中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题.docx
- 文档编号:6645804
- 上传时间:2023-01-08
- 格式:DOCX
- 页数:29
- 大小:1.08MB
中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题.docx
《中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题.docx(29页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题
中考数学解题策略研究之正方形与45度角专题
当神奇的正方形与美丽的45度角不期而遇,它们之间会产生怎样的火花,生成怎样令人难忘的故事?
今天我们浅谈几道与正方形中45度角有关的好题目,开启一段神奇之旅!
题1:
如图1,已知四边形ABCD是正方形,等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上(不与点B,C重合),FM⊥AD,交射线AD于点M.
(1)当点E在边BC上,点M在边AD的延长线上时,如图1-1,求证:
AB+BE=AM;
(2)当点E在边CB的延长线上,点M在边AD上时,如图1-2;当点E在边BC的延长线上,点M在边AD上时,如图5-3;
请分别写出线段AB、BE及AM之间的数量关系,不需要证明;
(3)在
(1),
(2)的条件下,若BE=sqrt(3)
,∠AFM=15°,则AM= .
简析:
本题中三种情形下都有一个等腰直角△AEF(含45度角),这里可采取常用的“见等腰直角三角形,造一线三直角”或者说成更一般意义上的“三垂直结构”等垂直处理策略;
对于前两问统一处理如下:
情形一:
当点E在边BC上,点M在边AD的延长线上时,如图1-4所示,依托于等腰直角△AEF的三个顶点作相关“水平—竖直辅助线”,构造“一线三直角”结构,或者说是“三垂直结构”,即Rt△ABE≌Rt△ENF,则有AB+BE=EN+BE=BN=AM,第
(1)问得解;
情形二:
当点E在边CB的延长线上,点M在边AD上时,如图1-5所示,依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”,识别“一线三直角”结构,或者说是“三垂直结构”,即Rt△ABE≌Rt△ENF,则有AM+BE=BN+BE=EN=AB,即AM+BE=AB;
其实这里的“三垂直结构”根本没添加任何辅助线,如果执意采取“见等腰直角三角形,造K字型”的策略作一些“水平—竖直辅助线”,本质上并无什么太大差别,不再赘述,但我们之所以选择前者,是基于以最少的辅助线去解决问题的情怀与追求;
情形三:
当点E在边BC的延长线上,点M在边AD上时,如图1-6所示,依托于等腰直角△AEF的三个顶点寻找相关“水平—竖直线”,识别“一线三直角”结构,或者说是“三垂直结构”,即Rt△ABE≌Rt△ENF,则有AM+AB=BN+EN=BE,即AM+AB=BE;
综合情形二与情形三这两种情况下的结论,第
(2)问得解;
解题后反思:
对于前两问,不知同学们有没有发现,三种情形图形变化了,但其证明的思路几乎没什么变化,无论是全等的两个三角形还是全等后相关边长的转化,包括最终结论的形式等都几乎都是一致的,这种图形变换问题中解题策略的“统一性”是极其重要的,很多综合题都可以采取这种策略去寻找突破口,进而顺利解决问题;
建议同学们在表示角的时候用三个大写字母来表示,为什么这么说呢?
这是因为当你会解决第一个图形后,后续图形变化的情形就可以执着这些用三个大写字母表示的角以及三角形等去寻找解决问题的途径与方法;
很多时候,解答过程中甚至于可能连每一个字母都没有任何变化,这就是“图形变了,方法不变,甚至于连表示角或三角形等的字母顺序都一点儿变化都没有”,体现了“变中不变”的统一性;
不相信你再回头看一看题1的分析过程,去对比三种情形下的思路、方法、甚至于表示三角形的字母等几乎都没啥变化,最后的结论形式上也基本是相同的!
下面再来看看第(3)小问:
首先审题要细致,有时真要做到“咬文嚼字”,去揣摩命题人的意图,去琢磨命题人刻意留给你的台阶;
当读到第一句话“在
(1),
(2)的条件下”,很明显就要进行分类讨论了啊,而且前面两问分了三种情形,这里自然也应该三种情形都要考虑到位;
这道题编制的巧妙之处就是题目已经将三种情形下的图形画给学生了,不用学生自己去画了,可以说给学生的台阶已经铺垫到了极致,当然这也就顺带失去了对学生画图意识与画图能力的考察;
此问还有一个比较“扎眼”的条件,那就是∠AFM=15°,难道直接应用这个15°角?
