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高考数学指数指数函数
2.9指数指数函数
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一
一、明确复习目标
1.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,能正确进行指数式运算;
2.掌握指数函数的概念、图象和性质,并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。
二.建构知识网络
1.幂的有关概念
n个
(1)正整数指数幂anaaaa(nN)
零指数幂a01(a0);
1
负整数指数幂anna0,nN
an
m
(2)正分数指数幂annama0,m,nN,n1;
m11
(3)负分数指数幂anma0,m,nN,n1
nm
na
a
(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2.有理数指数幂的性质:
1arasarsa0,r,sQ
rsrsrrr
2ararsa0,r,sQ3abrarbra0b,0r,Q
3.根式
(1)根式的定义:
如果xnan1,nN,那么x叫做a的n次方根,用na表示,na叫做根式,n叫根指数,a叫被开方数。
nana;
a0
a0
(2)根式的性质:
①当n是奇数,当n是偶数,nanaa
a
②负数没有偶次方根,③零的任何次方根都是零
4.指数函数:
(1)定义:
y=ax(a>0且a≠1,)叫指数函数,x是自变量,y是x的函数。
(2)图象:
3)性质:
定义域(-∞,+∞;)值域(0,+∞;)
0 x取何值时,y>1,0 (分a>1和0 三、双基题目练练手 1.3a·6a等于 B.b D.a f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1),在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的() 5.计算: 0.252831 16 ln2ln3ln5 6.若a,b,c,则a、b、c的大小顺序是 235 11111简答.精讲: 1-4.ABBB;1.3a·6a=a3·(-a)6=-(-a)36=-(-a)2; 1111 3.令x=1,由图知c1>d1>a1>b1; x22 4.记u=ax,则f(x)=u[u-(3a2+1)]=g(u)对称轴为u=(3a2+1)/2,要使f(x)在x∈[0,+∞)时递增, a1;当a>1时无解.故选B; 当0 5.12; 1111111 6.只须看22,33,55的大小,把22,336次乘方,把22,5510次乘方可知c 四、经典例题做一做 1-1【例1】已知9x-10·3x+9≤0,求函数y= (1)x-1-4 (1)x+2的最大值和最小值. 42 1解: 由9x-10·3x+9≤0得(3x-1)(3x-9)≤0,解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2.令() 2 x12121x=t,则≤t≤1,y=4t2-4t+2=4(t-)2+1.当t=即x=1时,ymin=1;当t=1即x=0时,422 ymax=2.方法提炼1.由不等式求x的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题.. (aa12)(a2123) 【例2】已知a13,求aaa的值. (a1a)2 a4a414a 解: a13a 11(a)249a2247, aa 33111111 1aaa2a2(a2a2)[(a2)2a2a2(a2)2]aa 11 (a)(a1)3618,aa 11方法归纳1.用好a与a22的关系.2.根式化分数指数幂再计算. aa2 【例3】(2004全国Ⅲ)解方程4x+|1-2x|=11.解: 当x≤0时,1-2x≥0. 原方程4x-2x-10=02x=1±412x=1-41<0(无解)或2x=1+41 222222>1知x>0(无解). 当x>0时,1-2x<0. xxx17xx原方程4x+2x-12=02x=-±2x=-4(无解)或2x=3x=log23(为原 22方程的解). 思想方法1.分类讨论——分段去绝对值;2。 换元法。 【例4】设函数f(x)2xa2x1(a为实数). ⑴若a<0,用函数单调性定义证明: yf(x)在(,)上是增函数 ⑵若a=0,yg(x)的图象与yf(x)的图象关于直线y=x对称,求函数 yg(x)的解析式. 解: (1)设任意实数x1 2x1x2 x2 (2x1a2x11)(2x2a2x21) 2x2ax1x2x1x2x1x22a =(2x12x2)a(2x12x2)=(2x12x2)2x1 x1x2,2x12x2,2x12x20;a0,2x1x2a0. 又2x1x20,∴f(x1)-f(x2)<0,所以f(x)是增函数. (2)当a=0时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1,∴x=log2(y+1),y=g(x)=log2(x+1). xx2【研究.欣赏】(2002上海)已知函数f(x)ax(a1) x1 (1)证明f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根。 证明 (1)设-1 ∵x2-x1>0,又a>1,∴a1,而-1 ∴x1+1>0,x2+1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x)在(-1,+∞)上为增函数。 (2)设x0为方程f(x)=0的负根,则有ax0x020即x01 x02x03(1x0)3 a1 x01x01x01 显然,x01, 33 若0x01则,1x010,3,12x01x01 与1ax01矛盾;a 13x 若x0<-1则,x0+1<0,0,11,而ax00矛盾, x01x01 的解,综上知,不存在负根。 提炼方法: 1.方法: 单调性定义,反证法,分类讨论; 2.反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力 五.提炼总结以为师 1.根式的运算——根据分数指数幂的意义,转化为分数指数幂的运算; 1 2.指数函数的定义重在“形式”,像y=2·3x,y2x,y3x2,y=3x+1等都不是指数函数,是复合函数. 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质,要分a>1与0 4.对于含有字母参数的指数式,必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论,用好用活指数函数单调性,还要注意换元的灵活运用。 同步练习2.9指数指数函数 【选择题】 1.若nN*,则4n21n14n21n1() A.2B.2nC.21nD.22n 2.(2005全国卷III)设3x1,则() 7 A)-2 C)-1 D)0 3.若函数 x y=a+b-1 a>0且a≠1)的图象经过二、三、四象限,则一定有 B.a>1且b>0 D.a>1且b<0 A.00
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- 高考 数学 指数 指数函数