复习教案初二整式的乘法与因式分解学生版.docx
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复习教案初二整式的乘法与因式分解学生版
教学目标
1、掌握幂运算、整式的乘法、乘法公式、因式分解的概念和意义
2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形,并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
教学重难点
教学重点:
乘法公式的运用;因式分解的方法
教学难点:
运用因式分解与整式乘法的相互关系,寻求因式分解的方法。
整式的乘法与因式分解章节复习
一、上节回顾
二、、
三、本节内容
知识点一:
幂运算
1.同底数幂相乘
同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n(m,n是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时,仍适用法则,am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).
2.幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(am)n=anm(m,n都是正整数)
(1)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆,幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变).
|
(2)这个性质可逆用,即anm=(am)n=(an)m
3.积的乘方
积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=an·bn(n为正整数).这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.
(1)这个性质可逆用,即=(ab)n,即指数相同的幂相乘,可先把底数相乘,再求积的同次幂.
(2)进行积的乘方运算时,不要出现漏掉一些因式乘方的错误,如(-2ab2)3≠-2a3b6等.
【例1-1】下列算式中,结果等于a6的是( )
A.a4+a2B.(a2)2•a2C.a2•a3D.a2+a2+a2
^
举一反三:
1.下列算式中,结果等于x6的是( )
A.x2•x2•x2B.x2+x2+x2C.x2•x3D.x4+x2
2、若2x+3y=4,则4x•8y的值为
3、若a3•am=a9,则m=
…
知识点二:
整式的乘法
1.单项式乘单项式:
系数乘以系数作为积中的系数,所有不同因式都作为积中的因式,相同字母或相同因式的指数由该字母或因式的指数和为它们的指数.
(1)对于只在一个单项式中出现的字母,应连同它的指数-起写在积里,注意不能漏掉这部分因式.
(2)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按“先算乘方,再算乘法”的顺序进行.
(3)单项式乘以单项式,结果仍是单项式.对于字母因式的幂的底数是多项式形式的,应将其视为一个整体来运算.三个或三个以上的单项式相乘,法则仍适用.
2.单项式乘多项式:
单项式与多项式的乘法法则:
单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
单项式与多项式的积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同.
3.多项式乘以多项式
)
多项式乘以多项式的法则:
(a+b)(m+n)=ma+mb+na+nb.这就是说:
多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
注意:
(1)运算时要按一定的顺序进行,防止漏项,积的项数在没有合并同类项以前,应是两个多项式的项数的积.
(2)运算时要注意积的符号.
(3)运算结果有同类项的要合并同类项,并按某个字母的升幂或降幂排列.
【例2-1】计算x(y-z)-y(z-x)+z(x-y),结果正确的是( )
A.2xy-2yzB.-2yzC.xy-2yzD.2xy-xz
举一反三:
1.计算(-2x+1)(-3x2)的结果为( )
、
A.6x3+1B.6x3-3C.6x3-3x2D.6x3+3x2
2.如果(x-3)(2x+4)=2x2-mx+n,那么m、n的值分别是( )
A.2,12B.-2,12C.2,-12D.-2,-12
3.若(x-2)(x2+ax+b)的积中不含x的二次项和一次项,则a和b的值( )
A.a=0;b=2B.a=2;b=0C.a=-1;b=2D.a=2;b=4
知识点三:
乘法公式
—
1、平方差公式:
2、完全平方公式:
【例3-1】1.若
是一个完全平方式,则常数k的值为()
A.6B.-6C.±6D.无法确定
【例3-2】下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是()
A.(a+b)(b+a)B.(-a+b)(a-b)
C.(
a+b)(b-
a)D.(a2-b)(b2+a)
…
举一反三:
1、下列计算正确的是()
A.
B.
C.
D.
2.
等于()
¥
A.
B.
C.
D.
3.在①
;②
;③
;
④
中,运算正确的是()
A.②①B.②③C.②④D.③④
4.若
,那么代数式M应是()
A.
B.
C.
D.
知识点四:
因式分解
定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
…
【说明】
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算.
(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
注意三原则
1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正(例如:
-3x^2+x=-x(3x-1))
基本方法
⑴提公因式法
—
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式;
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
⑵公式法
;
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2;
⑶分组分解法
能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:
二二分法,三一分法。
比如:
ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
⑷十字相乘法
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
?
【例4-1】把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a、b的值分别是()
A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3
C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3
【例4-2】下列因式分解正确的是()
+n2=(m+n)(m﹣n)+2x﹣1=(x﹣1)2
﹣a=a(a﹣1)+2a+1=a(a+2)+1
-
举一反三:
1.因式分解x﹣4x3的最后结果是( )
A.x(1﹣2x)2B.x(2x﹣1)(2x+1)C.x(1﹣2x)(2x+1)D.x(1﹣4x2)
2.设b>0,a2﹣2ab+c2=0,bc>a2,则实数a、b、c的大小关系是( )
A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c
.
