八年级数学培优资料doc.docx
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八年级数学培优资料
第1讲
全等三角形的性质与判定
(P2----
11)
第2讲
角平分线的性质与判定
(P12
----16)
第3讲
轴对称及轴对称变换
(P17
----
24)
第4讲
等腰三角形(P25----
36)
第5讲
等边三角形(P37----
42)
第6讲
实
数(P43----
49)
第7讲
变量与函数(P50----
54)
第8讲
一次函数的图象与性质
(P55
----63)
第9讲
一次函数与方程、不等式
(P64----
68)
第10
讲
一次函数的应用(P69
----80)
第11讲
幂的运算(P81----
86)
第12
讲
整式的乘除((P87----
93)
第13
讲
因式分解及其应用(P94----
100)
第14
讲
分式的概念?
性质与运算(P101----108)
第15
讲
分式的化简
求值与证明(P109----
117)
第16
讲
分式方程及其应用(P118----
125)
第17
讲
反比例函数的图像与性质
(P126----
138)
第18
讲
反比例函数的应用(P139----
146)
第19
讲
勾股定理(P147-----
157)
第20
讲
平行四边形(P158-----
166)
第21
讲
菱形矩形(P167-----
178)
第22
讲
正方形(P179-----
189)
第23
讲
梯形(P190-----
198)
第24
讲
数据的分析(P199-----
209)
模拟测试一
模拟测试二
模拟测试三
第01讲全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同;
2.全等三角形性质:
①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;
3.全等三角形判定方法有:
SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL法;
4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;
5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需
1/16
要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:
平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取
等等.
经典·考题·赏析
【例1】如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=CD,那么图中有全等三角形(
)
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
A
【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一
E
形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出第二对,第
形.这种逐步推进的方法常用到.
解:
⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC=90.
∴∠DCB=90.
在△ABC和△DCB中
B
F
AB
DC
∠ABC
∠DCB
∴△ABC≌∴△DCB(SAS)∴∠A
BCCB
D
C
对全等三角三对全等三角
=∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∠A∠D
∠AED∠DECABDC
∴△ABE≌∴△DCE∴BE=CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
BECE
EFEF
∴Rt△EFB≌Rt△EFC(HL)故选C.
【变式题组】
01.(天津)下列判断中错误的是()
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
02.(丽水)已知命题:
如图,点A、D、B、E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△
DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.
C
A
D
B
E
03.(上海)已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接
EF(如
图所示).
F
⑴添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:
AB=DC;
⑵分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加①、③,以②为
结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题
2.命题1
是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”A
D
填
入空
格).
O
B
E
F
C
【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求证:
AF=DE.
2/16
【解法指导】想证AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形CDE和△DEF中,因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE
.AF在△AFB和△AEF中,而DE在△即可.然后再根据已知条件找出证明它们
全等的条件.
证明:
∵FB=CE∴FB+EF=CE+EF,即BE=CF
A
D
AB
DC
在△ABE和△DCF中,
AE
DF
BE
CF
∴△ABE≌△DCF(SSS)∴∠B=∠C
AB
C
E
F
B
DC
在△ABF和△DCE中,
∠B
∠C∴△ABF≌△DCE
∴AF=DE
BFCE
【变式题组】
01.如图,AD、BE是锐角△ABC的高,相交于点
O,若
A.2
B.3
C.4
D.5
A
A
O
E
D
B
D
C
B
第1题图
第2题图
BO=AC,BC=7,CD=2,则AO的长为()
C
E
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE
=4cm,CE=2cm,则BD=__________.
\
03.(北京)已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:
AB=FC.
F
B
D
A
E
C
【例3】如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合,把△DEF绕点B顺时
针方向旋转,这时
AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置,点
B(E)、C、D在同一直线上时,∠
AFD与∠DCA
的数量关系是
________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?
请说明理由
_____________.
A
A
C
A
E
F
B
F
O
D
F
B(E)
C
D
B(E)
C
图①
图②
D
图③
【解法指导】⑴∠AFD=∠DCA
⑵∠AFD=∠DCA理由如下:
由△ABC≌△DEF,∴AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF
3/16
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF,∴∠ABF=∠DEC
AB
DE
在△ABF和△DEC中,
∠ABF
∠DEC
BF
EC
∴△ABF≌△DEC∠BAF=∠DEC∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC,∴∠FAC=∠CDF∵∠
AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA
∴∠AFD=∠DCA
【变式题组】
01.(绍兴)如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿
DE折叠,使点C落在AB边上
的点P处.若∠CDE=48°,则∠APD等于(
)
A.42°B.48°C.52°D.58°
02.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△
DEF,下列结论中错误的是(
)
A.△ABC≌△DEF
B.∠DEF=90°
C.AC=DF
D.EC=CF
C
D
A
D
E
G
A
P
B
BE
CF
第1题图
第2题图
03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点
B、
F、C、D在同一条直线上.
⑴求证:
AB⊥ED;
⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.