难道要用所谓“倍半角模型”?
切记,轻易不要使用“倍半角模型”,当我们无路可走时,再去尝试用这个模型去解决,尤其是平时解题以及反思题目,一定要有寻找简单几何方法的意识;
这里的15°角还真的可以不直接使用,而是间接推出一个更特殊的30°角,且往下看;
情形一:
如图1-7所示,当点E在边BC上,点M在边AD的延长线上时,由∠AFM=15°且∠AFE=45°得∠EFN=120°,而∠N=90°,这显然是不可能的,故排除;
此外也可以这样说理:
由∠AFM=15°知∠FAB=15°,而∠AFE=45°,这是不可能的,故排除;
这种情形虽然不符合题意,但肯定还是要考虑到位并且作必要的解释的,体现了数学思维的严密性;
情形二:
如图1-8所示,当点E在边CB的延长线上,点M在边AD上时,由∠AFM=15°得∠FAB=15°,又由∠FAE=45°得∠BAE=30°;
瞧,30°角出现了!
接下来,锁定Rt△ABE,由BE=sqrt(3)及∠BAE=30°口算出AB=3;
题目要求的是AM的长,大家千万别忘记“回头看”策略,第
(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系,现在AB、BE已经有了,要求的正是AM,“前戏”已足,胜利就在眼前;
由
(2)中的结论知AM+BE=AB,故所求AM=AB-BE=3-sqrt(3);
情形三:
如图1-9所示,当点E在边BC的延长线上,点M在边AD上时,由∠AFM=15°得∠FAB=15°,又由∠FAE=45°得∠BAE=60°,故∠AEB=30°;
笔者想告诉同学们一个秘密,“我偷了个懒”,仅仅将情形二中的思路分析复制过来,果然依然适用于情形三啊,仅仅是最后∠BAE由=30°变为了60°,仅此而已,前者由“45°-15°”而来,而后者由“45°+15°”而来;
瞧,多有趣啊!
类比思想是一种重要的数学思想方法,同学们对于这种图形变换题型,不妨就采取这种策略去分析问题,尝试用已经解决的问题思路去分析后续变化的情形,很有可能就能寻找到解决问题的金钥匙,下面的思路也几乎没有什么根本性的改变,不信你看;
瞧,30°角又出现了!
接下来,依然锁定Rt△ABE,由BE=sqrt(3)及∠AEB=30°口算出AB=1;
题目要求的是AM的长,大家千万别忘记“回头看”策略,第
(2)小问中不是刚刚探索了三条线段AB、BE及AM之间的关系,现在AB、BE已经有了,要求的正是AM,“前戏”已足,胜利就在眼前;
由
(2)中的结论知AM+AB=BE,故所求AM=BE-AB=sqrt(3)-1;
综上所述:
所求AM=3-sqrt(3)或者sqrt(3)-1,问题得解;
解题后反思:
本题中神奇的正方形遇到了美丽的等腰直角三角形(含45°角),采取“垂直处理”中的构造“三垂直结构”策略,得到全等三角形,继而转化相关边长,得到目标三条线段之间的和关系,有趣的是,三种情形下,每一条边长都作为最大边长出现过一次,这就是本题的巧妙之处;
本题另一个巧妙之处,那就是题目的层层铺垫、步步为营已经到了极致,为学生搭的台阶平缓到给人以如履平地之感,当然前提是,学生要把握这种铺垫,不能自己分离几个小问,也不要孤立几种情形,而要用联系的眼光、发展的眼光看问题,这样这道中考题变成了简单的送分题,不然就是丢分的要命题;
当然此题若是我们认真去分析反思图形,其实第三种情形图有个小漏洞,不知道大家有没有发现,第三种情形中Rt△AEF的三个字母顺序是依次按顺时针排序的,但如果按照前面两种情形的排序应该是逆时针顺序,这一点本人觉得是此题图形变换的一个小漏洞,当然题目通过“如图所示”以及“当点E在边BC的延长线上,点M在边AD上时”这样的表述很好地避免了这个问题,其实我想主要也是为第(3)小问铺垫的,不然图形就变为图1-10了,同情形一,∠AFM=15°就不存在了,不再详述;
当然这个小毛病对解决本题无伤大雅,我想表达的主要是解题后反思、解题后琢磨的好习惯,还有学习中一定要有质疑的好精神,多问几个问什么,我想学习的提升一定不是多么难的事情吧!
