分析选讲教学大纲.docx
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分析选讲教学大纲
《分析选讲》课程教学大纲
一课程说明
1.课程基本情况
课程名称:
数学分析选讲
英文名称:
SelectedLectureofMathematicalAnalysis
课程编号:
2411231
开课专业:
数学与应用数学专业
开课学期:
第6学期
学分/周学时:
3/3
课程类型:
专业方向选修课
2.课程性质(本课程在该专业的地位作用)
《数学分析选讲》是数学与应用数学一门重要的专业课程,以数学分析专题系统拓展和加深讲授极限理论,函数的连续性,微分中值定理的及其应用,一元函数积分学,数值级数与无穷积分,多元函数微分学,函数级数与含参变量的无穷积分,多元函数积分学这八个专题的核心内容,是学生提高学习分析学及其系列课程的重要基础,在第6学期开设。
本课程的教学,对锻炼和提高学生的思维能力,培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法有重要的意义,是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。
3.本课程的教学目的和任务
本课程主要是学习极限理论,函数的连续性,微分中值定理的及其应用,一元函数积分学,数值级数与无穷积分,多元函数微分学,函数级数与含参变量的无穷积分,多元函数积分学这八个专题的核心内容。
通过本课程的学习,使学生了解数学分析处理问题的基本思想,并能运用这些思想处理纯粹数学和应用数学中所遇到的数学问题;培养学生的思维能力和推理能力,能用分析的手段将复杂问题分解为简单问题,从而分别突破;培养学生准确、简练的表达能力,能用标准的分析语言,清晰地陈述自己的思想;培养学生熟练、精确的极限、微分、积分的运算能力;为“分析”这条线上的若干后续课程提供必要的基础和预备知识,使学生能顺利完成后续课程的学习。
4.本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程是高等院校数学系的数学与应用数学专业的一门重要基础课,它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。
它一方面为后继课程如微分方程、复变函数、微分几何、实变函数、与泛函分析、概率论等等基础课及有关选修课提供所需的基础。
同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法,对今后的学习、研究和应用都具有关键性的作用。
通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
5.教学时数及课时分配
章节次数
章节名称
学时数
总学时
理论
习题
第一讲
极限理论的应用
6
4
2
第二讲
函数的连续性
4
2
2
第三讲
微分中值定理及其应用
8
6
2
第四讲
一元微积分学
6
4
2
第五讲
数值级数与无穷积分
8
6
2
第六讲
多元函数微分学
8
6
2
第七讲
函数级数与含参变量的无穷积分
6
4
2
第八讲
多元函数积分学
8
6
2
合计
54
二教材及主要参考书
1.复旦大学数学系陈传璋等编,《数学分析》(上、下册),第三版,高等教育出版社,2007年4月。
2.华东师大数学系编,《数学分析》(上、下册),第三版,高等教育出版社,2001年6月。
3.刘玉琏等编,《数学分析》(上、下册),第五版,高等教育出版社,2008年4月。
4.毛羽辉编著《数学分析选论》,北京:
科学出版社(第二版).
5.胡小敏李承家编著《数学分析考研教案》,西安:
西北工业大学出版社(第二版).
6.王戈平编《数学分析选讲》,西安:
中国矿业大学出版社.
7.裘兆泰王承国章仰文编《数学分析学习指导》,北京:
科学出版社.
8.孙本旺汪浩《数学分析中的典型例题和方法》,长沙:
湖南科学技术出版社.
9.周中群主编《数学分析方法选讲》,重庆:
西南师范大学出版社.
10.刘玉琏扬奎元吕风编《数学分析讲义学习指导书》(上),北京:
高等教育出版社(第二版).
11.刘玉琏扬奎元吕风编《数学分析讲义学习指导书》(下),北京:
高等教育出版社(第二版).
12.谢惠民恽自求易法槐钱定边编《数学分析习题课讲义》(上),北京:
高等教育出版社.
13.谢惠民恽自求易法槐钱定边编《数学分析习题课讲义》(下),北京:
高等教育出版社.
14.钱吉林编《数学分析解题精粹》,武汉:
崇文书局.
15.牟俊霖李青吉《洞穿考研数学》,北京:
航空工业出版社.
