品酒问题的模型.docx
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品酒问题的模型
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
A
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
专科组(18)
所属学校(请填写完整的全名):
商丘师范学院
参赛队员(打印并签名):
1.丁风雷
2.白雪
3.贾文格
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
日期:
2011年7月18日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2011年商丘师范学院建模模拟练习
编号专用页
参赛队伍的参赛号码:
(请各个参赛队提前填写好):
竞赛统一编号(由竞赛组委会送至评委团前编号):
竞赛评阅编号(由竞赛评委团评阅前进行编号):
品酒问题
摘要
“品酒问题”模型的建立在于找出最精确的标准分计算方法,量化评分优劣,并进行直观比较。
首先利用spss软件中的线性插值法对数据进行缺失替换后得到的相对精确的完整数据,并依据此数据以品酒师打分的均值作为基点,将品酒师打的分数进行整体平移至同一水平线,建立标准分模型,求出每一种酒应得的相对合理的标准分数,从而能够对其产品质量进行好次排序;再将每一种酒的合理分数和品酒师所给出的分数进行相关性分析,根据相关系数来判定品酒师打分的合理性。
问题一:
对于某位品酒师对于80种酒中的某一品种评分的缺失,利用spss软件通过对缺失值进行分析,从而依据数据的线性相关性,能够找到合理数据来替换缺失值。
问题二:
此问要求对80种酒进行由好到次的排列,题中分别给出5位品酒师对80种酒的评分,从而对精确度要求很高,为确保每一种酒能得到一个合理的分数。
为此我们建立标准分模型,以品酒师打分的均值作为基点对品酒师打的分数进行平移,通过调节离散度,依据标准分公式
ij'=
*
0+
,即可求出精确的标准分
ij',根据求得后的标准分对80种酒进行较为精准的排序。
问题三:
此问,我们首先假设品酒师水平不同,但每一位品酒师的个人水准是恒定的常数,可以在第二问已经求出的每一种酒应得的标准分和5位品酒师所给出的评分的基础上,利用spss软件进行相关性检验,得出相关系数。
根据相关系数的大小,就可以直观的对5位品酒师打分的合理性进行优劣排序。
在模型建立与求解后,对模型的科学性和可靠性进行评述,讨论了模型的优缺点,并提出所建模型的应用与推广思路。
关键词:
线性插值法标准分模型离散度相关性检验
一.问题重述
酒厂要求5名品酒师对其生产的80种酒进行综合性评价并打分,附录是品酒师的评分结果,其中1-80代表所有的80种酒产品,星号“*”表示该品酒师没有给相应的产品进行打分。
通过附录里(Table1)的数据建立数学模型,解决下面的问题:
(1)补齐表中“*”部分所缺的数据,同时说明所用的方法及理由。
(2)对80种酒产品进行由好到次的排序。
(3)对五位品酒师进行评价,按照其打分的合理性,由好到次排序,同时说明排序的理由。
二.问题分析
本题要解决三个问题,每个问题之间具有很强的相关系,我们依次对问题进行建模求解。
对本题附录中的数据进行分析可知,表中“*”部分所缺的数据表示此酒未受到该品酒师的评价,同时又为了保证数据的稳定性和合理性。
问题一,我们利用spss软件中的对缺失值数据估计推算的功能,假设每一位品酒师个人水平的基准波动性不大,从而可以对每一位品酒师的品酒水准量化,并对每一位品酒师对80种酒的评价分值进行线性分析。
通过替换缺失值中的线性插值法来分析数据,可以得到准确度相对精确的替换值。
问题二,由于同一种酒在不同品酒师心中的优劣程度不同,所给出的分数也会不同,因此每位品酒师所给的一分的贡献值也会不同。
为了不影响各种酒在品酒师心目中的评价地位,可以将品酒师打的分数进行整体平移,调节至一个基点,本题就把这个基点选择为品酒师打分的均值(记为
,i=1、…5)。
为了调节每一位品酒师所打的一分贡献值在同一水平线上,我们通过对每位品酒师的给分进行方差压缩,调节其离散度(即方差,记为
I,i=1、…5),而这个水平线我们选取所有品酒师方差的均值(记为
0),然后对所有品酒师的分数进行调节。
记
ij为第i位品酒师对第j种酒的原始打分,那么调整后的分数
ij'为:
ij'=
*
0+
这里的
为所有品酒师评分均值的均值。
经过这样的调整,所有品酒师的均值相等,方差也会相同,从而不同品酒师品酒产生的干扰就会被最大限度地消除。
因为需要对80组数据进行处理,为省去输入数据的麻烦,利用Excel软件对同行数据进行公式计算,得到相应的结果。
问题三,需要对5位品酒师的80组数据和80种酒在第二问中得出的相对精确地数据进行相关性比较,通过对品酒师给分的正态性检验(附录Table2)可知,部分品酒师的分值分布并不完全符合正态性分布,所以在不影响计算结果的情况下,处理数据时对于像第15种酒有四位品酒师给出了94,92,81,80,只有第四位品酒师给了66分,显然,第四位品酒师给了一个不合理的分数,数据是异常的,需要删除。
