的余弦。
公式的应用
例2:
已知cosα=(),求cos()
解:
因为cosα=,且
所以sin==
因此cos()=coscosα+sinsinα=
练习2:
P135练习B1
(1)3
(2)4
(2)
师:
请看这道题
生:
由α的余弦求出α的正弦,而是特殊值,由两角差的余弦公式可以求出
强化公式的应用
归纳小结
本节主要是从向量的数量积以及利用向量在单位圆中的图形两种思路探讨了两角差的余弦公式的推导。
依赖板书,与学生共同总结本节课的内容。
使学生对本课的知识点有一个完成得清晰的认识,体现了由特殊到一般,以及数形结合的教育思想。
布置作业
P131:
习题3-1A3;2(5)
课后思考:
两角和的余弦公式
巩固本节课所学的知识。
注重公式的形成过程。
五、教后反思:
第二课时§3.1。
两角和与差的余弦
(二)
(一)教学目标:
1、知识目标:
掌握公式结构特点,会用公式求值.2、能力目标:
培养学生的观察,分析,类比,联想能力,间接推理能力,自学能力.3、情感能力:
发展学生正向,逆向思维能力,构建良好的数学思维品质.
(二)教学重点,难点
重点是公式的结构特点,会用公式求值.
难点是公式的逆向和变形运用.
(三)教学方法:
教师按照课本的知识结构先设计若干问题,课前印发给学生,引导他们阅读课本,课堂上在教师三导(引导,指导,辅导)下,以学生为主体,对所设问题进行读,议,练,讲,其间教师通过提问,参与讨论,巡视学生练习及板演,观察学生情绪等渠道,及时搜集反馈信息,及时作出评价,再发指令,使教学过程处于动态平衡中.
(四)教学过程
教 学 环节
教 学 内 容
师 生 互 动
设计意图
复
习
引
入
复习公式
先让学生默写两角和与差的余弦公式,然后指出这两个公式是讨论复角与单角的余弦函数间的关系,且此关系对任意角均成立,并且要注意 是错误的.
以旧引新,注意创设情境,通过设疑,引导学生开展积极的思维活动.
公
式
的
运
用
例1、已知,求.
例1 学生练习,板演,教师讲评注意几个问题:
(1)特殊角不需要查表,直接求出三角函数值.
(2)再求时,要注意角的取值范围,三角函数值的正负.
(3)代入时,从左至右依次代入.
(4)注意
可以象上面这样逆用.
例1是使学生掌握公式的正向应用,并进一步熟悉公式的特征,为后面的灵活运用奠定基础.
变式1:
已知
且均为锐角,求
变式1教师讲评注意几个问题:
(1)将看作一个整体,角由得到.
(2)应用公式
(3)由得到,再进一步参考.确定的值.
变式1是一个典型例题,在变式中注意配凑公式,对它的解法深入讨论,有益于启发学生
思维,提高学生的解题能力,且在解题过程中提炼思想方法,有利于培养学生良好的思维品质.
公式的运用
例2 利用证明:
例2 学生练习,教师讲评注意两个问题:
(1)方法1可以按和差角的余弦公式直接展开,将看作一个整体角.
(2)方法2也可以 ,再按诱导公式进行运算.
例2要求学生用两种方法来做,培养学生良好的思维品质.
公式的运用
练习1,已知
求.
练习1使用平方法将两个等式平方,然后相加,利用
只剩下问题得解.思维过程可以逆向,(考虑由入手,寻找想到平方.)
通过这个练习,培养学生良好的发现问题解决问题的能力.
归纳小结
从知识,方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.
对公式做到一掌握,二会想,三会用.
使学生对所学内容有一个清晰完整的认识
布置作业
教材练习3.1B 2 ,3
教材p131页 1
思考题:
1、已知cos()=求
(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。
2、sinsin=,coscos=,
(0,),(0,),求cos()的值
巩固本课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,
五、教学反思:
第三课时3.1.2两角和与差的正弦
一、教学目标:
⒈知识目标:
掌握两角和与差公式的推导过程;
⒉能力目标:
培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力;
⒊情感目标:
发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。
二、教学重点、难点
重点:
两角和与差公式的应用和旋转变换公式;
难点:
两角和与差公式变aSina+bCosa为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法:
温故、推新,循序渐进,以学生为主体逐步掌握本节知识要点
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
复习:
⑴Cos(αβ)=?
⑵Sin(π2-α)=?
⑶任意角三角函数的定义:
若p(x,y)︱op︱=r
则Sinα=?
Cosα=?
学生回答
为证明Sin(αβ)作好准备。
公式推导及理解
例:
求证:
Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ
证明:
(略)
求证:
Sin(α-β)=SinαCosβ-CosαSinβ
分析:
等式两边的特征?
如何由左→右把α+β的正弦化成α、β的正、余弦?
联系所学知识,已学过的哪一个公式可把α+β的三角函数化成α、β的函数形式?
