最新数学八年级下《三角形的证明》单元检测题含答案解析.docx
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最新数学八年级下《三角形的证明》单元检测题含答案解析
八下数学《第1章三角形的证明》单元测试卷
一.选择题(共10小题)
1.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A.M点B.N点C.P点D.Q点
3.如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交边AB于点D,连结CD.若∠A=50°,则∠BDC的大小为( )
A.90°B.100°C.120°D.130°
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°,则这个等腰三角形的底角为( )
A.70°B.20°C.70°或20°D.40°或140°
5.如图,在6×6的正方形网格中,点A,B均在正方形格点上,若在网格中的格点上找一点C,使△ABC为等腰三角形,这样的点C一共有( )
A.7个B.8个C.10个D.12个
6.用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设( )
A.三角形的三个外角都是锐角
B.三角形的三个外角中至少有两个锐角
C.三角形的三个外角中没有锐角
D.三角形的三个外角中至少有一个锐角
7.用反证法证明命题:
如果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF,证明的第一个步骤是( )
A.假设CD∥EFB.假设AB∥EF
C.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行
8.下列各数中,可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( )
A.5B.2C.4D.8
9.用反证法证明:
“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数”,下列假设中正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个是偶数
D.假设a,b,c至多有两个是偶数
10.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )
A.每一个内角都大于60°B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.有一个内角小于60°
二.填空题(共5小题)
11.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”.
12.如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,△ABC的面积是 .
13.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是 cm.
14.用反证法证明“三角形的三个内角中,至少有一个大于或等于60°”时,应先假设 .
15.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b.”时,应假设 .
三.解答题(共6小题)
16.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:
△ABC≌△DCB;
(2)△OBC是何种三角形?
证明你的结论.
17.已知,如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
18.如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE.
(1)若∠BAE=40°,求∠C的度数;
(2)若△ABC周长13cm,AC=6cm,求DC长.
19.用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角.
20.求证:
在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
21.能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?
如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列条件,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.斜边和一直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一锐角和斜边对应相等
D.两条直角边对应相等
【解析】直角三角形全等的判定方法:
HL,SAS,ASA,SSS,AAS,做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.
解:
A、符合判定HL,故本选项正确,不符合题意;
B、全等三角形的判定必须有边的参与,故本选项错误,符合题意;
C、符合判定AAS,故本选项正确,不符合题意;
D、符合判定SAS,故本选项正确,不符合题意.
故选:
B.
【评点】本题考查直角三角形全等的判定方法,判定两个直角三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A.M点B.N点C.P点D.Q点
【解析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上.
解:
从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上,其它三点不在∠AOB的平分线上.
所以点M到∠AOB两边的距离相等.故选A.
【评点】本题主要考查平分线的性质,根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键.
3.如图,在△ABC中,边AC的垂直平分线交边AB于点D,连结CD.若∠A=50°,则∠BDC的大小为( )
A.90°B.100°C.120°D.130°
【解析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=DC,推出∠A=∠ACD=50°,根据三角形外角的性质得出即可.
解:
∵△ABC的边AC的垂直平分线DE交边AB于点D,交边AC于点E,
∴AD=DC,
∴∠A=∠ACD,
∵∠A=50°,
∴∠ACD=50°,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=50°+50°=100°,
故选:
B.
【评点】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质等知识点,能根据线段垂直平分线的性质得出AD=DC是解此题的关键.
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°,则这个等腰三角形的底角为( )
A.70°B.20°C.70°或20°D.40°或140°
【解析】当该等腰三角形为钝角三角形时:
底角=
(90°﹣50°)=20°,当该等腰三角形为锐角三角形时:
底角=
[180°﹣(90°﹣50°)]=70°.
解:
①如图1,当该等腰三角形为钝角三角形时,
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,
∴底角=
(90°﹣50°)=20°,
②如图2,当该等腰三角形为锐角三角形时,
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°,
∴底角=
[180°﹣(90°﹣50°)]=70°.
故选:
C.
【评点】本题主要考查等腰三角形的性质,垂直的性质,关键在于分情况进行解析,认真的进行计算.