依此原则对数据进行合理化剔除。
利用spss软件可以满足数据所要求的精确度,并且数据无偏差估计的优点对相对合理的数据进行相关性分析,对于运行后得到的相关系数进行大小比较,相关系数越大的,对应的品酒师所打分数的合理性就越优。
三.模型的假设
(1)问题中给出的统计数据可靠。
(2)品酒师品酒时所处的外界环境无影响,不会因例外情况而导致品酒师的评价水准。
(3)每位品酒师的鉴赏水平波动不大,可视为恒定的,记为常数Ki(i=1、…5)。
(4)每位品酒师在品同一类酒的时候除个人品酒水平外,其他条件相同。
四.符号说明
Si品酒师(i=1、…5)。
Ki品酒师恒定的个人鉴赏水平(i=1、…5)。
所有品酒师评分均值的均值。
品酒师打分的均值(i=1、…5)。
ij'第i位品酒师对第j种酒的原始打分通过调整后的分数。
0所有品酒师方差的均值。
I每位品酒师给分的离散度(i=1、…5)。
五.模型建立与求解
模型一:
将缺失值所在的一列数据运用spss和excel软件中根据软件中的线性插值法对数据进行处理,得到运行结果如图;
结果变量
结果变量
被替换的缺失值数
非缺失值的个案数
有效个案数
创建函数
第一个
最后一个
1
x_1
1
1
80
80
sMEAN(x)
2
y_1
1
1
80
80
sMEAN(y)
3
z_1
1
1
80
80
sMEAN(z)
为了令缺失值更加明确,我们利用差值分析进一步分析可以得出:
N
均值
标准差
缺失
极值数目a
计数
百分比
低
高
VAR00001
79
75.9747
13.60804
1
1.3
0
0
VAR00002
79
81.0633
11.12325
1
1.3
0
0
VAR00003
79
79.9367
11.11403
1
1.3
0
0
a.超出范围(Q1-1.5*IQR,Q3+1.5*IQR)的案例数。
上表中的均值就是要替换的缺失值,对数据求整后的情况如下:
品酒师1
品酒师2
品酒师3
品酒师4
品酒师5
酒9
76
就25
81
酒58
80
模型二:
我们通过查找资源可知,要想对80种的合理分数进行推算,精确度要求很高,分值之间的差值会小于0.1,所以采用标准分模型,在利用Excl软件得出品酒师给分的均值及方差后,利用调整基点的方法来规整品酒师的评分分值。
品酒师1
品酒师2
品酒师3
品酒师4
品酒师5
均值
平均值
75.975
81.0625
79.9375
79.275
79.6375
79.1775
方差
182.8348
122.1606
121.9581
135.569
125.4492
137.5943
因此该表的数据经过调整后,每一位品酒师的均值都是78.98,所有品酒师的方差都是141.88。
这样调整后的分数是每位品酒师在一个基准上给的分数,从而减小了因品酒师的不同而带来的差异和干扰。
利用Excl软件通过公式
ij'=
*
0+
对数据进行处理得出标准分,再将处理后的数据在word里进行排序即可得出要求的结果:
调整后的标准分及排名
酒的种类
品酒师1
品酒师2
品酒师3
品酒师4
品酒师5
均值
酒39
91.06557
99.36066
77.86885
86.10294
90.04
88.8876
酒19
92.57377
94.83607
60.90164
96.25
95.56
88.0243
酒5
84.27869
76.7377
95.96721
83.05882
98.872
87.78289
酒47
88.04918
86.91803
97.09836
80.01471
86.728
87.76166
酒51
92.57377
83.52459
94.83607
73.92647
93.352
87.64258
酒66
77.4918
93.70492
97.09836
89.14706
74.584
86.40523
酒69
72.96721
92.57377
91.44262
82.04412
91.144
86.03434
酒4
82.77049
69.95082
83.52459
98.27941
94.456
85.79626
酒40
85.03279
80.13115
92.57377
95.23529
74.584
85.5114
酒77
69.19672
92.57377
98.22951
90.16176
74.584
84.94915
酒80
91.81967
69.95082
82.39344
90.16176
90.04
84.87314
酒64
89.55738
58.63934
95.96721
91.17647
86.728
84.41368
酒18
90.31148
76.7377
82.39344
85.08824
83.416
83.58937
酒22
86.54098
95.96721
77.86885
84.07353
73.48
83.58612
酒79
89.55738
92.57377
69.95082
94.22059
71.272
83.51491
酒45
85.78689
97.09836
82.39344
84.07353
67.96
83.46244
酒16