三教学方法和教学手段说明
本课程以讲授法为主,在理论讲授中应注重理论与实践的结合,要注重已有的基础理论知识在设计算法中进行分析、改进的常用方法的传授,对较抽象的理论知识传授要尽量做到深入浅出。
微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等学科的发展,具体在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容。
教学过程中除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法,提高学生的数学修养。
另外,还可以采用多媒体教学手段、结合具体的应用实例,组织和指导学生进行研究,讨论,探求最佳算法的学习方式。
四成绩考核办法
以学校教务处的相关文件规定进行考核。
五教学内容
第一讲极限理论的应用(6学时)
一、教学目的
1、深刻理解极限理论的基本思想和方法,熟悉与极限理论有关的一些常见述语;
2、掌握Stolz定理、实数连续公理、柯西准则的应用。
二、教学重点
Stolz定理的应用、实数连续公理的应用、柯西准则的应用.
三、教学难点
Stolz定理的应用、实数连续公理的应用、柯西准则的应用.
四、讲授要求
1.深刻理解和掌握Stolz定理,能较熟练应用Stolz定理证明和解决极限的基本问题。
2.深刻理解和掌握实数连续公理,能较熟练应用实数连续公理证明和解决极限的基本问题。
3.深刻理解和掌握柯西准则,能较熟练应用柯西准则证明和解决极限的基本问题。
第二讲函数的连续性(4学时)
一、教学目的
1、深刻理解函数的连续性概念;
2、会应用闭区间上连续函数的性质等证明和解决问题的基本方法。
二、教学重点
闭区间上连续函数的性质应用。
三、教学难点
闭区间上连续函数的性质应用。
四、讲授要求
1.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质.
2.能较熟练应用闭区间上连续函数的性质证明和解决基本问题.
第三讲微分中值定理极其应用(8学时)
一、教学目的
1、深刻理解微分中值定理,闭区间上的函数与其导数的关系;
2、会应用闭区间上连续函数的性质等证明和解决问题的基本方法。
二、教学重点
微分中值定理的应用、泰勒中值定理的应用。
三、教学难点
微分中值定理的应用、泰勒中值定理的应用。
四、讲授要求
1.深刻理解和掌握微分中值定理,能较熟练应用微分中值定理证明和解决基本问题。
2.深刻理解和掌握泰勒中值定理,能较熟练应用泰勒中值定理证明和解决基本问题。
第四讲一元函数积分学(6学时)
一、教学目的
1、使学生了解定积分与极限、积分中值定理(广义积分中值定理)、积分等式与积分不等式;
2、学会应用相关的定理和公式证明和解决问题的基本方法。
二、教学重点
定积分与极限、积分中值定理(广义积分中值定理)、积分等式与积分不等式。
三、教学难点
定积分与极限、积分中值定理(广义积分中值定理)、积分等式与积分不等式。
四、讲授要求
1.深刻理解和掌握定积分与极限的关系,能较熟练应用定积分与极限的关系证明和解决基本问题。
2.深刻理解和掌握积分中值定理(广义积分中值定理),能较熟练应用积分中值定理(广义积分中值定理)证明和解决基本问题。
3.能较熟练的证明一些积分等式与积分不等式,能较熟练应积分等式与积分不等式证明和解决基本问题。
第五讲 数值级数与无穷积分(8学时)
一、教学目的
1、深刻数值级数与无穷积分有密切的联系;
2、会数值级数敛散性的判定;
3、进一步学习无穷积分敛散性的判定的基本方法;进一步将无穷数值级数与无穷积分作对比,学会证明和解决问题的基本方法。
二、教学重点
数值级数的敛散性、无穷积分的敛散性、数值级数与无穷积分的关系。
三、教学难点
数值级数的敛散性、无穷积分的敛散性、数值级数与无穷积分的关系。
四、讲授要求
1.能熟练应用数值级数的基本判别法等证明和解决基本问题;
2.深刻理解和掌握数值级数的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别
法、拉贝(Raabe)判别法,能较熟练应用数值级数的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法、拉贝(Raabe)判别法等证明和解决一些基本问题;
3.能熟练应用无穷积分的基本判别法等证明和解决基本问题。
4.深刻理解和掌握无穷积分的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别
法,能较熟练应用无穷积分的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等证明和解决一些基本问题。
5.能深刻理解和掌握无穷数值级数与无穷积分的内在联系和内涵,使两者相通;