(学生回答)故需要把(α+β)的正弦化成与α+β的相关的余弦形式即可。
问:
Sin(α+β)应化成哪个角的余弦形式?
问:
Cos[-(α+β)]又如何展开才可得到α、β的正、余弦形式?
学生证明
注重分析,使学生理解知识间的相互转化。
巩固Sin(α+β)的推导过程。
公式的深化
(标题)两角和与差的正弦
Sin(α+β)=SinαCosβ+CosαSinβ
Sin(α-β)=SinαCosβ-CosαSinβ
(1)公式的特征及与两角和与差的余弦的区别
(2)公式的作用
正用:
求非特殊角的正弦值。
如:
求
Sin75°=?
Sin15°=?
逆用:
把具有角α、β的正余弦交叉积的形式化简求值。
如Sin22°Cos38°+Cos22°Sin38°=?
练习:
P1382⑴—⑸,3
巩固公式
公式的应用
例1:
已知向量=(3,4)逆时针旋转
45°到的位置,求点p’(x’,y’)的坐标。
解:
(略)
例2:
已知点P(x,y)与原点的距离保持不变,逆时针旋转θ角到点p’(x’,y’)
求证:
x’=xCosθ-ySinθ
y’=xSinθ+yCosθ
证明:
(略)
注:
这个结论叫旋转变换公式
练习:
P1392
例3:
求函数y=aSinx+bCosx的最大值和最小值,其中a,b是不同时为零的实数。
解:
(略)
注:
凡形如的相关问题,一般提出去处理。
练习:
(1)求y=Sinx+Cosx的最值和周期
(2)p138例5
问题:
求点p’(x’,y’)的坐标必须知怎样的条件?
由所给点P的坐标可知哪些结论?
师生共同完成解答过程
若把向量=(3,4)改为=(x,y),结论变吗?
再把45°改为θ,对结论有影响吗?
学生证明。
问:
公式的记忆规律?
问题:
欲求函数y=aSinx+bCosx的最值和周期,必须化成什么形式?
已知表达式中的Sinx、Cosx系数变成同一个角θ的余弦、正弦方可。
设P(a,b),则
设以op为终边的一个角为θ,则Cosθ、Sinθ即可用a、b表示此时需对y=aSinx+bCosx做怎样的变形?
问题:
y=aSinx+bCosβ还可提吗?
学生练习
学生看书
培养学生的分析能力和运算推理能力
归纳小结
作业
本节所学知识:
Sin(α±β)公式的推导及Sin(α±β)的应用。
P132A4,B1,3
师生一起总结
培养学生的归纳整理的学习习惯
五、教学反思:
第四课时3.1两角和与差的正弦、余弦函数
一.教学目标
1.知识与技能:
(1)能够推导两角差的余弦公式;
(2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式;(3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明;(4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣;(5)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.
2.过程与方法:
通过创设情境:
通过向量的手段证明两角差的余弦公式,让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数,然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式;讲解例题,总结方法,巩固练习.
3.情感态度价值观:
通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点:
重点:
公式的应用.
难点:
两角差的余弦公式的推导.
三.学法与教学用具
学法:
(1)自主性学习法:
通过自学掌握两角差的余弦公式.
(2)探究式学习法:
通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法:
以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:
电脑、投影机.
四.教学过程
(一)、复习:
1、写出两角和与差的余弦公式,说说它是如何推导的。
2、写出两角和与差的正弦公式,说说它是如何推导的。
3、说说公式结构的特征。
(二)、例题解析:
例1、利用和(差)角公式计算下列各式的值
(1)、
;
(2)、
;
解:
分析:
解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
(1)、
;
(2)、
;
例2、已知是第四象限角,求的值.
解:
因为是第四象限角,得
,
,于是有
例3、已知,是第三象限角,求的值.
解:
因为,由此得
又因为是第三象限角,所以
所以
点评:
注意角、的象限,也就是符号问题.
例4、化简
解:
此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?
思考:
是怎么得到的?
,我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
(三)、小结:
本节我们学习了两角和与差正弦、余弦公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.
(四)作业:
习题3.1A组第1,2,3题.
五、课后反思:
第五课时3.1.3两角和与差的正切函数
一、教学目标
1、知识与技能:
(1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式;
(2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明;(3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣;(4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.
2、过程与方法:
借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式,让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点;讲解例题,总结方法,巩固练习.
3、情感态度价值观:
通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力.
二、教学重、难点:
重点:
公式的应用.难点:
公式的推导.
三、学法与教学用具
学法:
(1)自主性学习+探究式学习法:
通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。
(2)反馈练习法:
以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距。
教学用具:
电脑、投影机
四、教学过程
【探究新知】
1.两角和与差的正切公式T+,T
问:
在两角和与差的正、余弦公式的基础上,你能用tan,tan表示tan(+)和tan()吗?