91.81967
62.03279
91.44262
73.92647
97.768
83.39791
酒53
89.55738
64.29508
88.04918
92.19118
82.312
83.28096
酒43
72.21311
88.04918
83.52459
74.94118
93.352
82.41601
酒49
82.01639
92.57377
84.65574
82.04412
70.168
82.2916
酒8
61.65574
95.96721
62.03279
95.23529
94.456
81.86941
酒11
85.78689
94.83607
80.13115
81.02941
66.856
81.7279
酒15
92.57377
79
79
65.80882
92.248
81.72612
酒67
69.19672
71.08197
91.44262
94.22059
82.312
81.65078
酒14
92.57377
82.39344
67.68852
77.98529
85.624
81.25301
酒63
82.77049
93.70492
71.08197
62.76471
95.56
81.17642
酒1
72.96721
69.95082
88.04918
88.13235
85.624
80.94471
酒10
71.45902
92.57377
79
90.16176
71.272
80.89331
酒72
94.83607
81.2623
98.22951
63.77941
65.752
80.77186
酒38
70.70492
92.57377
58.63934
99.29412
82.312
80.70483
酒50
87.29508
82.39344
79
93.20588
61.336
80.64608
酒36
70.70492
85.78689
85.78689
63.77941
96.664
80.54442
酒12
80.5082
62.03279
100.4918
90.16176
69.064
80.45171
酒76
90.31148
69.95082
90.31148
79
72.376
80.38995
酒31
66.93443
83.52459
97.09836
66.82353
86.728
80.22178
酒29
86.54098
64.29508
95.96721
70.88235
83.416
80.22033
酒35
66.18033
97.09836
73.34426
75.95588
87.832
80.08217
酒70
74.47541
81.2623
73.34426
96.25
74.584
79.98319
酒32
83.52459
82.39344
98.22951
77.98529
56.92
79.81057
酒9
79
97.09836
74.47541
87.11765
61.336
79.80548
酒58
69.19672
93.70492
79
82.04412
74.584
79.70595
酒71
86.54098
69.95082
71.08197
74.94118
94.456
79.39419
酒33
88.04918
91.44262
63.16393
58.70588
95.56
79.38432
酒30
69.95082
81.2623
57.5082
90.16176
96.664
79.10942
酒41
92.57377
89.18033
62.03279
65.80882
83.416
78.60234
酒34
66.93443
90.31148
76.7377
77.98529
80.104
78.41458
酒73
80.5082
79
86.91803
77.98529
66.856
78.2535
酒48
68.44262
98.22951
72.21311
93.20588
59.128
78.24383
酒37
85.03279
75.60656
82.39344
60.73529
84.52
77.65762
酒75
72.21311
80.13115
86.91803
62.76471
85.624
77.5302
酒24
91.06557
83.52459
81.2623
65.80882
65.752
77.48266
酒42
89.55738
76.7377
84.65574
81.02941
54.712
77.33845
酒17
69.19672
71.08197
90.31148
62.76471
92.248
77.12057
酒56
91.81967
49.59016
63.16393
84.07353
96.664
77.06226
酒25
72.96721
79
62.03279
84.07353
86.728
76.96031
酒3
88.04918
73.34426
74.47541
69.86765
79
76.9473
酒74
69.19672
67.68852
92.57377
86.10294
65.752
76.26279
酒55
95.59016