无独有偶,下面这道中考真题与题1有很多相似之处,依然是神奇的正方形邂逅了美丽的45°角,它们之间又会续写怎样的传奇故事呢?
瞅瞅看呗.
题2:
如图2-1,已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设CE=a,CF=b.
(1)如图2-1,当∠EAF被对角线AC平分时,求a、b的值;
(2)当△AEF是直角三角形时,求a、b的值;
(3)如图2-3,探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式,并说明理由.
简析:
(1)第一小问的特殊性就在于“当∠EAF被对角线AC平分时”这个条件,毫无疑问这就是这一问的关键条件,突破了这个条件,知道这个特殊条件能起到什么作用,这一问就可迎刃而解,这就是“寻找题目特殊性”的解题意识,同学们要有主动寻找特殊性的意识,尤其是题目明确给定特殊条件的时候,更要毫不犹豫地去抓住这些特殊性去认真分析、转化,同学们要有意识地自我培养这种果决感;
∠EAF被对角线AC平分时,由∠EAF=45°知∠EAC=∠FAC=22.5°,如图2-4所示,将目光聚焦在△EAC中,由“外角原理”或者“内角和定理”都可轻易推出∠EAC=∠AEC=22.5°,则有CE=CA=4sqrt
(2),即所求a=4sqrt
(2);
同理,如图2-5所示,可推得△FAC也是一个等腰三角形,即CF=CA=4sqrt
(2),即所求b=4sqrt
(2);
解题后反思:
特殊条件即为关键条件,抓住特殊条件,主动探寻题目中的特殊性,是一种可贵的解题品质,同学们要有自我意识地去培养、训练,长此以往,你就会大大提升题感,迅速锁定关键之所在,如本题第
(1)小问,简而言之,就是抓住“当∠EAF被对角线AC平分时”这个特殊条件,通过导角,推出特殊等腰三角形的存在,进而口算结果,干净利落!
(2)第二小问依然有其自身的特殊性,即“当△AEF是直角三角形时”,再结合∠EAF=45°可知,一方面△AEF不仅是直角三角形,而且还是等腰直角三角形;另一方面本来要分三类讨论直角三角形的存在性问题的,但已确定∠EAF=45°,故只要分两类讨论即可;
情形一:
当∠AFE=90°时,依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”,如图2-6所示,即“见等腰直角三角形,造K字型全等”,则易知b=CF=EH=FG=AD=4,a=CE=FH=AG=DF=DC+CF=4+4=8;
情形二:
当∠AEF=90°时,同理,依托于等腰Rt△AEF的三个顶点作系列“水平—竖直辅助线”,如图2-7所示,即“见等腰直角三角形,造K字型全等”,则易知a=CE=FH=EG=AB=4,b=CF=EH=AG=BE=BC+CE=4+4=8;
综上两种情形,问题可解;
解题后反思:
在平面直角坐标系中,当我们过一些已知点及目标点作系列“水平—竖直辅助线”时,无论怎么作都可以解决问题,其本质相通;但所作辅助线有多少之分,一般情况下,同学们要有用最少的辅助线来解决问题的追求;
拿第
(2)小问l来说,虽然上面的“见等腰直角三角形,造K字型全等”可以顺利解决此问,但辅助线还是稍显多了些,其实我们甚至一条辅助线都不作,就可以轻松解决问题,而且与上面的解法本质想通,何乐而不为呢!
