空间向量及其运算.docx
- 文档编号:668253
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:36
- 大小:1.05MB
空间向量及其运算.docx
《空间向量及其运算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《空间向量及其运算.docx(36页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
空间向量及其运算
空间向量及其运算
1.空间向量的有关概念
名称
概念
表示
零向量
模为0的向量
0
单位向量
长度(模)为1的向量
相等向量
方向相同且模相等的向量
a=b
相反向量
方向相反且模相等的向量
a的相反向量为-a
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
a∥b
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理:
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.
(2)共面向量定理:
若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:
(λa)·b=λ(a·b);
②交换律:
a·b=b·a;
③分配律:
a·(b+c)=a·b+a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0)
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直
a·b=0
(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
夹角
〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cos〈a,b〉=
高频考点突破
高频考点一 空间向量的线性运算
例1、
(1)已知在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于( )
A.a-b+cB.-a+b+c
C.a+b-cD.a+b-c
(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
①化简--=;
②用,,表示,则=.
【答案】
(1)B
(2)①
②++
解析
(1)显然=-
=(+)-
=-a+b+c.
(2)①--
=-(+)
=-
=+=.
②==(+),
∴=+=(+)+
=++.
【感悟提升】用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【变式探究】三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.
【解析】 =+=+
=+(-)
=+[(+)-]
=-++.
=+=-++
=++.
高频考点二 共线定理、共面定理的应用
例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,
(1)求证:
E、F、G、H四点共面;
(2)求证:
BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:
对空间任一点O,有=(+++).
【感悟提升】
(1)证明点共线的方法
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A,B,C三点共线,即证明,共线,亦即证明=λ(λ≠0).
(2)证明点共面的方法
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P,A,B,C四点共面,只要能证明=x+y或对空间任一点O,有=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.
【变式探究】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B上的点,F是AC上的点,且A1E=2EB,CF=2AF,则EF与平面A1B1CD的位置关系为.
【答案】 平行
【解析】 取=a,=b,=c为基底,
易得=-(a-b+c),
而=a-b+c,即∥,故EF∥DB1,
且EF⊄平面A1B1CD,DB1⊂平面A1B1CD,
所以EF∥平面A1B1CD.
高频考点三 空间向量数量积的应用
例3、如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证:
MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长;
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
∴||=a.∴MN的长为a.
【方法技巧】数量积的应用
(1)求夹角,设向量a,b所成的角为θ,则cosθ=,进而可求两异面直线所成的角.
(2)求长度(距离),运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.
(3)解决垂直问题,利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
【变式探究】如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长;
(2)求证:
AC1⊥BD;
(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
1.【2016高考新课标2理数】如图,菱形的对角线与交于点,,点分别在上,,交于点.将沿折到位置,.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅱ)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系,则,2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.
(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:
GH∥平面ABC;
(II)已知EF=FB=AC=,AB=BC.求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(II)解法一:
连接,则平面,
又且是圆的直径,所以
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意得,,过点作于点,
所以
可得
故.
设是平面的一个法向量.
由
可得
可得平面的一个法向量
因为平面的一个法向量
所以.
所以二面角的余弦值为.
解法二:
所以二面角的余弦值为.
3.【2016高考天津理数】(本小题满分13分)
如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(I)求证:
EG∥平面ADF;
()求二面角O-EF-C的正弦值;
()设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
.
4.【2016年高考北京理数】(本小题14分)
如图,在四棱锥中,平面平面,,,,
,,.
(1)求证:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?
若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)见解析;
(2);(3)存在,
.
设平面的法向量为,则
即
令,则.
所以.
又,所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
5.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面
,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
()求证:
EF⊥平面ACFD;
()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案】(I)证明见解析;(II).
取的中点,则,又平面平面,所以,平面.
以点为原点,分别以射线,的方向为,的正方向,建立空间直角坐标系.
6.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD,E为边AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(Ⅰ)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(Ⅱ)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
在Rt△AEH中,∠AEH=45°,AE=1,
所以AH=.
在Rt△PAH中,PH==,
所以sin∠APH==.
方法二:
作Ay⊥AD,以A为原点,以,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),
所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2)
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
由得设x=2,解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α,则sinα==.
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.
【2015高考湖南,理19】如图,已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形,,且底面,点,分别在棱,BC上.
(1)若P是的中点,证明:
;
(2)若平面,二面角的余弦值为,求四面体的体积.
【答案】
(1)详见解析;
(2).
【解析】
设,而,由此得点,
,∵平面,且平面的一个法向量是,
∴,即,亦即,从而,于是,将四面体视为以为底面的三棱锥,则其高,故四面体的体积.
解法二
(1)如图c,取的中点,连结,,∵,是梯形的两腰,是的中点,∴,于是由知,,∴,,,四点共面,
由题设知,,,∴平面,因此①,
∵,∴,因此
,于是,再由①即知平面,又平面,故;
连结,由平面,∴,又是正方形,所以为矩形,故,设,则④,过点作交于点,则为矩形,∴,,因此,于是,∴,再由③④得,解得,因此,故四面体的体积.
【2015高考上海,理19】(本题满分12分)如图,在长方体中,,,、分别是、的中点.证明、、、四点共面,并求直线与平面所成的角的大小.
【答案】
【解析】故.
因此直线与平面所成的角的大小为.
1.(2014·广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)
【答案】B
【解析】2.(2014·重庆卷]如图13所示,四棱锥PABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=,MP⊥AP.
(1)求PO的长;
(2)求二面角APMC的正弦值.
图13
【解析】解:
(1)如图所示,连接AC,BD,因为四边形ABCD为菱形,所以AC∩BD=O,且AC⊥BD.以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
因为∠BAD=,
所以OA=AB·cos=,OB=AB·sin=1,
所以O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),=(0,1,0),=(-,-1,0).
由BM=,BC=2知,==,
从而=+=,
即M.
设P(0,0,a),a>0,则=(-,0,a),=.因为MP⊥AP,所以·=0,即-+a2=0,所以a=或a=-(舍去),即PO=.
1.在下列命题中:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 空间 向量 及其 运算