最新中考数学专题训练几何图形动点问题分类.docx
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最新中考数学专题训练几何图形动点问题分类
中考数学专题训练—几何图形动点问题分类
类型一圆的动点问题
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,点P、Q同时从点A出发,运动时间为t秒.其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位长度,点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心,PQ为半径作⊙Q.
(1)求证:
直线AB是⊙Q的切线;
(2)过点A左侧x轴上的任意一点C(m,0),作直线AB的垂线CM,垂足为点M,若CM与⊙Q相切于点D,求m与t的函数关系式(不需写出自变量的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,是否存在点C,直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切,若存在,请直接写出此时点C的坐标,若不存在,请说明理由.
第1题图
(1)证明:
如解图,连接QP,
∵y=-x+3交坐标轴于A,B两点,
∴A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,AB=
=5,
∵AQ=5t,AP=4t,
在△APQ与△AOB中,
==t,==t,
∴=,
又∵∠PAQ=∠OAB,
∴△APQ∽△AOB,
∴∠APQ=∠AOB=90°,
又∵PQ为⊙Q的半径,
∴AB为⊙Q的切线;
第1题解图①
(2)解:
①当直线CM在⊙Q的左侧与⊙Q相切时,如解图①,连接DQ,
∵AP⊥QP,AP=4t,AQ=5t,
∴PQ=3t,
∴易得四边形DQPM为正方形,
∴MP=DQ=QP=3t,
∴cos∠BAO===,
又∵MA=MP+PA=3t+4t=7t,
AC=AO-CO=4-m,
∴=,∴m==-t+4;
②当直线CM在⊙Q的右侧与⊙O相切时,如解图②,连接DQ,PQ,由①易得MA=PA-PM=4t-3t=t,
第1题解图②
AC=4-m,∴=,
∴m=-t+4;
综上所述,m与t的函数关系式为m=-t+4或m=-t+4;
(3)解:
存在,点C的坐标为(-,0)或(,0)或(-,0)或(,0).
【解法提示】①如解图③,当⊙Q在y轴的右侧与y轴相切,
∴OQ=QP=3t,
∴OA=OQ+QA=3t+5t=8t=4,
∴t=,
第1题解图③
则m=-t+4=-,
∴C1(-,0);
m=-t+4=,
∴C2(,0);
②如解图④,当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切,
OA=AQ-OQ=5t-3t=2t=4,
∴t=2,
第1题解图④
则m=-t+4=-,
∴C3(-,0);
m=-t+4=,
∴C4(,0).
综上所述,点C的坐标为(-,0)或(,0)或(-,0)或(,0).
类型二特殊四边形的动点问题
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=8,∠BAD=60°.点E从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时,过点E作EF⊥AD于点F,作EG∥AD交AC于点G,过点G作GH⊥AD交AD(或AD的延长线)于点H,得到矩形EFHG.设点E运动的时间为t秒.
(1)求线段EF的长(用含t的代数式表示);
(2)求点H与点D重合时t的值;
(3)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S平方单位,求S与t之间的函数关系式.
第2题图
解:
(1)由题意可知AE=2t,0≤t≤4,
∵EF⊥AD,∠BAD=60°,
∴sin∠BAD==,
∴EF=AE=t;
(2)如解图①,∵点H与点D重合,菱形ABCD中,∠DAC=∠BA=30°,AD=AB=8,
∴在Rt△ADG中,DG=AD·tan30°=8×=,
∴在矩形FEGD中,EF=DG=,
由
(1)知EF==t,
∴t=;
第2题解图①
(3)①当0 ∵AE=2t,∠BAD=60°,∠DAC=30°, ∴EF=t,AH=HG=EF=3t,AF=t, ∴FH=AH-AF=2t, ∴S=EF·FH=t·2t=2t2; ②如解图②,当 设GH与CD交于点M,由 (2)知∠DAC=30°, ∴在菱形ABCD中,∠BAC=30°, ∵EG∥AD, ∴∠AGE=∠DAC=30°, ∴∠BAC=∠AGE, ∴AE=EG, ∵AE=2t,EF=t,∠BAD=60°, ∴在Rt△AFE中,AF=AE·cos60°=2t×=t, ∴DF=8-t, ∵AE=EG=FH=2t, ∴DH=2t-(8-t)=3t-8, ∵AB∥CD, ∴∠HDM=∠BAD=60°, ∴在Rt△DHM中,HM=DH·tan60°=(3t-8), 则DH=3t-8,HM=(3t-8), 第2题解图② ∴S=S矩形HGEF-S△DHM=EF·FH-DH·HM=2t2-(3t-8)·(3t-8) =2t2-(9t2-48t+64) =2t2-t2+24t-32 =-t2+24t-32, ∴S与t之间的函数关系为 S= 3.