旋转平移习题分析.docx
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旋转平移习题分析
旋转平移
副标题
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题(本大题共4小题,共12.0分)
1.
如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,BC=1,则BB′的长为( )
A. 4 B.
C.
D.
2. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此时,点M是线段PQ的中点.在平面直角坐标系中,△ABO的顶点A,B,O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0).点列P1、P2、P3、…,中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称:
点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称,…,对称中心分别是A,B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),则点P2012的坐标为( )
A. (1,1) B. (-1,3) C. (1,-1) D. (1,3)
3.
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,BC=CD,E为梯形内一点,∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°,使BC与DC重合,得到△DCF,连接EF交CD于点M.给出以下5个命题:
①DM:
MC=MF:
ME;
②BE⊥DF;
③若sin
,则
;
④若tan
,则点D到直线CE的距离为1;
⑤若M为EF中点,则点B、E、D三点在同一直线上.
则正确命题的个数( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:
①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=
CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF.
其中正确的结论( )
A. 只有①② B. 只有①③ C. 只有②③ D. ①②③
二、填空题(本大题共12小题,共36.0分)
5. Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD(如图).把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0<m<180)度后,如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上,那么m= .
6.
(1)如图1,在△ABC中,绕点C旋转180°后,得到△CA′B′.请先画出变换后的图形,写出下列结论正确的序号是____________.
①△ABC≌△A′B′C;
②线段AB绕C点旋转180°后,得到线段A′B′;
③A′B′∥AB;
④C是线段BB′的中点.
在
(1)的启发下解答下面问题:
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,D是BC的中点,射线DF交BA于E,交CA的延长线于F,请猜想∠F等于多少度时,BE=CF?
(直接写出结果,不证明)
(3)如图3,在△ABC中,如果∠BAC≠120°,而
(2)中的其他条件不变,若BE=CF的结论仍然成立,那么∠BAC与∠F满足什么数量关系(等式表示)并加以证明.
7. 将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的点
与
重合,点
在
上。
已知AB=AC=
将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠(阴影)部分的面积是__________________.
8. 两个全等的梯形纸片如图
(1)摆放,将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图
(2).已
知AD=4,BC=8,若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的
,则图
(2)中平移距离A′A=____________.
9.
如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,∠BCD=45°,将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED,连接AE,CE,则△ADE的面积是____________.
10. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论正确的是________.
(写出所有正确结论的序号) ①b>0; ②a﹣b+c<0; ③阴影部分(平行四边形)的面积为4;④若c=﹣1,则b2=4a.
11. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=45°,AC=
,将△ABC绕点A顺时针旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长度为_________.
12. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 cm.
13.
在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为____________cm2.
14.
如图,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′,使点B′与C重合,连接A′B,则tan∠A′BC′的值为____________.
15. 含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E,连接BE.
(1)如图1,当A'B'边经过点B时,α=____________°;
(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;
(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=
时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系.
16. 如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考
如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.
当α=____________度时,点P到CD的距离最小,最小值为____________.
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=____________度,此时点N到CD的距离是____________.
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.
(参考数椐:
sin49°=
,cos41°=
,tan37°=
.)
三、计算题(本大题共10小题,共60.0分)
17. (13分)如图
(1)在ΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E。
(1)求证:
①ΔADC≌ΔCEB ②DE=AD+BE
(2)当直线MN绕点C旋转到图
(2)的位置时,DE、AD、BE有怎样的关系?
并加以证明。
18.
如图1,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,AB、EF的中点均为O,连接BF,CD,CO.
(1)求证:
CD=BF;
(2)如图2,当△DEF绕O点顺时针旋转的过程中,探究BF与CD间的数量关系和位置关系,并证明;
19.
(本小题满分9分)
小明在玩一副三角板时发现:
含45°角的直角三角板的斜边可与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合(如图①).即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合.现在,他让△C′DA′固定不动,将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D.
(1)如图②,将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°<α<180°),使BC边经过点D,则α=15 度.
(2)如图③,将△BAC绕点A按逆时针方向旋转,使BC边经过点D.求证:
BC∥A′C′.
(3)如图④,若AB=
,将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度,使BC边经过点D,求m的值
20. 材料阅读:
在小学,我们了解到正方形的每个角都是90°,每条边都相等;本学期,我们通过折纸得到定理:
直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半;同时探讨得知,在直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半.