58.63934
79
62.76471
83.416
75.88204
酒27
67.68852
71.08197
74.47541
87.11765
76.792
75.43111
酒2
91.06557
65.42623
72.21311
64.79412
82.312
75.16221
酒54
66.18033
94.83607
66.55738
74.94118
72.376
74.97819
酒46
86.54098
73.34426
60.90164
87.11765
66.856
74.95211
酒60
63.16393
68.81967
95.96721
85.08824
61.336
74.87501
酒28
69.19672
77.86885
66.55738
75.95588
83.416
74.59897
酒62
60.14754
60.90164
76.7377
94.22059
79
74.20149
酒65
66.93443
81.2623
60.90164
79
82.312
74.08207
酒52
63.16393
72.21311
93.70492
84.07353
56.92
74.0151
酒20
63.91803
63.16393
91.44262
97.26471
52.504
73.65866
酒7
79
73.34426
65.42623
63.77941
85.624
73.43478
酒23
73.72131
89.18033
62.03279
64.79412
74.584
72.86251
酒26
75.22951
62.03279
57.5082
74.94118
94.456
72.83353
酒13
65.42623
84.65574
69.95082
62.76471
80.104
72.5803
酒78
67.68852
82.39344
73.34426
68.85294
70.168
72.48943
酒68
65.42623
58.63934
83.52459
84.07353
70.168
72.36634
酒21
67.68852
77.86885
77.86885
69.86765
66.856
72.02998
酒57
78.2459
59.77049
62.03279
94.22059
60.232
70.90035
酒6
85.03279
63.16393
85.78689
55.66176
63.544
70.63787
酒44
69.19672
80.13115
62.03279
68.85294
63.544
68.75152
酒61
86.54098
49.59016
64.29508
61.75
79
68.23525
酒59
75.22951
80.13115
57.5082
56.67647
58.024
65.51386
图表说明:
根据得分得出酒的排名即为列表的自上到下的排位,我们可以看到酒39最好,酒19次之…酒59最差。
问题三;对5位品酒师做出评分合理性的优劣排序,在剔除题目中的明显给分不合理的数据后,所得到的新数据不会影响对品酒师的水平鉴定。
我们依据品酒师对于所品的酒给出的分数和第二问中所得出的该种酒的标准分相比较差值分析,在spss软件中将数据输入,利用线性分析的方法,就可以得出每一位品酒师对所给酒的评分和这些酒应得的标准分之间的相关性关系,得出相关系数。
相关系数越大相关度越高,评分的合理性也越高。
在结果输出窗口中将看到如下统计数据:
变量si、y的例数、均数与标准差,变量si、y的平方与交叉乘积的和与协方差;siy两两对应的相关系数及其双侧检验的显著性,本题p=0.001,其中i=1、2、3、4、5;每一个y对应于每一种酒的均值。
品酒师s1对80种酒所打分与这80种酒的均值的相关性:
描述性统计量
均值
标准差
N
s1
75.97
13.522
80
y
78.9804819
4.99856989
80
相关性
s1
y
s1
Pearson相关性
1
.399**
显著性(双侧)
.000
平方与叉积的和
14443.949
2131.579
协方差
182.835
26.982
N
80
80
y
Pearson相关性
.399**
1
显著性(双侧)
.000
平方与叉积的和
2131.579
1973.870
协方差
26.982
24.986
N
80
80
**.在.01水平(双侧)上显著相关。
品酒师s2:
描述性统计量
均值
标准差
N
s2
81.06
11.053
80
y
78.9804819
4.99856989
80
相关性
s2
y
s2
Pearson相关性
1
.401**
显著性(双侧)
.000
平方与叉积的和
9650.684
1750.783
协方差
122.161
22.162
N
80
80
y
Pearson相关性
.401**
1
显著性(双侧)
.000
平方与叉积的和
1750.783
1973.870
协方差
22.162
24.986
N
80
80
**.在.01水平(双侧)上
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