如图,在矩形ABCD中,点E在BC边上,动点P以2厘米/秒的速度从点A出发,沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周.设点P从点A出发经x(x>0)秒后,△ABP的面积是y. (1)若AB=8厘米,BE=6厘米,当点P在线段AE上时,求y关于x的函数表达式; (2)已知点E是BC的中点,当点P在线段ED上时,y=x;当点P在线段AD上时,y=32-4x.求y关于x的函数表达式. 第3题图 解: (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABE=90°, 又∵AB=8,BE=6, ∴AE= = =10, 如解图①,过点B作BH⊥AE于点H, 第3题解图① ∵S△ABE=AE·BH=AB·BE, ∴BH=, 又∵AP=2x, ∴y=AP·BH=x(0 (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠C=90°, AB=DC,AD=BC, ∵E为BC中点, ∴BE=EC, ∴△ABE≌△DCE(SAS), ∴AE=DE, ∵y=x(P在ED上),y=32-4x(P在AD上), 当点P运动至点D时, 可联立得,, 解得x=5, ∴AE+ED=2x=10, ∴AE=ED=5, 当点P运动一周回到点A时,y=0, ∴y=32-4x=0,解得x=8, ∴AE+DE+AD=16, ∴AD=BC=6, ∴BE=3, 在Rt△ABE中, AB= =4, 如解图②,过点B作BN⊥AE于N,则BN=, 第3题解图② ∴y=x(0 ∴y=. 4.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在AD边上运动,且不与点A和点D重合,连接CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G. (1)求证: △CDE≌△CBF; (2)当DE=时,求CG的长; (3)连接AG,在点E运动过程中,四边形CEAG能否为平行四边形? 若能,求出此时DE的长;若不能,说明理由. 第4题图 (1)证明: 如解图,在正方形ABCD中,DC=BC,∠D=∠CBA=∠CBF=∠DCB=90°, 第4题解图 ∴∠1+∠2=90°, ∵CF⊥CE, ∴∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3, 在△CDE和△CBF中, , ∴△CDE≌△CBF(ASA); (2)解: 在正方形ABCD中,AD∥BC, ∴△GBF∽△EAF, ∴=, 由 (1)知,△CDE≌△CBF, ∴BF=DE=, ∵正方形的边长为1, ∴AF=AB+BF=, AE=AD-DE=, ∴=, ∴BG=, ∴CG=BC-BG=; (3)解: 不能. 理由: 若四边形CEAG是平行四边形,则必须满足AE∥CG,AE=CG, ∴AD-AE=BC-CG, ∴DE=BG, 由 (1)知,△CDE≌△CBF, ∴DE=BF,CE=CF, ∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形, ∴∠GFB=45°,∠CFE=45°, ∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°, 此时点F与点B重合,点D与点E重合,与题目条件不符, ∴点E在运动过程中,四边形CEAG不能是平行四边形. 5.如图,在正方形ABCD中,点E,G分别是边AD,BC的中点,AF=AB. (1)求证: EF⊥AG; (2)若点F,G分别在射线AB,BC上同时向右、向上运动,点G运动速度是点F运动速度的2倍,EF⊥AG是否成立(只写结果,不需说明理由)? (3)正方形ABCD的边长为4,P是正方形ABCD内一点,当S△PAB=S△OAB时,求△PAB周长的最小值. 第5题图 (1)证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB=BC, ∠EAF=∠ABG=90°, ∵点E,G分别是边AD,BC的中点,AF=AB, ∴=,=, ∴=, 又∵∠EAF=∠ABC=90°, ∴△AEF∽△BAG, ∴∠AEF=∠BAG, 又∵∠BAG+∠EAO=90°, ∴∠AEF+∠EAO=90°, ∴∠EOA=90°,即EF⊥AG; (2)解: EF⊥AG仍然成立; (3)解: 如解图,过点O作MN∥AB分别交AD、BC于点M,N,连接PA, 第5题解图 ∵P是正方形ABCD内一点,当S△PAB=S△OAB, ∴点P在线段MN上(不含端点), 作点A关于MN的对称点A′,连接BA′交MN于点P, 此时PA+PB=PA′+PB=BA′最小,即△PAB的周长最小. ∵正方形ABCD的边长为4, ∴AE=AD=2,AF=AB=1, ∴EF= =, OA==, ∵∠AMO=∠EOA,∠EAO=∠EAO, ∴△EOA∽△OMA, ∴=, ∴OA2=AM·AE, ∴AM= =, ∴A′A=2AM=, ∴BA′= =, 故△PAB周长的最小值为4+. 类型三三角形的动点问题 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,AB=4cm.点P从点A出发,以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动.