概率论和数理统计第二章课后习题答案解析.docx
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概率论和数理统计第二章课后习题答案解析
概率论与数理统计课后习题答案
第二章
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.
【解】
X=3,4,5
1
P(X=3)厂0.1
C5
P(X
3
=4)3=0.3
C;
【解】
当0 22 35 当1Wx<2时 F(x)=P(XWx)=F(X=0)+F(X=1)=34 35 当x>2时,F(x)=P(XWx)=1 故X的分布函数 0,x: : 0 3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数•则X=0,1,2,3. P(X=0)=(0.2)3=0.008 P(X=1)=C;0.8(0.2)2=0.096 P(X=2)=c3(0.8)20.2=0.384 P(X=3)=(0.8)3=0.512 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 0,xv0 0.008,0兰xc1 F(x)=丿0.104,1兰xv2 0.488,2Ex£3 1,x—3 P(X_2)=P(X=2)P(X=3)=0.896 4. (1)设随机变量X的分布律为 ik P{X=k}=a—, k! 其中k=0,1,2,…,入〉0为常数,试确定常数a. (2)设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N,k=1,2,…,N, 试确定常数a. 【解】 (1)由分布律的性质知 : : : : k 1P(X=k)=aa|_e yk=0k! 故a (2)由分布律的性质知 NNa 1P(X=k)a=a k=1k4N 即a=1. 5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1)两人投中次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X〜b(3,0.6),Y~b(3,0.7) (1) P(X=3,Y=3) -(0.4)3(0.3)3C30.6(0.4)2C30.7(0.3)2+ 222233 C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3(0.6)(0.7) =0.32076 (2) =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设 各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即 降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降 落)? 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有 P(XN): : 0.01 200 即ZC: 00(0.02)k(0.98)20iV0.01 k=N1 利用泊松近似 ■=np=2000.02=4. of]4Ak Ie~4 P(X_N)0.01 n1k! 查表得N》9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的 某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)? 【解】设X表示出事故的次数,则X^b(1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足RX=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则 故 所以 P(X刈乂甸3J43. 9.设事件A在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】 (1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3) 5kk5k P(X_3)=、C5(0.3)(0.7)=0.16308 k=3 ⑵令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y〜b(7,0.3) 7 P(YH3)=ECk(0.3)k(0.7)J=0.35293 k=3 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松 分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计) (1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率; (2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 35 【解】 (1)P(X=0)=e》 (2)P(X一1)=1-P(X=0)=1-e^ 11.设P{X=k}=C2pk(1-p)2=k=0,1,2 m=0,1,2,3,4 5 分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X>1}=,试求P{Y>1}. 9 54 【解】因为P(X-1),故P(X<1). 99 P(X: : : 1)=P(X=0)=(1-p)2 12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书 中恰有5册错误的概率. 【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算, ■=np=20000.001=2 P(X=5^0.0018 31 13. 进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的 【解】x=1,2ju,k,m P(X=2)P(X=4)丨||P(X=2k)Hl •(丄严.…•(丄严3.… 444444 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可 从保险公司领取2000元赔偿金.