5.如图,在6×6的正方形网格中,点A,B均在正方形格点上,若在网格中的格点上找一点C,使△ABC为等腰三角形,这样的点C一共有( )
A.7个B.8个C.10个D.12个
【解析】首先由勾股定理可求得AB的长,然后分别从BA=BC,AB=AC,CA=CB去解析求解即可求得答案.
解:
∵AB=
=2
,如图所示:
∴①若BA=BC,则符合要求的有:
C1,C2共2个点;
②若AB=AC,则符合要求的有:
C3,C4共2个点;
③若CA=CB,则符合要求的有:
C5,C6,C7,C8,C9,C10共6个点.
∴这样的C点有10个.
故选:
C.
【评点】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理,解题关键是分类的数学思想.
6.用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设( )
A.三角形的三个外角都是锐角
B.三角形的三个外角中至少有两个锐角
C.三角形的三个外角中没有锐角
D.三角形的三个外角中至少有一个锐角
【解析】反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立.
解:
用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”,应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角,
故选:
B.
【评点】此题考查了反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
7.用反证法证明命题:
如果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF,证明的第一个步骤是( )
A.假设CD∥EFB.假设AB∥EF
C.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行
【解析】熟记反证法的步骤,然后进行判断.
解:
用反证法证明CD∥EF时,应先设CD与EF不平行.故选C.
【评点】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
8.下列各数中,可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( )
A.5B.2C.4D.8
【解析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子.可据此判断出正确的选项.
解:
A.5,∵5不是偶数,且也不是4的倍数,
∴不能作为假命题的反例;
故答案A错误;
B.2,
∵2不是4的倍数,
∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2,
故答案B正确;
C.4,
∵4是偶数,且是4的倍数,
∴不能作为假命题的反例;
故答案C错误;
D.8,
∵8是偶数,且也是4的倍数,
∴不能作为假命题的反例;
故答案D错误;
故选:
B.
【评点】此题主要考查了反证法的意义,在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
9.用反证法证明:
“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数”,下列假设中正确的是( )
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c至多有一个是偶数
D.假设a,b,c至多有两个是偶数
【解析】用反证法法证明数学命题时,应先假设命题的反面成立,求出要证的命题的否定,即为所求.
解:
用反证法法证明数学命题时,应先假设要证的命题的反面成立,即要证的命题的否定成立,
而命题:
“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数”的否定为:
“假设a,b,c都不是偶数”,
故选:
B.
【评点】本题主要考查了用反证法法证明数学命题,求一个命题的否定,属于中档题.
10.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )
A.每一个内角都大于60°B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.有一个内角小于60°
【解析】熟记反证法的步骤,然后进行判断即可.
解:
用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°,即都大于60°.
故选:
A.
【评点】此题主要考查了反证法,反证法的步骤是:
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
二.填空题(共5小题)
11.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD≌△CBE的依据是“ HL ”.
【解析】需证△BCD和△CBE是直角三角形,可证△BCD≌△CBE的依据是HL.
解:
∵BE、CD是△ABC的高,
∴∠CDB=∠BEC=90°,
在Rt△BCD和Rt△CBE中,
BD=EC,BC=CB,
∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),
故答案为:
HL.
【评点】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理.
12.如图,已知△ABC的周长是21,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,△ABC的面积是 42 .
【解析】过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,根据角平分线性质求出OE=OD=OF=4,根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和,即可求出答案.
解:
过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连接OA,
∵OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,
∴OE=OD,OD=OF,
即OE=OF=OD=4,
∴△ABC的面积是:
S△AOB+S△AOC+S△OBC
=
×AB×OE+
×AC×OF+
×BC×OD
=
×4×(AB+AC+BC)
=
×4×21=42,
故答案为:
42.
【评点】本题考查了角平分线性质,三角形的面积,主要考查学生运用定理进行推理的能力.
13.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是 19 cm.
【解析】由已知条件,利用线段的垂直平分线的性质,得到AD=CD,AC=2AE,结合周长,进行线段的等量代换可得答案.
解:
∵DE是AC的垂直平分线,
∴AD=CD,AC=2AE=6cm,
又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm,
∴AB+BD+CD=13cm,
即AB+BC=13cm,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故答案为19.
【评点】此题主要考查了线段垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等),进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.
14.用反证法证明“三角形的三个内角中,至少有一个大于或等于60°”时,应先假设 三角形的三个内角都小于60° .
【解析】熟记反证法的步骤,直接填空即可.