3.若(x+2)是多项式4x2+5x+m的一个因式,则m等于()
A.–6B.6C.–9D.9
3、课堂练习
1.已知a,b,c是正整数,a>b,且a2﹣ab﹣ac+bc=11,则a﹣c等于( )
A.﹣1B.﹣1或﹣11C.1D.1或11
2.已知d=x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5,则当x2﹣2x﹣5=0时,d的值为( )
A.25B.20C.15D.10
3.已知三个实数a,b,c满足a﹣2b+c=0,a+2b+c<0,则( )
A.b>0,b2﹣ac≤0B.b<0,b2﹣ac≤0
C.b>0,b2﹣ac≥0D.b<0,b2﹣ac≥0
4.已知a=
,b=
,c=
,则代数式2(a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac)的值是 .
}
5.若a﹣b=3,b﹣c=2,那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= .
6.已知x2﹣2x﹣1=0,则3x2﹣6x= ;则2x3﹣7x2+4x﹣2019= .
7.已知x2﹣2x﹣3=0,则x3﹣x2﹣5x+12= .
8.若a=2009x+2007,b=2009x+2008,c=2009x+2009,则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 .
9.已知2x2﹣ax﹣2=0,则下列结论中正确的是 .
①其中x的值不可能为0;②当x=2时,
;③若a=1时,
;
④若a=2时,x3﹣4x2+2x=﹣3.
10.设n为整数,则
(2n+1)2﹣一定能被( )
—
A.2整除B.4整除C.6整除D.8整除
11.248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是( )
A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67
12.对于算式20183﹣2018,下列说法错误的是( )
A.能被2016整除B.能被2017整除
C.能被2018整除D.能被2019整除
;
13.如图①,是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体(a>b)
(1)如图①所示的几何体的体积是 .
(2)用另一种方法表示图①的体积:
把图①分成如图②所示的三块长方体,将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解.比较这两种方法,可以得出一个代数恒等式 .
14.若a2﹣b﹣1=0,且(a2﹣1)(b+2)<a2b.
(Ⅰ)求b的取值范围;(Ⅱ)若a4﹣2b﹣2=0,求b的值.
:
15.已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,则△ABC的形状是 三角形.
16.△ABC的两边a,b满足a4+b4﹣2a2b2=0,且∠A=60°,则△ABC的形状是 三角形.
17.阅读下列文字:
我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,
》
例如由图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
请解答下列问题:
(1)写出图2中所表示的数学等式 ;
(2)利用
(1)所得结论,解决下面的问题:
已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片,①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形,并画在图3所给的方框中,要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2,
②再利用另一种计算面积的方法,可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式.即2a2+5ab+2b2= .
【
18.阅读理解
材料一:
若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除,则这个数就能被3整除;反之也能够成立.
材料二:
两位数p和三位数q,它们各个数位上的数字都不为0,将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字,将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字,技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T(p,q)例如:
T(12,123)=11+12+13+21+22+23=102,T(33,456)=34+35+36+34+35+36=210.
(1)填空T(15,345)= .
(2)求证:
当q能够被3整除时T(p,q)一定能够被6整除.
(3)若一个两位数m=2la+b,一个三位数n=12la+b+199,(其中1≤a≤4,1≤b≤5,a,b为整数),交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′,当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时,称这样的两个数m和n为“和谐数对”,求所有和谐数对中T(m,n)的最大值.
—
四、课堂小结
重难点:
多项式乘多项式;乘法公式;因式分解的方法。
~
五、课后巩固
1、已知am=2,an=4,求下列各式的值,则am+n = ;a3m+2n = 。
2、已知2a=m,32b=n,a,b为正整数,23a+10b的值=.
3、已知9n+1-32n=72,n的值=.
:
4、已知an=-1,b2n=3,(-a2b)4n的值=.
5.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项,那么a、b满足( )
A.a=bB.a=0C.a=-bD.b=0
6.已知m+n=2,mn=-2,则(1-m)(1-n)的值为( )
A.-3B.-1C.1D.5
—
7.设M=(x-3)(x-7),N=(x-2)(x-8),则M与N的关系为( )
A.M<NB.M>NC.M=ND.不能确定
8.下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是()
A.
B.
C.
D.
9.在下列各式中,运算结果是
的是()
A、
B、
;
C、
D、
10.在①
;②
;③
;
④
中,运算正确的是()
A、①②B、②③C、③④D、②④
11.已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是( )
A.61,63B.63,65C.65,67D.63,64
12.对于算式20182﹣2018,下列说法不正确的是( )
A.能被2017整除B.能被2018整除C.能被2019整除D.不能被2016整除
13.对于任何整数m,多项式(4m+5)2﹣9都能( )
A.被8整除B.被m整除C.被(m﹣1)整除D.被(2m﹣1)整除
14.a,b,c是△ABC的三边,若(a2+b2)(a﹣b)=c2(a﹣b),则△ABC的形状是 三角形.
15.定义:
若数p可以表示成P=x2+y2﹣xy(x,y为自然数)的形式,则称P为“希尔伯特”数.
例如:
3=22+11﹣2×1,39=72+52﹣7×5,147=132+112﹣13×11…
所以3,39,147是“希尔伯特”数.
(1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数.
(2)像39,147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来,试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3.
(3)已知两个“希尔伯特”数,它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来,且它们的差是224,求这两个“希尔伯特”数.
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- 关 键 词:
- 复习 教案 初二 整式 乘法 因式分解 学生