初中数学二次函数综合题和答案解析经典题型.docx
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初中数学二次函数综合题和答案解析经典题型
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启东教育学科教师辅导讲义
二次函数试题
m2-m
选择题:
1、y=(m-2)x是关于x的二次函数,则m=()
A-1B2C-1或2Dm不存在
2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)模型的是()
A在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系
C矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系
D圆的周长与半径之间的关系
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x
22
Ay=—(x-2)+2By=—(x+2)+2
Cy=—(x+2)—22+2Dy=—(x-2)2
2+2Dy=—(x-2)2
2
,则抛物线的解析式是()
5、抛物线y=
1
2
x
2
-6x+24的顶点坐标是()
y
A(—6,—6)B(—6,6)C(6,6)D(6,—6)
2
6、已知函数y=ax+bx+c,图象如图所示,则下列结论中正确的有()个
①abc〈0②a+c〈b③a+b+c〉0④2c〈3b
—101x
y
A1B2C3D4
7、函数y=ax
2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),则
abc
==
的值是()
bcacab
-1
0x11
A-1B1CD-
228、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的()
yy
y
y
x
x
x
x
ABCD
二填空题:
2
13、无论m为任何实数,总在抛物线y=x+2mx+m上的点的坐标是
————————————。
16、若抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,最小值为-2,则关于方程ax2+bx+c=-2的根为
——
——————————。
17、抛物线y=(k+1)x
2+k2-9开口向下,且经过原点,则k=
—————————
解答题:
(二次函数与三角形)
1、已知:
二次函数y=x
2+bx+c,其图象对称轴为直线x=1,且经过点(2,﹣).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使△EBC的面积最大,
并求出最大面积.
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2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴
9
2
交于点C(0,4),顶点为(1,
).
y
C
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使△CDP为等腰三角形,
AODBx请直接写出满足条件的所有点P的坐标.
(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EF
(第2题图)
∥AC交线段BC于点F,连接CE,记△CEF的面积为S,S是否存在最大值?
若存在,
求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由.
4
3、如图,一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=2+bx+
2+bx+
3x
y
AOBx
c的图象经过A、C两点,且与x轴交于点B.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积;
(3)作直线MN平行于x轴,分别交线段AC、BC于点M、N.问在x轴上是否存在点P,使得△PMN
C
是等腰直角三角形?
如果存在,求出所有满足条件的P点的坐标;如果不存在,请说明理
由.
(第3题图)
(二次函数与四边形)4、已知抛物线
17
2
yxmx2m.
22
(1)试说明:
无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点;
(2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点,并与它的对称轴交于
点D.
①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
②平移直线CD,交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
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2
5、如图,抛物线y=mx-11mx+24m(m<0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),抛物线另有一点A在第一象限内,且∠
BAC=90°.
(1)填空:
OB=_▲,OC=_▲;
(2)连接OA,将△OAC沿x轴翻折后得△ODC,当四边形OACD是菱形时,求此时抛物线的解析式;
(3)如图2,设垂直于x轴的直线l:
x=n与
(2)中所求的抛物线交于点M,与CD交于点N,若直线l沿x轴方向左右平移,且
交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时,试探究:
当n为何值时,四边形AMCN的面积取得最大值,并求出这个最大值.
yy
l:
x=n
M
AA
O
BCOC
BBCOC
x
N
DD
x
6、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、
B、D三点的坐标分别是A(1,0),B(1,2),D(3,0).连接DM,
并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线
2
yaxbxc经过点D、M、
N.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不
存在,请说明理由.
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(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大?
并求出最大
值.
7、已知抛物线
223(0)
yaxaxaa与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶
点.
(1)求A、B的坐标;
(2)过点D作DH丄y轴于点H,若DH=H,C求a的值和直线CD的解析式;
(3)在第
(2)小题的条件下,直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴,并交直线CD于点F,则直线NF上是否
存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(二次函数与圆)
8、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),
直线l是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.
2)若过点A(﹣1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式.
3)点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.
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9、如图,y关于x的二次函数y=﹣(x+m)(x﹣3m)图象的顶点为M,
图象交x轴于A、B两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为
C.定点E的坐标为(﹣3,0),连接ED.(m>0)
(1)写出A、B、D三点的坐标;
(2)当m为何值时M点在直线ED上?