第六讲多元函数微分学(8学时)
一、教学目的
1、进一步将多元函数微分学与一元函数微分学作一个对比学习研究;
2、讨论研究多元函数与一元函数的连续、偏导存在(可导)、可微等基本关系,;
3、学习应用多元函数微分学与一元函数微分学的基本知识证明和解决问题的基本方法;
4、进一步学习应用隐函数的基本理论研究多元函数取条件极值的充分条件。
二、教学重点
多元函数与一元函数的连续、偏导存在(可导)、可微、多元函数取条件极值的充
分条件。
三、教学难点
多元函数与一元函数的连续、偏导存在(可导)、可微、多元函数取条件极值的充
分条件。
四、讲授要求
1.深刻理解和掌握多元函数与一元函数的连续的概念、区别与联系,能较熟练讨
论多元函数与一元函数连续的基本问题。
2.深刻理解和掌握多元函数与一元函数的偏导存在(可导)与可微的概念、区别与
联系,能较熟练讨论多元函数与一元函数的偏导存在(可导)与可微的一些基本问题。
1.深刻理解和掌握多元函数取条件极值的充分条件,能较熟练讨论多元函数取条件极值的一些基本问题。
第七讲 函数级数与含参变量的无穷积分(6学时)
一、教学目的
1、深刻了解函数级数的一致收敛与和函数的分析性质,含参变量的无穷积分的一致收敛与积分函数的分析性质,函数级数与含参变量的无穷积分有密切的联系;
2、进一步学习函数级数的一致收敛的判定及应用函数级数的和函数的分析性质证明问题的基本方法;
3、进一步学习含参变量的无穷积分的一致收敛的判定及应用含参变量的无穷积分的积分函数的分析性质证明问题的基本方法;
4、进一步将函数级数与含参变量的无穷积分作对比学习研究。
二、教学重点
函数级数的一致收敛和和函数的分析性质、含参变量的无穷积分的一致收敛和积分
函数的分析性质、函数级数与含参变量的无穷积分的关系。
三、教学难点
函数级数的一致收敛和和函数的分析性质、含参变量的无穷积分的一致收敛和积分
函数的分析性质、函数级数与含参变量的无穷积分的关系。
四、讲授要求
1.能熟练应用函数级数一致收敛的基本判别法等证明和解决基本问题。
2.深刻理解和掌握函数级数一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔
(Abel)判别法、狄尼(Dini)判别法
3.能较熟练应用函数级数一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)
判别法、狄尼(Dini)判别法等证明和解决一些基本问题。
4.能较熟练应用无穷函数级数的分析性质证明和解决基本问题
5.能熟练应用含参变量无穷积分一致收敛的基本判别法等证明和解决基本问题。
6.深刻理解和掌握含参变量无穷积分的一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、
阿贝尔(Abel)判别法
7.能较熟练应用含参变量无穷积分的一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿
贝尔(Abel)判别法等证明和解决一些基本问题。
8.能较熟练应用含参变量无穷积分的分析性质证明和解决基本问题;
9.能深刻理解和掌握函数级数的一致收敛与含参变量的无穷积分的一致收敛的内
在联系和内涵,使两者相通;
10.能深刻理解和掌握函数级数和函数的分析性与含参变量无穷积分积分函数的分析性质的内在联系和内涵,使两者相通.
第八讲 多元函数积分学(8学时)
一、教学目的
1、深刻了解多元微积分学的思想,进一步学习多元微积分学;
2、深刻理解和掌握二重积分与三重积分的代换
3、能熟练应用二重积分与三重积分的代换(一般代换、广义极坐标代换、广义柱面坐标代换、广义球面坐标代换)计算、证明和解决基本问题
二、教学重点
二重积分与三重积分、第一型曲线积分(平面和空间)与第二型曲线积分(平面和空间)、第一型曲面积分与第二型曲面积分。
三、教学难点
二重积分与三重积分、第一型曲线积分(平面和空间)与第二型曲线积分(平面和空间)、第一型曲面积分与第二型曲面积分。
四、讲授要求
1.深刻理解和掌握二重积分与三重积分的代换(一般代换、广义极坐标代换、广义柱面坐标代换、广义球坐标代换);
2.能熟练应用二重积分与三重积分的代换(一般代换、广义极坐标代换、广义柱面坐标代换、广义球面坐标代换)计算、证明和解决基本问题;
3.根据的被积函数和积分区域的特征计算二重积分与三重积分;
4.根据被积函数和积分曲线的特征应用格林公式和撕托克斯公式计算曲线积分;
5.根据被积函数和积分曲线的特征计算曲线积分;
6.能熟练地讨论曲线积分与积分线路无关的问题;
7.能熟练地根据被积函数和积分曲面特征计算曲面积分;
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