(1)如图1,在等边三角形△ABC内有一点P,且PA=2,PB=
,PC=1.求∠BPC的度数和等边△ABC的边长.聪聪同学的思路是:
将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP′.根据聪聪同学的思路,可以证明△BPP′为等边三角形,又可以证明△ABP′≌△CBP,所以AP’=PC=1,根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形,故此∠BPC= °;同时,可以说明∠BPA=90°,在Rt△APB中,利用勾股定理,可以求出等边△ABC的边AB= .
(2)请你参考聪聪同学的思路,探究并解决下列问题:
如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=
,BP=
,PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长.
21. 已知,在矩形ABCD中,连接对角线AC,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG,并将它沿直线AB向左平移,直线EG与BC交于点H,连接AH,CG.
(1)如图①,当AB=BC,点F平移到线段BA上时,线段AH,CG有怎样的关系?
直接写出你的猜想;
(2)如图②,当AB=BC,点F平移到线段BA的延长线上时,
(1)中的结论是否成立,请说明理由;
(3)如图③,当AB=nBC(n≠1)时,对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作,线段AH,CG有怎样的关系?
直接写出你的猜想.
22.
如图1,已知抛物线
经过点A(3,0),点B(-1,0),与y轴负半轴交于点C,连接BC、AC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的
倍?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,直线BC与抛物线的对称轴交于点K,将直线AC绕点C按顺时针方向旋转α°,直线AC在旋转过程中的对应直线
与抛物线的另一个交点为M.求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时点M的坐标.
23.
附加题(24、25、26、27、28题每题4分共20分)
(1)若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z=
(2)已知3a+b-2c=4,a+2b-c=1,则5a+5b-4c+2020=
(3)已知方程组
甲正确地解得
,而乙粗心地把c看错了,解得
,试求出a、b、c的值.
(4)平面上n条直线最多有 个交点。
(5)一幅三角板叠放如图①,现将含
角的三角板ADE固定不动,把含
角的三角板ABC绕点A顺时针旋转角
(
=
,使两块三角板至少有一组边平行
(1)如图②
=
时,BC//DE,
(2)那么当
=
,有BC//AD,
24. (本题12分)在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),C(0,b)满足(a+1)2+
=0
(1)直接写出:
a= ,b= ;
(2)点B为x轴正半轴上一点,如图1,BE⊥AC于点E,交y轴于点D,连接OE,若OE平分∠AEB,
求直线BE的解析式;(3)在
(2)条件下,点M为直线BE上一动点,连OM,将线段OM逆时针旋转90°,如图2,点O
的对应点为N,当点M的运动轨迹是一条直线l,请你求出这条直线l的解析式.
25. 在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O;在Rt△PMN中,∠MPN
90°.
(1)如图1,若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB,分别交AD、AB于点E、F,请直接写出PE与PF的数量关系;
(2)将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α(0°<α<45°).
①如图2,在旋转过程中
(1)中的结论依然成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
②如图2,在旋转过程中,当∠DOM
15°时,连接EF,若正方形的边长为2,请求出线段EF的长;
③如图3,旋转后,若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合),当BD
3BP时,猜想此时PE与PF的数量关系,并给出证明;当BD
m·BP时,请直接写出PE与PF的数量关系.
26.
已知,四边形ABCD是正方形,点P在直线BC上,点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合,且在CD的同侧),PD=PG,DF⊥PG于点H,交直线AB于点F,将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,连结EF.
(1)如图1,当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时.
①求证:
DG=2PC;
②求证:
四边形PEFD是菱形;
(2)如图2,当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时,请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想.
四、解答题(本大题共44小题,共352.0分)
27. 如图,等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,点D在AC上,将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△
CBE.
(1)求∠DCE的度数;
(2)当AB=4,AD:
DC=1:
3时,求DE的长.
28. 如图,在平面直角坐标系xoy中,直角梯形OABC,BC∥AO,A(-2,0),B(-1,1
),将直角梯.形OABC绕点O顺时针旋转90°后,点A、B、C分别落在点A′、B′、C′处.请你解答下列问题:
(1)在如图直角坐标系xOy中画出旋转后的梯形O′A′B′C′;
(2)求点A旋转到A′所经过的弧形路线长.