求: (1)保险公司亏本的概率; (2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑. (1)在1月1日,保险公司总收入为2500>12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为 P(2000X•30000)=P(X15)P(X<14) 由于n很大,p很小,入=np=5,故用泊松近似,有 14-5k _e5 P(X15): 10.000069 心k! ⑵R保险公司获利不少于10000) =P(30000—2000X_10000)=P(X乞10) 10_5k _e50.986305 k=0k! 20000)=P(30000-2000X_20000)=P(X乞5) 5肿k e5 0.615961 k=0k! 3238 Pl=[P(X150)]=(-)=— 327 i12-4 ⑵p2=C3;() 339 ⑶当x<100时F(x)=0 x 当x>100时F(x)f(t)dt 100x =JfE+Kgt x100,100 厂dt=1- 100t2x x_100 x: : : 0 1型 F(x)x 0, 17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在]0,a] 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数. 【解】由题意知X〜U[0,a],密度函数为 1 0_x_a f(x) 0,其他 故当x<0时F(x)=0 xxx1x 当0WxWa时F(x)f(t)dtf(t)dtdt 0*0aa 当x>a时,F(x)=1 即分布函数 0,xc0 x F(x),0_x_a |a 1,xa 18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X~U[2,5],即 1 I-,2兰x兰5 f(x)二3 10,其他 512 P(X3)=.-dx=- 333 故所求概率为 222132320 P乂3()C3(): 33327 1 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗 5 口等待服务,若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y>1}. 1 【解】依题意知X~E(—),即其密度函数为 5 f(x)二 该顾客未等到服务而离开的概率为 Y~b(5,e2),即其分布律为 P(Y二k)二C;(e于(1—e,)5上,k=0,1,2,3,4,5 25 P(Y_1)=1-P(Y=0)=1-(1-e)=0.5167 20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42). (1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】 (1)若走第一条路,X〜N(40,102),则 i'x-40 P(X®「百 : : 60一40二门 (2)=0.97727 10 2 若走第二条路,X〜N(50,4),则 : : 60-50=: 」(2.5)=0.9938 4 故走第二条路乘上火车的把握大些 (2)若X〜N(40,102),则 若X〜N(50,42),则 P(X: : 45)=PX_50: 45_50=: : 1.25) “4丿 =1(1.25)=0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 2 21.设X~N(3,2), (1)求R2 (2)确定c使P{X>c}=P{Xwc}. f2_3 【解】 (1)P(2: : : X^5)=P I X-35-3 << 2 2 II 0.8413—10.6915=0.5328 P(|X|2)=P(X2)P(X: : : -2) -3 2-3、 fx—3 —2—3) +PI<1 12 2丿 12 2丿 不f1、 5" <1" =1—61-- +①1- =61- +1—6丨一 12丿 1 2丿 12丿 12丿 =0.69151-0.9938=0.6977 X—33-3 P(X3)=P()=1-门(0)=0.5 22 ⑵c=3 2 22. 【解】P(|X-10.05|0.12)=P X—10.05 0.06 0.12 >0.06> 由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.06),规定长度在10.05±).12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. =1一门 (2): 」(一2)=2[1-" (2)] 二0.0456 2 23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,(T),若要求F{120vXc200} 》0.8,允许厅最大不超过多少? 【解】p(120: : : x辽200)=p嗖g: : : 岂垒口° ICJCJCJ丿 =细上岀冷鲍-! 0.8 ,”40 故31.25 1.29 24.设随机变量X分布函数为 F(x)= ABe", °, x_0, x0. ('0), (1)求常数A,B; (2)求RXW2},P{X>3}; (3)求分布密度f(x). '凹F(x)=1「a=1 【解】 (1)由x…得 limF(x^limF(x)B=一1 (2)P(X_2)=F (2)=1-e^ P(X3)=1-F(3)=1-(1-e 25. 设随机变量X的概率密度为 当0wx<1时F(x) x 「0tdt 当1wx<2时F(x) 1x 0f(t)dt.Jf(t)dt 0 .: ;f(t)dt 1 x23 丄2x 222 0tdt=(2-t)dt 2x—1 当x>2时F(x)二 F(x) 26.设随机变量X的密度函数为 (1)f(x)=ae|x|,入>0; bx, 1 f(x)=」一2, x 0, 2 2 x 2x-1, 2 1, 0空x: : : 1 x_2 0: : x: : 1, 1乞x: : 2, 其他. 试确定常数a,b,并求其分布函数F(x). 【解】 (1)由f(x)dx=1知1二 □0qi ae_|x|dx=2a <-□0 O0r, e^dx 2a a二一 2 即密度函数为 '_.x e 2 f(x)二2 17 2e x_0 1n当xw0时F(x)=J」(x)dx=[ x'■卜 [±e%x 02 -: : 2 0扎] 当x>0时F(x)=Jf(x)dx=J—e'xdx+ ■--_2 -oO 故其分布函数 F(x) 1丄“ ! 2 1ex 2e, x_0 K ⑵由1=f(x)dxbxdx2dx=— 0■1x2 得 即X的密度函数为 x b=1 x, 0x: : 1 1 : 2 其他 当xW0时F(x)=0 当0 x0x f(x)dx=j—f(x)dx0f(x)dx x 1x1 xdx2dx 01x2 =.0xdx 0 当1Wx<2时F(x)二f(x)dx二0dx 31 =——— 2x当x>2时F(x)=1故其分布函数为 F(x) 0, 2 x 3 3 2 1, x_0 0■x: : 1 x_2 27.