如图2-8及图2-9所示,任何辅助线不添加,就可以利用等腰Rt△AEF,在原题图中主动寻找“水平—竖直线”,识别到全等直角三角形;
其实这里的全等直角三角形跟上面的解法本质一模一样,都隶属于“一线三直角”模型,图2-8中的三个直角都在直线DC上,而图2-9中的三个直角都在直线BC上,而且这两组全等直角三角形与上面的所谓“K字型全等”直角三角形相互之间都是全等的,即图2-8中的两个直角三角形与图2-6中的两个直角三角形,共四个直角三角形都是全等的;而图2-9与图2-7亦然;
所以笔者更习惯将其命名为具有更一般意义地所谓“三垂直结构”,它是“垂直处理”的一种重要的几何策略。
之所以前面一上来就通过作系列“水平—竖直辅助线”,造“K字型全等”结构解决,是考虑到估计大多数学生现在的第一想法就是这个解法,这或许正如有些老师所说,“模型这东西既有其好处,也有其不好的地方,那就是容易限制人的思维,容易形成思维定势”!
确实如此,模型有的时候会给我们很大的限制,一旦形成定势,肯定会拘束我们创造性的发展,但其实也要看我们怎么去对待模型,是用发展的眼光去对待还是用一尘不变的思维去看待模型,两者有本质区别;
数学家怀特大师指出:
“数学就是对模式的研究”.数学的学习就是在建立模式、完善模式、打破模式、再建新模式的不断循环中逐步构建数学的学科体系,形成数学的解决问题的能力.罗增儒教授在《数学解题学引论》中也指出,“好些学习用功的同学停留在知识型的水平上,不能形成较强的解题能力,根本原因在于他们既没有分析典型的例题(解题模式),又没有分析自己的解题(解题过程分析与反思).题目一但获解,就匆匆合上作业本,错过了“学会解题”的最好时机,无异于“入宝山而空回”.而解题后的分析与反思,有如登上山顶后居高临下的俯瞰,有一种会当凌绝顶,一览众山小的高远境界”.基于上述认识,笔者认为,掌握基本模式,解题后反思适时打破旧模型,发展新模型,才是模型教学的真正意义之所在,简而言之,模型本身也是在变化的、发展的、进步的.
对于最后一小问,我们可以采取由特殊到一般的解题策略,即由前面两个小问中特殊情形求出的a与b先猜想出所求关系式,再由一般意义下的图形去想办法证明求解;
由
(1)知a=b=4,由
(2)知a=8,b=4或者a=4,b=8;
由上面的三种特殊情形,同学们有可能会猜出ab=32是一个定值,当然这个猜想还是有一些玄的,因为数据还是比较少的,所以猜想比较难,不管怎么说,也是一种手段吧;
接下来就是怎么想办法证明这个猜想了,或者说怎么想办法直接找到a与b的关系式;
观察一般意义下的图形,寻找突破口,有其是初三的学生,在看问题时,眼光应该更全面些,比如勾股、相似、面积法等各种重要的基本解题思想方法,都要尝试去应用;
如图2-10所示,易知∠ACE=∠ACF=90°+45°=135°,又由∠EAF=45°,通过导角易得∠1+∠4=45°,而∠1+∠3=45°,故∠3=∠4,同理可有∠1=∠2;
解题后反思:
作为初三的学生,尤其是即将面临中考的学生,在分析问题时,要养成用相似眼光去分析问题的情怀,尤其是在几何证明题中,很有可能就隐藏着一个天大的“相似”在图形里,一旦寻找到了这组相似三角形,问题很有可能就迎刃而解了;
拿本题最后一问来说,就是考察这么一个简单的相似而已,发现了就是容易题,发现不了难死你;
其实这个相似还“大有来头”,一方面它可以理解为“一线三等角”模型,如图2-11所示,延长AC后,在直线AC上会出现三个45°角,当然就有相似产生了,这样去理解,用模型的眼光看问题一目了然,一眼望穿,这就是模型的巨大魅力;
另一方面,其实关于这个模型,还有一个更牛逼的说法,即来自于特的“等边相似”,上面这个模型就是典型的“等边相似”模型,所谓“等边”就是指有一组相等的对应边,在这个相似图形中还比较特殊,就是公共边AC;
关于“等边相似”模型,有三大重要的性质:
图2-10中的相似还是“等边相似”的一个特例,尤其特殊在这里的“等边”恰好是条公共边,再比如说传统意义上射影定理对应的“射影基本相似型”也属于具有公共边的特殊“等边相似型”,因为特殊,上面举的具体结论也有一些特殊性,大家可以再构造更一般意义下的“等边相似型”去分析上面的三大性质,将更具有代表性与一般性;
题3:
问题:
如图5-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=CB,∠DCE=45°,试探究AD、DE、EB满足的等量关系.