29. 如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边CD上一点,点F是CB延长线上一点,且DE=BF,通
过观察,回答下列问题:
(1)△AFB可以看作是哪个三角形绕哪一个点旋转多少度得到的图形?
(2)△AEF是什么形状的三角形?
30. 已知∠ACD=90°,MN是过点A的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,如图
(1).易证BD+AB=
CB,过程如下:
过点C作CE⊥CB于点C,与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°,∴∠BCD=∠ACE.
∵四边形ACDB内角和为360°,∴∠BDC+∠CAB=180°.
∵∠EAC+∠CAB=180°,∴∠EAC=∠BDC.
又∵AC=DC,∴△ACE≌△DCB,∴AE=DB,CE=CB,∴△ECB为等腰直角三角形,∴BE=
CB.
又∵BE=AE+AB,∴BE=BD+AB,∴BD+AB=
CB.
(1)当MN绕A旋转到如图
(2)和图(3)两个位置时,BD、AB、CB满足什么样关系式,请写出你的猜想,并对图
(2)给予证明.
(2)MN在绕点A旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=
时,则CD=___,CB=___.
31. 已知,点P是∠MON的平分线上的一动点,射线PA交射线OM于点A,将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B,且使∠APB+∠MON=180°.
(1)利用图1,求证:
PA=PB;
(2)如图2,若点C是AB与OP的交点,当S△POB=3S△PCB时,求PB与PC的比值;
(3)若∠MON=60°,OB=2,射线AP交ON于点D,且满足且∠PBD=∠ABO,请借助图3补全图形,并求OP的长.
32. 如图,在直角坐标系中,已知点M0的坐标为(1,0),将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°,再将其延长到M1,使得M1M0⊥OM0,得到线段OM1;又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°,再将其延长到M2,使
得M2M1⊥OM1,得到线段OM2,如此下去,得到线段OM3,OM4,…,OMn
(1)写出点M5的坐标;
(2)求△M5OM6的周长;
(3)我们规定:
把点Mn(xn,yn)(n=0,1,2,3…)的横坐标xn,纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Mn的“绝对坐标”.根据图中点Mn的分布规律,请你猜想点Mn的“绝对坐标”,并写出来.
33. 如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB.
(1)求点P与点P′之间的距离;
(2)∠APB的度数.
34. 如图,已知AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E.∠ADC=80°,试求:
(1)∠EDC的度数;
(2)若∠ABC=n°,试求∠BED的度数(用n的代数式表示).
(3)在
(2)的条件下,将线段BC沿DC方向平移,其他条件不变,判断∠BED的度数是否改变?
直接写出∠BED的度数 (用n的代数式表示).
35. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过点B作BE⊥AC,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:
△ABC≌△BDE;
(2)△BDE可由△ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法).
36.
如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:
当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
37. 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
38. 直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A′B′C,
(1)如图,当A′B′边经过点B时,求旋转角α的度数;
(2)在三角板旋转的过程中,边A′C与AB所在直线交于点D,过点D作DE∥A′B′交CB′边于点E,连接BE.
①当0°<α<90°时,设AD=x,BE=y,求y与x之间的函数解析式及定义域;
②当
时,求AD的长.
39.
如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,…,OPn(n为正整数)
(1)求点P6的坐标;
(2)求△P5OP6的面积;
(3)我们规定:
把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.
40.
以△ABC的AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF,连接DC、BF:
(1)CD与BF相等吗?
请说明理由.
(2)CD与BF互相垂直吗?
请说明理由.
(3)利用旋转的观点,在此题中,△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的?
41. 已知:
如图,平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(-1,0),过点C的直线绕点C旋转,交y轴于点D,交线段AB于点E.
(1)求∠OAB的度数及直线AB的解析式;
(2)若△OCD与△BDE的面积相等,
①求直线CE的解析式;
②若y轴上的一点P满足∠APE=45°,请你直接写出P点的坐标.
42. 如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
,D、E两点分别在AC、BC上,且DE∥AB,CD=
.将△CDE绕点C顺时针旋转,得到△CD′E′(如图②,点D′、E′分别与点D、E对应),点E′
在AB上,D′E′与AC相交于点M.
(1)求∠ACE′的度数;
(2)求证:
四边形ABCD′是梯形;
(3)求△AD′M的面积.
43. 如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.
(1)延长MP交CN于点E(如图2).
①求证
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