判定此时直线与圆的位置关系;
(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出
S关于m的函数图象的示意图。
10、已知抛物线
2
yaxbxc的对称轴为直线
x2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其
中AI(1,0),C(0,3).
(1)(3分)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).
①(4分)如图l.当△PBC面积与△ABC面积相
等时.求点P的坐标;
②(5分)如图2.当∠PCB=∠BCA时,求直线CP
的解析式。
答案:
1、解:
(1)由已知条件得,(2分)
2
解得b=﹣,c=﹣,∴此二次函数的解析式为y=x﹣x﹣;(1分)
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2
(2)∵x﹣x﹣=0,∴x1=﹣1,x2=3,
∴B(﹣1,0),C(3,0),∴BC=4,(1分)
∵E点在x轴下方,且△EBC面积最大,∴E点是抛物线的顶点,其坐标为(1,﹣3),(1分)
∴△EBC的面积=×4×3=6(.1分)
9
2、
(1)∵抛物线的顶点为(1,)∴设抛物线的函数关系式为y=a(x-1)
2
2
+
9
2
∵抛物线与y轴交于点C(0,4),∴a(0-1)
9
2+
=4解得a=-
2
1
2
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
1
2
(x-1)
2
+
9
2
17
(2)解:
P1(1,17),P2(1,-17),P3(1,8),P4(1,),
8
(3)解:
令-
1
2
(x-1)
2
9
2
+
=0,解得x1=-2,x1=4
∴抛物线y=-
1
2
(x-1)
9
2+
与x轴的交点为A(-2,0)C(4,0)
2
过点F作FM⊥OB于点M,
∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴
MFEB
=
OCAB
EB
又∵OC=4,AB=6,∴MF=×OC=
AB
2
EB
3
2
3
设E点坐标为(x,0),则EB=4-x,MF=
1
2
(4-x)∴S=S△BCE-S
△BEF=
EB·OC-
1
2
EB·MF=
1
2
1
2
EB(OC-MF)=
2
3
(4-x)[4-
(4-x)]=-
1
3
x2+
2+
28
x+
=-
33
1
3
(x-1)
2+3
y
1
∵a=-
<0Sx1S,∴有最大值当=时,
3
31y4x4xyAC、()∵一次函数=--的图象与轴、轴分别交于、两点,
最大值=3此时点E的坐标为(1,0)
E
AOBx
∴A(-1,0)C(0,-4)把A(-1,0)C(0,-4)代入y=
4
2
3x+bx+c得
∴
4
3
-b+c=0
c=-4
解得
8
b=-
3
c=-4
4
∴y=3x
2-
8
3x-4
C
48
(2)∵y=xx-4=2-
2-
33
4
3
(x-1)
16
3
2-
∴顶点为D(1,-
16
3
)
D
设直线DC交x轴于点E由D(1,-
16
3
)C(0,-4)
y
(第3题图)
易求直线CD的解析式为y=-
4
3
x-4
P
AOBx
116
易求E(-3,0),B(3,0)S×6×=16
△EDB=易求E(-3,0),B(3,0)S×6×=16
23
1
S×2×4=4S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12
△ECA=S×2×4=4S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12
2
(3)抛物线的对称轴为x=-1
MN
(第3题图)
C
做BC的垂直平分线交抛物线于E,交对称轴于点D3易求AB
的解析式为y=-3x+3
∵D3E是BC的垂直平分线∴D3E∥AB
设D3E的解析式为y=-3x+b
∵D3E交x轴于(-1,0)代入解析式得b=-3,∴y=-3x-3
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把x=-1代入得y=0∴D3(-1,0),过B做BH∥x轴,则BH=111
在Rt△D1HB中,由勾股定理得D1H=11∴D1(-1,11+3)同理可求其它点的坐标。
可求交点坐标D1(-1,11+3),D2(-1,22),D3(-1,0),D4(-1,11-3)D5(-1,-22)
4、
(1)=
217
m42m=
22
247
mm=
2443
mm=
2
m23,∵不管m为何实数,总有
2
m2≥0,∴=
2
m23>0,∴无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=3,∴m3,
抛物线的解析式为
15
2
yx3x=
22
1
2
2
x32,顶点C坐标为(3,-2),
解方程组
yx1,
15
2
yx3x
22
,解得
x
1
y
1
1
0
或
x
2
y
2
7
6
,所以A的坐标为(1,0)、B的坐标为(7,6),∵
x3时y=x-1=3-1=2,∴D的坐标为(3,2),设抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为(3,
0),所以AE=BE=3,DE=CE=2,
①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形,则AP、CD互相垂
直平分且相等,于是P与点B重合,但AP=6,CD=4,AP≠CD,故抛物
线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形.
