二重积分的计算.docx
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二重积分的计算
第二节二重积分的计算
这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算,很显然用其定义来计算是很复杂的.
一、矩形上的二重积分的计算
为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法
定理12.4若函数f(x,y)是矩形D=[a,b]>[c,d]上的可积函数.若对每一个x€[a,b]积
d
h(x)=Jf(x,y)dy
c
存在,则h(x)在[a,b]上可积,并有等式
bbd
JJf(x,y)dxdy=Jh(x)dx=J(Jf(x,y)dy)dx,
Daac
bd
它也记为JdxJf(X,y)dy.这个表达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分.
ac
证明在[a,b]中插入若干个分点a=x0■ △Xi=Xi-Xi-1,(i=1,2,…..,n),当令入x=max{AXi|i=1,2,…..,n},要证: nbd limSh(©i)心Xi=J(Jf(X,y)dy)dx. Eyac △yj=yj-yj-1,(j=1,2,…..,m),那么,直线y=yj(j=0,1,2,…..,m),x=Xi(i=0,1,2,…..,n) 将D分成mn个小矩形Dij=[xi-1,Xi]为yj-1,yj](i=1,2,…..,n,j=1,2,…..,m).当记 mij=inf{f(x,y)|(x,y)亡Dj},Mj=sup{f(x,y)|(x,y)亡Dj},y. mm'Jm SmijAyj jf(©,y)dy j4j*丄j4 nmnnm ZZmijAyQXi<2h(©i)AXi<22;Mj也y^Xj i4j」yi4j4 注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形D上以此分划的Darboux小和及大和.. 再令令入y=max{Ayi|i=1,2,…..m},入=入x+入y,由可积性知, nm 蚂送Smj也yjAXi=JJf(x,y)dxdy, nm limSSMijAyjiXi=JJf(x,y)dxdy./H0yj二D n 又有两边夹易得,1哩无hGjiXi=JJf(x,y)dxdy n 即有h(q)AXi=JJf(x,y)dxdy,那么 bbd h(x)在[a,b]上可积,并有等式 JJf(x,y)dxdy=Jh(x)dx=J(Jf(x,y)dy)dx. Daac 同样我们可得 定理12.5若函数f(x,y)是矩形 D=[a,b]>[c,d]上的可积函数.若对每一个y€[c,d]积分 b g(y)=Jf(x,y)dx a 存在,则g(y)在[c,d]上可积,并有等式 ddb JJf(x,y)dxdy=Jg(y)dy=J(Jf(X,y)dx)dy, Dcca db 这时它也记为JdyJf(x,y)dx(也是二次积分或累次积分). ca 引理若函数f(x,y)是矩形D=[a,b]x[c,d]上的连续函数,那么 bd g(y)=Jf(x,y)dx和h(x)=Jf(x,y)dy ac 分别是[c,d]和[a,b]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数. 证明只证g(y)是[c,d]上的连续函数.由条件知,f(x,y)在[a,b]x[c,d]上一致连续,所以,任 意£>0,存在5>0,对任意(xi,yi),(x2,y2)€[a,b]x[c,d],只要 I22-S- P(X1—X2)+(y1—y2)<5,有|f(X1,yj—f(x2,y2)|£,所以 b-a+2 任意yi,样[c,d],当|yi-y2|<5, bb |g(y2)-g(y1)HJf(x,y2)dx-Jf(x,y1)dx| aa b 兰JIf(x,y2)-f(x,yi)|dx ab ab-a+1b-a+2 故g(y)在[c,d]上的一致连续. 由此可得 定理12.6若函数f(x,y)是矩形D=[a,b]x[c,d]上的连续函数.则 dbbd JJf(x,y)dxdy=JdyJf(x,y)dx=JdxJf(x,y)dy. Dcaac 即可交换顺序. 这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形D=[a,b]x[c,d]上的可积函数,对每一个y€[c,d] bd 积分g(y)=Jf(x,y)dx存在,对每一个x€[a,b]积分h(x)=Jf(x,y)dyy也存在,.这时定 ac dbbd 理12.6结论仍然成立,即JJf(x,y)dxdy=JdyJf(x,y)dx=JdxJf(x,y)dy. Dcaac 二、一般区域上的二重积分计算 首先我们来讨论D是下面一种比较特殊的区域时的情况,然后讨论一般情形•设其中 g(x)h(x)是区间a,b]上的连续函数,D={(x,y)|a 域D,我们称之为x—型区域(当然可求面积)•如图12-2-1所示. 当u(y)v(y)是区间C,d]上的连续函数,D={(x,y)|c (如图12-2-2)称为y—型区域. A f(x,y) 当令 Jf(x,y),(x,y)-D "l0,(x,y)-U-D A 那么f(x,y)是U上的可积函数.并且 A Uf(x,y)dxdy=JJf(x,y)dxdy. UD AA 事实上f(X,y)在D上可积,在U-D上也可积.由性质知f(x,y)在U上的可积. A JJf(x,y)dxdy=JJf(x,y)dxdy=JdxJf(x,y)dy A f(x,y)=f(x,y).所以 所以 2X JJxydb=1dx』xydy D 也可以将D看成是y-型区域,D={(x,y)门 JJxydb= D 22 1dy.yxydx 有上面的例子可以看到,考虑被积函数. 