(让学生回答)
[展示投影]∵cos(+)0
tan(+)=
当coscos0时
分子分母同时除以coscos得:
以代得:
2.运用此公式应注意些什么?
(让学生回答)
[展示投影]注意:
1必须在定义域范围内使用上述公式。
即:
tan,tan,tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解;2注意公式的结构,尤其是符号。
)
[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)
例1.求tan15,tan75及cot15的值:
解:
1tan15=tan(4530)=
2tan75=tan(45+30)=
3cot15=cot(4530)=(为什么?
)
例2.(见课本P134例1)
例3.已知tan=,tan=2求cot(),并求+的值,其中0<<90,90<<180.
解:
cot()=∵tan(+)=
又∵0<<90,90<<180∴90<+<270∴+=135
例4.求下列各式的值:
12tan17+tan28+tan17tan28
解:
1原式=
2∵
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1tan17tan28
∴原式=1tan17tan28+tan17tan28=1
【展示投影】练习教材P135第1、2、3、4题.
【课堂小结】:
1.必须在定义域范围内使用上述公式。
即:
tan,tan,tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解;2.注意公式的结构,尤其是符号。
五、评价设计:
作业:
习题3.1A组第4、5、6、7、8题.
六、课后反思:
第六课时3.2二倍角的三角函数
一.教学目标:
1.知识与技能
(1)能够由和角公式而导出倍角公式;
(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力;
(3)能推导和理解半角公式;(
4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.并培养学生综合分析能力.
2.过程与方法
让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.
二.教学重、难点
重点:
倍角公式的应用.
难点:
公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法:
(1)自主+探究性学习:
让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法:
以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
(一)探究新知
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
2、提出问题:
公式中如果,公式会变得如何?
3、让学生板演得下述二倍角公式:
[展示投影]这组公式有何特点?
应注意些什么?
注意:
1.每个公式的特点,嘱记:
尤其是“倍角”的意义是相对的,如:
是的倍角.
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次)
3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
这两个形式今后常用.
(二)[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)
例1.(公式巩固性练习)求值:
①.sin2230’cos2230’=
②.
③.
④.
例2.化简
①.
②.
③.
④.
例3、已知,求sin2,cos2,tan2的值。
解:
∵∴
∴sin2=2sincos=
cos2=
tan2=
[展示投影]思考:
你能否有办法用sin、cos和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函数?
你的思路、方法和步骤是什么?
试用sin、cos和tan分别表示sin3,cos3,tan3.
[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)
例4.cos20cos40cos80=
例5.求函数的值域.
解:
————降次
(三)、[展示投影]学生练习:
教材P140练习第1、2、3题
(四)、学习小结
1.公式的特点要嘱记:
尤其是“倍角”的意义是相对的,如:
是的倍角.
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次).
3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
这两个形式今后常用.
4.半角公式左边是平方形式,只要知道角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的结构,尤其是符号.
(五)、作业布置:
习题3.2A组第1、2、3、4题.
五、教学反思:
第七课时3.3半角的三角函数
一.教学目标:
(1)能推导和理解半角公式;
(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
二.教学重、难点
重点:
半角公式的应用.
难点:
公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法:
(1)自主+探究性学习:
让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法:
以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
(一)、探究新知
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
2、提出问题:
公式中如果,公式会变得如何?
3、让学生板演得下述二倍角公式:
[展示投影]这组公式有何特点?
应注意些什么?
注意:
1.每个公式的特点,嘱记:
尤其是“倍角”的意义是相对的,如:
是的倍角.
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次)
3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
这两个形式今后常用.
(二)、[展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示)
你能够证明:
证:
1在中,以代2,代即得:
∴
2在中,以代2,代即得:
∴
3以上结果相除得:
[展示投影]这组公式有何特点?
应注意些什么?
注意:
1左边是平方形式,只要知道角终边所在象限,就可以开平方。
2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切
3上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记忆)
4还有一个有用的公式:
(课后自己证)
(三)、[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)
例1.已知cos,求的值.
解:
由得
例2.求cos的值.
解:
cos=
例3、已知sin,,求的值.
解析:
∵,∴且
由半角公式可得
(四)、[展示投影]练习
教材P145练习第1、2、3题.
(五)小结:
(1)能推导和理解半角公式;
(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。
(六)、作业布置:
习题3.3A组第1、2、3、4题.
五、教学反思:
第八课时3.4三角函数的和差化积与积化和差
一.教学目标:
1.知识与技能
(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式,并对此有所了解.
(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系,进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会如何综合利用这些公式解决问题.(3)揭示知识背景,培养学生的应用意识与建模意识.
2.过程与方法
让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习,使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识;理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形,体会公式所蕴涵的和谐美,增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点:
三角恒等变形.
难点:
“和差化积”及“积化和差”公式的推导.
三.学法与教法
教法与学法:
(1)自主+探究性学习:
让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法:
以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
四.教学过程
(一)创设情景
请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式;问你能否用sin与sin表示
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