求标准正态分布的上: -分位点, =0.01,求z: .; (2): - =0.003,求Z--,Z.-"/2. 【解】 (1) P(X■zj-0.01 1-门(zJ=0.01 : : 」(zJ=0.09 乙.=2.33 (2)由P(Xzj=0.003得 1-门(zJ=0.003 即 : : 」(zj=0.997 查表得 "275 由P(Xz: ./2)=0.0015得 1-: -: J(z: ./2)=0.0015 z./2=2.96 「(zQ=0.9985 X 2 1 01 3 Pk 1/5 1/61/5 1/15 11/30 查表得 28.设随机变量X的分布律为 求Y=X2的分布律. 【解】Y可取的值为0,1,4,9 1 P(Y=0)=P(X=0): 5 117 P(Y=1)=P(X二-1)P(X=1)= 61530 1p(Y=4)=P(X二―2): 5 11 P(Y=9)=P(X=3): 30 故Y的分布律为 Y 014 9 Pk 1/57/301/5 11/30 1k 29.设P{X=k}=(—),k=1,2,…,令 2 r1,当x取偶数时 Y= 1-1,当X取奇数时. 求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】P(Y=1)=P(X=2)P(X=4)HIP(X=2k)I" 詔)2(厂叽— P(Y=-1)=1-P(Y=1) 3 30.设X~N(0,1). X (1)求Y=e的概率密度; (2)求Y=2X2+1的概率密度; 3)求Y=IX丨的概率密度. 【解】 (1)当y<0时,FY(y)=P(YEy)=0 当y>0时,FY(y)=P(Y空y)=P(eX乞y)=P(X^lny) lny ■fX(x)dx fY(y)U 11」n2y/2c dy -fx(lny)-一一e,y0y八2n P(Y=2X21_1)=1 当y<1时FY(y)二P(丫乞y)=0 当y>1时FY(y)=P(Y_y)=P(2X2•1_y) 2y-1 =PX2■ I2 (yJ)/2 fY(y) -—fX(x)dx ⑶P(Y_0)=1 当y<0时FY(y)二P(丫乞y)=0 当y>0时Fy(y)=P(|X|Ey)=P(-yEXEy) y yfx(x)dx 故f丫(y)唱FY(y)f(y)5) 31.设随机变量X~U(0,1),试求: X (1)Y=e的分布函数及密度函数; (2) 2lnX的分布函数及密度函数. Z= 【解】 (1) P(0: : X: : 1)=1 X P(1: : Y=e: : e)=1 <1时FY(y)二P(YEy)=0 X 当1 Iny =0dx=lny 当y>e时Fy(y)二P(e^iy)=1 即分布函数 0,y<1 I FyW)=Iny,1: : ye 1,y-e 故Y的密度函数为 1d 1: : y.efY(y)={y, 0,其他 (2)由P(0 P(Z0)=1 Fz(z)=P(ZEz)=0 当z>0时, FZ(z)二P(ZEz)=P(—2InXEz) 1 〕z/2dx=1-e" e… 即分布函数 zEOz0 故Z的密度函数为 1-z/2 fZ(z)二2e 10, 32.设随机变量X的密度函数为 : : : x: : n 2x f(x)= 孑 .0, 试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0: Y<1)=1 FY(y)=P(丫乞y)=0 当0 FY(y)二P(Ymy)二P(sinX乞y) 二P(0: : X : : n arcsiny 2dx 冗 12 ((arcsiny) n 2.arcsiny n i刍dx narcsinyn 1-1(n-arcsiny)2 7t FY(y)=1 故丫的密度函数为 fY(y)=n 0, 0: : y: : 1 其他 33.设随机变量X的分布函数如下: F(x) x: : : (1) 试填上 (1), (2),(3)项. 【解】由limF(x)=1知②填1。 故①为0。 由右连续性limF(x)=F(x0)=1知x0=0. 从而③亦为0。 即 F(x)=工1x x: : 0 x_0 34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止, 求抛掷次数X的分布律• 1 C={每 【解】设A={第i枚骰子出现6点}。 (i=1,2),RA)=>.且A1与A相互独立。 再设 6 次抛掷出现6点}。 则 P(C)二P(AUA2)=P(A)P(A2)-P(AJP(A2) 111111 =—i———X—= 666636 11 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。 36 35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则 X~b(n,0.1) P(X_1)=1_P(X=0)=1_C0(0.1)0(0.9)n_0.9 即(0.9)nz0.1 得n>22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36. 已知 0, 1 F(x)={x十一, 2 【解】因为F(x)在(g,+g)上单调不减右连续,且limF(x)=0 limF(x)=1,所以F(x)是一个分布函数。 xJ: . 但是F(x)在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非连续亦非离散型随 机变量的分布函数。 选(C) 37.设在区间[a,b]上,随机变量X的密度函数为f(x)=sinx,而在[a,b]夕卜,f(x)=0,则区 间[a,b]等于() (A)[0,n/2];(B)[0,n]; (C)L丘/2,0];(D)[0,-n. 2 nn2 【解】在[0,]上sinx>0,且psinxdx=1.故f(x)是密度函数。 n 在[0,n上psinxdx=2=1.故f(x)不是密度函数。 n 在[,0]上sinx一0,故f(x)不是密度函数。 2 亠3「「3、 在[0,n上,当n: : : x,n时,sinx<0,f(x)也不是密度函数。 22 故选(A)。 38.设随机变量X~N(0,62),问: 当b取何值时,X落入区间(1,3)的概率最大? 1X3 【解】因为X~N(0,;「2),P(1: : X: : 3)=P() ff 31 令g㈡ CTCF= 利用微积分中求极值的方法,有 3311 9 (二)=(_2片 (2)厶门(丄) CTCTCT 令 2e1/^2[仁3e3/^f]=0
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