2 dy XT [2y—-y3k=9. H2丿8 计算二重积分的关键是区域,要注意的是区域的区别,同时还要 定理12.9 设D={(X,y)IC 连续函数,那么 dv(y) JJf(x,y)dxdy=fdyff(x,y)dx D Cu(y) 如果D既不是x-型区域也不是 我们可以将D分划成若干个 y-型区域,如图12-2-4 x-型区域和y-型区域的并. 例2计算二重积分JJxyg,其中D是有抛物线y2=x及y=x-2所围成的有界 D 闭区域. 解: 如图12-2-4,区域D可以看成是y—型区域,它表示为 D={(x,y)|—1 所以 2y七2-2 JJxydb=Ldy[2xydx^Ly-x D2 y七 dy y2 =45 -8 我们也可以将D看成是两个x—型区域D1,D2的并集. 如图12-2-5,其中 Dj={(x,y)10 图12-2-5 u 1叮X4Qx =[dxj点xydy+[dx爲xydy. 最后可以算出同样的结果,当然这样计算可能要麻烦一点.所以识别区域很重要,还有一点要注意的是,有的区域尽管既是计算不出来.比如下面的例子. 的,但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时, 例3计算二次积分1dytSnxdx. x—型的,又是y—型 叱的原函数是存在的,但是还是无 x 法求出其表达式.我们可以考虑将这个积分先化为二重积分,再换成另外一种二次积分来计 算. 分析: 直接按照这个顺序是计算不出来的,尽管 jdyJ1Sn°dx=,其中D是如图12-2-6所示的区域,将它看成是x- yxDx 型区域,有D ={(x,y)10 訂dx]专dy“专[yEdx=tsinxdx=-Icosxl=1-cos1 a 图12-2-6 上面例子的方法常称为交换积分次序.可以看出,分次序,而使得计算简单,有时候如不交换次序 有时候计算时需要交换二次积分的积,是难以计算出结果. 设D={(x,y)|a兰X f(x)g(y)在D上可积拼有 bd jjf(xg(ydb=af(xdx订gydy. D 读者可以自己验证上面的结论. 例4计算jjx2y2db, 其中D={(x,y)|0 解: 由上面的讨论,有 221122 JJxydb=OdxJjXydy 1212 =;xdx^ydy 求由曲面z =x2+ 2 y与z=1所围的体积 V. 解: 此立体如图1 2-2-7所示,它的体积可以看 成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积. 圆柱体的体积是v1 =兀q2=兀•曲顶柱体的顶是 z=X2+y2,底为区域 22 D={(x,y)|x+y<1}.所 以其体积为 -1\ +y2db (X2+ y2dy 图12-2-7 J1_x2 所以此立体体积为兀在这里积分Jdxr;L(x2+y2dy的计算尽管可以计算出来,但是是比较复杂的,在 -1—1—x 这里没有写出,我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分. 本节最后将给出前面积分运算的几何解释. 当f(x,y是有界闭区域D上的连续函数且f(x,y): >0时,二重积分JJf(x,yd^表示 的是以D为底,以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.如图12-2-8所示.它的体积可以通过 计算这个二重积分得到. 我们下面通过另外的一种途径来求其体积.我们采用的方法是定积分的微元法. 1.以X为积分变量,其变化区间为a,b] 2.求在[a,b]的一个小的子区间[x,x+dx]上所对应的曲顶柱体的体积,这是一个小 A(xo)=(xo’yHy. 般地,当Xo变动时, h(x\ 有截面面积A(x)=j(x,ydy.于是区间[x,x+dx]所对应 g(X) =A(xdx=(J: : f(x,y bfh(x\ V=[Axjdx-[(Qfx’y 这样的积分实际上是积分两次,即先对y积分,再对X积分,即二次积分•也记为 叫0X'ydy. 习题12-2 1.求下列函数的二重积分,JJf(x,ydxdy,这里D=[0,1]x[0,1]. D 2) I0,X+ya1 6) 7) 川2xy)db,D是由(o,o),(i,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域 D JKx2+y2)db,其中D是矩形区域: |x|<1,|y|w1; D 8)JK3x+2y)db,其中D是x轴、y轴与直线x+y=2所围成闭区域, D 9)JJ(x2+3x2y+y3)dD,其中D是矩形闭区域: owxw1,owyw1; D 10)jjxcos(x+y)db,其中D是顶点分别为(0,0),(n,0)和(n,n)的三角 D 形闭区域. 4.交换下列的积分顺序 3J9_x2 JdxJf(x,y)dy; 0J9_x2 3寸口 JdyJf(x,y)dx; 00 1) 2) 3) JI 14 Jdx;f(x,y)dy; 0arctanx 4) 33_y 1 JdyJf(x,y)dx+JdyJf(x,y)dx; 00 2y 1y 5)JdyJf(x,y)dx; 00 1{Tzy2 6)JdyJf(x,y)dx;7) 0r口 eInX 22y JdyJf(x,y)dxJdxJf(x,y)dy7)0y28)10 5.求下列的积分 13 2 fdxJexdy; 03y 1) 2) 11 JdyjJx3+1dx; 0vV 3) 39 2 JdyJycos(x)dx; 0y2 4) JI 12 fdyJcosxJ1+cos2xdx. 0arcsiny 6.画出积分区域,计算积分: ;—2f— 1)JJxJydcT,其中D是由两条抛物线y=x,y=Jx所围成闭区域, D 2)JJxy2dcr,其中D是由圆周 D X2+y2=4及y轴所围成右半闭区域, rILD dcT,其中D是由x +y<1所确定的闭区域, 4)JKx2+y2-x)dD,其中 D D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域.
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