过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ.设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y(cm2),点P的运动时间为x(s). (1)当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值; (2)当0 (3)直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围. 第6题图 解: (1)如解图①,延长FE交AB于点G, 由题意,得AP=2x, ∵D为PQ中点, ∴DQ=DP=x, ∵四边形DEFQ为正方形, ∴DQ=DE=GP=x, ∵FG⊥AB,∠B=45°, ∴△FGB是等腰直角三角形, ∴BG=FG=PQ=2x, ∴AP+PG+BG=AB, 即2x+x+2x=4,∴x=, 第6题解图① (2)当0 ∴y=x2,(0<x≤) 如解图②,当 ∵PQ=AP=2x, ∴CK=2-2x, ∴MQ=2CK=4-4x, ∴FM=x-(4-4x)=5x-4, ∴y=S正方形DEFQ-S△MNF=DQ2-FM2, ∴y=x2-(5x-4)2=-x2+20x-8, ∴y=-x2+20x-8(<x≤1), 第6题解图② 如解图③,当1 ∴DQ=2-x, ∴y=S△DEQ=DQ2, ∴y=(x-2)2, ∴y=x2-2x+2(1<x<2), 第6题解图③ (3)1 【解法提示】当Q与C重合时,E为BC的中点,2x=2,∴x=1;当Q为BC的中点时,BQ=,PB=1,∴AP=3,∴2x=3,∴x=,∴x的取值范围是1 7.如图,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位: s)(0≤t≤4). 第7题图 (1)当t为何值时,PQ∥BC; (2)设△AQP的面积为S(单位: cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值; (3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分? 若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)由题意知BP=2t,AP=10-2t,AQ=2t, ∵PQ∥BC, ∴△APQ∽△ABC, ∴=, 即=,解得t=, 即当t为s时,PQ∥BC; (2)∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm, ∴AB2=AC2+BC2, ∴△ABC为直角三角形, ∴∠C=90°, 如解图,过点P作PD⊥AC于点D, 第7题解图 则PD∥BC, ∴△APD∽△ABC, ∴=, ∴=, ∴PD=(10-2t), ∴S=AQ·PD=·2t·(10-2t)=-t2+6t=-(t-)2+7.5, ∵-<0,抛物线开口向下,有最大值, ∴当t=秒时,S有最大值,最大值是7.5cm2; (3)不存在.理由如下: 假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,则S△AQP=S△ABC, 即-t2+6t=××8×6, 整理得t2-5t+10=0, ∵b2-4ac=(-5)2-4×10=-15<0, ∴此方程无解, 即不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分. 8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动.M,N分别是AD,CD的中点,连接MN.设点D运动的时间为t. (1)判断MN与AC的位置关系; (2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积; (3)若△DMN是等腰三角形,求t的值. 第8题图 解: (1)MN∥AC. 证明: 在△ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点, ∴MN∥AC; (2)如解图①,分别取△ABC三边中点E,F,G并连接EG,FG, 第8题解图① 根据题意,可知线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积. ∵AC=6,BC=8, ∴AE=3,GC=4, ∵∠ACB=90°, ∴S▱AFGE=AE·GC=12, ∴线段MN扫过区域的面积为12; (3)依题意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. 分三种情况讨论: (ⅰ)当MD=MN=3时,△DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6, ∴t=6. (ⅱ)当MD=DN时,AD=DC. 如解图②,过点D作DH⊥AC于点H,则AH=AC=3, 第8题解图② ∵cosA==,AB=10, 即=. ∴t=AD=5. (ⅲ)当DN=MN=3时,AC=DC, 如解图③,连接MC,则CM⊥AD. 第8题解图③ ∵cosA==,即=, ∴AM=, ∴t=AD=2AM=. 综上所述,当t=5或6或时,△DMN为等腰三角形.
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