[探究发现]小聪同学利用图形变换,将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBF,连接EH,由已知条件易得∠EBF=90°,∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=45°.根据“边角边”,可证△CEF≌ ,得EF=ED.
在Rt△FBE中,由 定理,可得BF^2+EB^2=EF^2,由BF=AD,可得AD、DE、EB之间的等量关系是 .
[实践运用]
(1)如图5-2,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数;
(2)在
(1)条件下,连接BD,分别交AE、AF于点M、N,若BE=2,DF=3,BM=2,运用小聪同学探究的结论,求正方形的边长及MN的长.
简析:
本题就是几何里等腰直角三角形及正方形中半角模型与代数里方程思想的综合好题,下面就不按部就班地解此题了,关键是说清这里的模型及如何列方程即可搞定,下面一一列出,详细展开;
(2)模型简证:
既然可以将点D关于边CE对称,当然也可以将点E关于CD对称,学生自行探究,不再赘述;
类比方法二与方法一,相当于第一步与第二步颠倒了个顺序,但前者可用旋转的眼光看问题,而后者却可以用翻折(对称)的眼光看图形,本质上还是有一定的差异的!
至此,原问题中的[探究发现]可得到深入解决!
模型二(正方形中“半角模型”):
(一)模型结论:
如图5-13所示,在正方形ABCD中,∠EAF=45°(即为直角∠BAD的一半,“半角”之名由此而来),则BE+DF=EF(三条线段满足和关系).
(二)模型简证:
方法一(旋转:
绕点A逆转90度):
第一步:
如图5-14所示,旋转变换;
第二步:
如图5-15所示,全等变换(SAS),由此得BE+DF=EF;
既然可以逆转90度,当然也可以顺转90度,请自行探究,不再赘述;
值得一提的是,这里证明出△AEF≌△AE’F(SAS)后,容易得出系列“副产品”:
(1)在图5-16中,∠1=∠2,即∠AFE=∠AFE’;
(2)得出∠1=∠2后,“见角平分线,作双垂”,如图5-17所示,此时再过点A作AG⊥EF于点G,则易证明出Rt△AGF≌△Rt△ADF(AAS),这样立即可得到AG=AD;
也就是说,△AEF的高AG与正方形ABCD的边长相等;
这个结论的由来是非常有趣的!
若是一开始就过点A作AG⊥EF,想要通过全等去证明AG=AD,进而证明BE+DF=EF成立,是一件很麻烦或者说不可能的事情(虽然可以通过同一法或者共线法等方式说明,但这对于学生而言已经不太适合)!
峰回路转,我们上面先通过旋转方法,证明出BE+DF=EF后,竟然神奇般地又得到了AG=AD这个有趣的结论;
(3)得到AG=AD=AB后,容易证明Rt△AGE≌△Rt△ABE(HL),这样又有∠3=∠4,即∠AEB=∠AEG成立;
上面这三个有关边与角相等的结论,是在证明BE+DF=EF的过程中,几乎一气呵成自然生成的“附产结论”,同学们可对这里的逻辑顺序再认真反思一遍!
方法二(对称:
将点E关于AF对称):
未说明清晰,这里先隐去一些干扰线条,防止同学们受这里最麻烦的“共线”干扰,具体分析如下:
第一步:
如图5-16所示,对称变换,将点E关于边AF对称;
第二步:
如图5-17所示,连接DE’,全等变换(SAS);
注意:
这里还暂时得不出E’、D、F、C共线,这也是此法最麻烦的地方,也是我隐去一部分干扰线条的原因之所在,需要同学们用心体悟琢磨,如果绕不过来就PASS,只要学会旋转方法一,足矣;
第三步:
如图5-18所示,还原线段CD,容易推出∠FDE’=180°,故点E’、D、F、C四点共线,由此易得BE+DF=EF;
既然可以将点E关于边AF对称,当然也可以将点F关于AE对称,学生自行探究,不再赘述;
类比方法二与方法一,相当于第一步与第二步颠倒了个顺序,但前者可用旋转的眼光看问题,而后者却可以用翻折(对称)的眼光看图形,本质上还是有一定的差异的,而且这个差异产生了第三步中证明“四点共线(或三点共线)”的麻烦,值得深思,“共线”的证明一直是学生的软肋,容易被忽略!