解:
用反证法证明“三角形的三个内角中,至少有一个大于或等于60°”时,应先假设三角形的三个内角都小于60°.
【评点】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;
(3)假设不成立,则结论成立.
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
15.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b.”时,应假设 a=b .
【解析】反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立,可据此进行判断.
解:
a,b的等价关系有a=b,a≠b两种情况,因而a≠b的反面是a=b.
因此用反证法证明“a≠b”时,应先假设a=b.
故答案为a=b.
【评点】本题结合绝对值的计算考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
三.解答题(共6小题)
16.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:
△ABC≌△DCB;
(2)△OBC是何种三角形?
证明你的结论.
【解析】
(1)根据已知条件,用HL公理证:
Rt△ABC≌Rt△DCB;
(2)利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等,即可证明△OBC是等腰三角形.
证明:
(1)在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°
AC=BD,BC为公共边,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL);
(2)△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB=∠DCB
∴OB=OC
∴△OBC是等腰三角形
【评点】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握.
17.已知,如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D.求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
【解析】
(1)先根据P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB得出PC=PD,由HL定理得出△POC≌△POD,故可得出OC=OD;
(2)根据P是∠AOB平分线上的一点得出∠COP=∠DOP,根据SAS定理得出△COE≌△DOE,由此可得出结论.
解:
(1)证明:
∵P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC=PD,
在Rt△POC与Rt△POD中,
∵
,
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL),
∴OC=OD;
(2)证明:
∵P是∠AOB平分线上的一点,
∴∠COP=∠DOP
∵由
(1)知,OC=OD,
∴在△COE与△DOE中,
,
∴△COE≌△DOE,
∴CE=DE,OE⊥CD,即OP是CD的垂直平分线.
【评点】本题考查的是角平分线的性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键.
18.如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE.
(1)若∠BAE=40°,求∠C的度数;
(2)若△ABC周长13cm,AC=6cm,求DC长.
【解析】
(1)根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE,求出∠AEB和∠C=∠EAC,即可得出答案;
(2)根据已知能推出2DE+2EC=7cm,即可得出答案.
解:
(1)∵AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,
∴AB=AE=EC,
∴∠C=∠CAE,
∵∠BAE=40°,
∴∠AED=70°,
∴∠C=
∠AED=35°;
(2)∵△ABC周长13cm,AC=6cm,
∴AB+BE+EC=7cm,
即2DE+2EC=7cm,
∴DE+EC=DC=3.5cm.
【评点】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形外角性质的应用,主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力,题目比较好,难度适中.
19.用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角.
【解析】根据反证法的证法步骤知:
第一步反设,假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°,第二步得出矛盾:
A+B+C=90°+90°+C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,∠A=∠B=90°不成立;第三步下结论:
所以一个三角形中不能有两个直角,从而得出原命题正确.
证明:
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°,
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,∴∠A=∠B=90°不成立;
所以一个三角形中不能有两个直角.
【评点】此题主要考查了反证法的应用,反证法是一种简明实用的数学证题方法,也是一种重要的数学思想.相对于直接证明来讲,反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.其实质是运用“正难则反”的策略,从否定结论出发,通过逻辑推理,导出矛盾.
20.求证:
在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
【解析】先假设它们的对边相等,然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立,从而证得原结论成立.
证明:
假设它们所对的边相等,则根据等腰三角形的性质定理,“等边对等角”知它们所对的角也相等,这就与题设两个角不等相矛盾,因此假设不成立,故原结论成立.
【评点】本题结合等腰三角形的性质考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.
21.能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数,使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和?
如果能填,请填出一个例;如果不能填,请说明理由.
【解析】可根据已知假设能填列出相应的等式进行推理,推出与已知相矛盾,说明能填不成立,故不能填.
解:
不能填,理由如下:
设所填的互不相同的4个数为a,b,c,d;则有
①﹣②得c2﹣d2=d2﹣c2
∴c2=d2
因为:
c≠d,只能是c=﹣d④
同理可得c2=b2因为c≠b,只能c=﹣b⑤
比较④,⑤得b=d,与已知b≠d矛盾,所以题设要求的填数法不存在.
【评点】此题是考查运用反证法推理问题,关键是根据已知假设能填列出相应的等式进行推理.
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