②(Ⅰ)设直线CD向右平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶点
的四边形是平行四边形,则直线CD的解析式为x=3n,直线CD与直
线y=x-1交于点M(3n,2n),又∵D的坐标为(3,2),C坐标为
(3,-2),∴D通过向下平移4个单位得到C.
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.
(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形,∴M向下平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,n2),
又N在抛物线
15
2
yx3x上,∴
22
15
2
n23n33n,
22
解得
n10(不合题意,舍去),n22,
(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,n6),
又N在抛物线
15
2
yx3x上,∴
22
15
2
n63n33n,
22
解得
n1117(不合题意,舍去),
n,
2117
(Ⅱ)设直线CD向左平移n个单位(n>0)可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,则直线CD
的解析式为x=3n,直线CD与直线y=x-1交于点M(3n,2n),又∵D的坐标为(3,2),C坐标为(3,
-2),∴D通过向下平移4个单位得到C.
∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形.
(ⅰ)当四边形CDMN是平行四边形,∴M向下平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,2n),
又N在抛物线
15
2
yx3x上,∴
22
15
2
2n3n33n,
22
解得n10(不合题意,舍去),n22(不合题意,舍去),
(ⅱ)当四边形CDNM是平行四边形,∴M向上平移4个单位得N,∴N坐标为(3n,6n),
又N在抛物线
15
2
yx3x上,∴
22
15
2
6n3n33n,
22
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解得
n1117,n2117(不合题意,舍去),
综上所述,直线CD向右平移2或(117)个单位或向左平移(117)个单位,可使得C、D、M、
N为顶点的四边形是平行四边形.
5、解:
(1)OB=3,OC=8
(2)连接OD,交OC于点E
∵四边形OACD是菱形∴AD⊥OC,OE=EC=
1
2
×8=4
y
A
∴BE=4-3=1
又∵∠BAC=90°,
AECE
=
∴△ACE∽△BAE∴
BEAE
2
∴AE=BE·CE=1×4
∴AE=2
O
BE
D
C
x
∴点A的坐标为(4,2)
2
把点A的坐标(4,2)代入抛物线y=mx-11mx+24m,
得m=-
1
2
∴抛物线的解析式为y=-
1
2
2+
x
11
2
x-12
y
l:
x=n
M
(3)∵直线x=n与抛物线交于点M
A
1
2+11
∴点M的坐标为(n,-
nn-12)
22
由
(2)知,点D的坐标为(4,-2),
OBE
N
C
x
1
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x-4
2
D
1
∴点N的坐标为(n,n-4)∴MN=(-
2
1
2
n2+
2+
11
2
n-12)-(
1
2
n-4)=-
1
2
n2+5n-8
2+5n-8
∴S
四边形AMC=NS△AMN+S△CMN=
1
2
MN·CE=
1
2
(-
1
2
2+5n-8)×4=-(n-5)
n
2+9
∴当n=5时,S
四边形AMCN=9
6、解:
(1)∵BC∥AD,B(-1,2),M是BC与x轴的交点,∴M(0,2),
9a3bc0
∵DM∥ON,D(3,0),∴N(-3,2),则c
2
9a3bc0
,解得
a
b
1
9
1
3
,∴
11
2
yxx2;
93
c2
(2)连接AC交y轴与G,∵M是BC的中点,∴AO=BM=M,CAB=BC=2,∴AG=G,C即G(0,1),
∵∠ABC=90°,∴BG⊥AC,即BG是AC的垂直平分线,要使PA=PC,即点P在AC的垂直平分线上,故P在直线BG
上,∴点P为直线BG与抛物线的交点,
kb
设直线BG的解析式为ykxb,则
b1
2
k
1
,解得
,∴yx1,
b
1
yx1
11
2
yxx
93
,解得
2
x
1
y
1
332
232
,
x
2
y
2
332
232
∴,
∴点P(332,232)或P(3-32,232),
(3)∵
11139
22
yxx2(x),∴对称轴
9
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