方法三(两次对称:
同时将点B关于AE对称,点D关于AF对称):
第一步:
对称变换,如图5-19所示,将点B关于AE对称;
第二步:
对称变换,如图5-20所示,将点D关于AF对称;
值得一提的是,这里的两个对称点D’与B’恰好重合,主要原因就是“半角”所致,即∠EAF=45°,为直角∠BAD的一半导致的;
当然第一次对称点A后,也可以证明Rt△DAF≌△B’AF(SAS),这样也可以达到同样的目的;
由此易得BE+DF=EF;
而原问题中的[实践运用]中∠EAF=45°跟上面的“两次全等”证法一致,不再赘述;
另一方面得到正方形中“半角模型”结论BE+DF=EF后,已知BE=2,DF=3,可得EF=5;
接下来要求正方形的边长,应该结合“方程思想”,即设BC=CD=x,则EC=x-2,FC=x-3,如图5-21所示,锁定Rt△EFC,有勾股定理列方程即可求出x的值为6,不再赘述;
至于最后一个小问题求MN的长,其实就是在此正方形中识别到前面已解决的等腰直角三角形“半角模型”,结合“方程思想”即可轻松搞定,具体可如下操作:
有趣的是,这道题还是本人主备任务里的作业题,还是本人得意门生张李同学提出了这个质疑,值得表扬;
我想表达的是,一方面学生及教师要有质疑的精神,这种质疑精神可能比解题能力还要重要;另一方面,命题人除了要考虑到题目方法的合理性,还要检验题目条件的合理性,这也是我想表达的解题后检验或验算的好习惯!
下面笔者对正方形中“半角模型”的一些常用结论,分几个层次总结如下:
(一点说明:
这个模型中的结论几乎可以说成“取之不尽、用之不竭”,笔者也仅仅是略懂皮毛,这里主要起到抛砖引玉之效,主要还是针对学生层面而言!
)
第二层次:
若是将图5-23补成如图5-24所示,则有:
(1)∠ACP=∠QCA=135°,∠CAP=∠CQA,且∠CPA=∠CAQ(这里通过简单的导角即可);
(2)△CAP∽△CQA,即为前面扬州中考题里提及的“等边相似”基本型;
第三层次:
既然引出了相似的眼光,接下来,大家细细品味此图,会一发不可收拾地得到“无数组”与相似基本型有关的结论,一定会让你大开眼界以至于“大跌眼镜”,不信你看:
既然识别到了这两组“母子型相似”基本结构,紧接着一个很自然的问题随之产生,在这个图中还有没有其他的“母子型相似”结构?
还有没有其他的相似基本图形?
让我们“相似到底”!
第四层次:
上面出现了“平行型8字型”相似结构,其实这里面还有极其丰富的“相交型8字型”结构,进而可以推出系列更有趣的结论;
如图5-34所示,易得△NAM∽△NDF∽△EBM,结合前面的结论,这样就有5个三角形两两均相似,即△NAM∽△NBA∽△ADM∽△NDF∽△EBM;
若是此时再结合“四点共圆”(遗憾地是,稍微超纲,了解也罢)的知识,就更有趣了,如图5-35所示,A、B、E、N四点共圆;
同理可得:
如图5-36所示,A、D、F、M四点共圆;
上面我们通过“四点共圆”的相关知识,很简单地说明了△ANE及△AMF都是等腰直角三角形,但稍遗憾地是,这里的“四点共圆”属超纲内容,学生了解即可,不宜作为主流方法;
下面提供两种方式可有效避开“四点共圆”;
同理,如图5-40所示,△AMF也是等腰直角三角形,不再赘述;
值得一提的是,这里用到了“两次相似”,且第二次相似是通过所谓“SAS”(课堂上本人与学生已约定俗称,虽课本上并无此种说法)证明的;
同理,如图5-42所示,△
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 解题 策略 研究 正方形 45 专题