A
AC
EE
P
M
FB
DBF
N
CD
【例4】(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:
⑴AP=AQ;⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证AP=AQ,也就是
证△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APB≌△QAC,已具
备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2即可.证AP⊥AQ,即证∠PAQ=90°,∠PAD+∠QAC=90°就可
以.
证明:
⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高,
A
P
∴∠BDA=∠CEA=90°,
E
∴∠1+∠BAD=90°,∠2+∠BAD=90°,∴∠1=∠2.
D
1
F
AB
QC
Q
在△APB和△QAC中,∠1
∠2∴△APB≌△QAC,B
BP
CA
2
∴AP=AQ
⑵∵△APB≌△QAC,∴∠P=∠CAQ,∴∠P+∠PAD=90°
C
∵∠CAQ+∠PAD=90°,∴AP⊥AQ
4/16
【变式题组】
01.如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,点F是CD的中点,求证:
AF⊥CD.
A
BE
02.(湖州市竞赛试题)如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离
MA为am,
C
F
D
此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离
NB为bm,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是(
)
abab
A.mB.m
22
C.bmD.am
C
M
B
D
75°45°
A
A
C
E
第2题图
第3题图
03.如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDE
的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01.(海南)已知图中的两个三角形全等,则∠
α度数是(
)
A.72°B.60°C.58°D.50°
50°
A/
A
A
a
c
a
C
P
B
58°
72°
α
/
O
D
B
b
第1题图
c
B
第2题图
C
第3题图
//
/
,∠
BCB
/
/
的度数是(
)
02.如图,△ACB≌△ACB
=30°,则∠ACA
A.20°B.30°C.35°D.40°
03.(牡丹江)尺规作图作∠
AOB的平分线方法如下:
以
O为圆心,任意长为半径画弧交
OA、OB于C、D,
再分别以点C、D为圆心,以大于
1
P,作射线OP,由作法得△OCP≌
CD长为半径画弧,两弧交于点
△ODP的根据是(
2
)
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
04.(江西)如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△
ABC≌△ADC的是(
)
A.
CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
D
B
1
A
C
E
A
M
2
C
D
D
B
A
第5题图
B
N
第4题图
C
E
第6题图
5/16
05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐
角顶点放在一起,如图,当A、B、D不在一条直线上时,下面的结论不正确的是()
A.△ABE≌△CBDB.∠ABE=∠CBD
C.∠ABC=∠EBD=45°D.AC∥BE
06.如图,△ABC和共顶点A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.BC交AD于M,DE交AC于N,小华说:
“一
定有△ABC≌△AED.”小明说:
“△ABM≌△AEN.”那么()
A.小华、小明都对B.小华、小明都不对
C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对
07.如图,已知AC=EC,BC=CD,AB=ED,如果∠BCA=119°,∠ACD=98°,那么∠ECA的度数是
___________.
08.如图,△ABC≌△ADE,BC延长线交DE于F,∠B=25°,∠ACB=105°,∠DAC=10°,则∠DFB的度数为_______.
09.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD.AC=3,那么AE+DE=______
E
D
D
A
B
F
E
C
D
B
O
C
D
A
EC
A
EC
第7题图
A
第8题图
B
第9题图
第10题图
B
10.如图,BA⊥AC,CD∥AB.BC=DE,且BC⊥DE,若AB=2,CD=6,则AE=_____.
11.如图,AB=CD,AB∥CD.BC=12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点
C出发,沿CB方向爬行,P的速度是
0.1cm/s,Q的速度是
0.2cm/s.求爬行时间t为多少时,△APB≌△QDC.
AB
.
.P
Q
CD
12.如图,△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过
作BD⊥BC交CF的延长线于D.⑴求证:
AE=CD;
⑵若AC=12cm,求BD的长.D
13.(吉林)如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,AD等于AE,AB平
B
于点F,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明
.
E
F
C作CF⊥AE,垂足为F,过B
A
F
EC分∠DAE交DE
A
14.如图,将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上,B
D
C
从另两个顶点
A、B分别作l的垂线,垂足分别为D、E.
⑴找出图中的全等三角形,并加以证明;
D
C
E
l
⑵若DE=a,求梯形DABE的面积.(温馨提示:
补形法)
A
15.如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,
C
D
B
垂足
分别是E、F.求证:
CE=DF.
6/16
A
E
F
B
16.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等?
⑴阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等;
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略);对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下;
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.求证:
△ABC≌△A1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整)
B
B1
C
A
C1
A1
D
D1
⑵归纳与叙述:
由⑴可得一个正确结论,请你写出这个结论
.
培优升级·奥赛检测
01.如图,在△ABC中,AB=AC,E、F分别是AB、AC上的点,且
AE=AF,BF、CE相交于点O,连接
AO并延长交BC于点D,则图中全等三角形有(
)
A.4对
B.5对
C.6对
D.7对
A
A
E
D
A
E
C
E
F
1
A
M
2
D
F
O
E
1
B
3
N
B
C
B
2
F
D
O
C
B
C
第1题图
第2题图
第3题图
第6题图
02.如图,在△ABC中,AB=AC,O
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