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一阶动态电路分析
第3章电路的暂态分析
【教学提示】
暂态过程是电路的一种特殊过程,持续时间一般极为短暂,但在实际工作中却极为重要。
本章
介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律,重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程,由
RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。
最后讨论了RC的实际应用电路一-
积分和微分电路。
【教学要求】
了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念
理解电路的换路定律和时间常数的物理意义
了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法掌握一阶电路暂态分析的三要素法
了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件
3.1暂态分析的基本概念
暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础,理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1•稳态
在前面几章的讨论中,电路中的电压或电流,都是某一稳定值或某一稳定的时间函数,这种状态称为电路的稳定状态,简称稳态(steadystate)。
2•换路
当电路中的工作条件发生变化时,如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时,都会引起电路工作状态的改变,就有可能过渡到另一种稳定状态。
把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路(switchingcircuit)。
3•暂态
换路后,电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。
这种转换不是瞬间完成的,而是有一个过渡过程,电路在过渡过程中所处的状态称为暂态(transientstate)。
4•激励
激励(excitation)又称输入,是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5•响应
电路在在内部储能或者外部激励的作用下,产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因的不同,响应又可以分为:
(1)零输入响应(zeroinputresponse):
零输入响应就是电路在无外部激励时,只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
(2)零状态响应(zerostaterespons©:
零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下,由外部激励所引起的响应。
(3)全响应(completerespons©:
在换路时储能元件初始储能不为零的情况下,再加上外部激励所引起的响应。
3.一阶电路
电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路,其KVL方程为一阶微分方程,
这类电路称为一阶电路,它包括RC电路和RL电路。
尽管暂态过程时间短暂,但它是客观存在的物理现象,在实际应用中极为重要。
一方面可以利用暂态过程有利的一面,如在电子技术中利用它来产生波形(锯齿波、三角波等)。
另一方面,也
要避免它有害的一面,如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流,会损坏元器件和电气设备。
因此研究暂态过程可以掌握它的规律,以便利用它有利的一面,避免不利的一面,意义重大。
3.2换路定律
换路定律是电路暂态分析中的主要定律,它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。
3.2.1换路定律
电路的换路是产生暂态过程的外因,而要产生暂态过程,必须有储能元件一电感或电容。
当换路时,含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化,电感和电容中的储能也要发生变化,但能量不能突变。
因为若能量突变,由p=如=8可得功率为无穷大,而功率是有限的。
因此,能量不能突
dt
变。
而电感的磁场能为WL^1LiL2,电容中的电场能WC=」Cuc2,能量不能突变,这就意味着电
22
感中的电流和电容上的电压不能突变。
所以换路前的终了值应等于换路后的初始值,这一规律称为电路的换路定律(switchinglaw)。
若t=0_表示换路前终了瞬间,t=0+表示换路后初始瞬间,则换路定律可以用公式表示为:
uC(0丿二uC(0■)
iL(0)iL(0)
322初始值的确定
1•初始值的求解步骤
换路定律适用于换路瞬间,由它可以确定换路后UC或iL的初始值,再由这两个初始值来确定
换路后电路的其他电压或电流的初始值。
以下为求初始值的求解步骤:
1)由t=o_的等效电路求出uCo丿或iL(0_)。
(2)由换路定律确定uC(O丄或iL(04。
(3)由t=0•的等效电路,利用uC0)或iL(0)求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。
2.等效电路的画法
在t=0罰t=0•时,等效电路的画法应根据以下几点:
(1)换路前电容或电感上没有储能:
1t=0_的等效电路中,所有电量的值为0,f(0_)=0。
2t=0.的等效电路中,电容视为短路,电感视为开路。
这是因为t=0.时,由换路定律知u(0丿:
uC0.)=0,而此时电容中有电流,所以电容视为短路;iL(0)iL(0)=0,而此时电感两端有电压,所以电感视为开路。
2)换路前电容或电感上有储能且已达稳态,
1t=0_的等效电路中,电容视为开路,其电压为uC0丿;电感视为短路,其电流为i(L0丿;
这是因为电容与电感的伏安关系分别为iC_cduc,UL-LdiL,换路前达稳态时,iC0_)0,
dtdt
UL(0丿=0。
所以电容视为开路,其电压为UC0丿;电感视为短路,其电流为i(0丿。
2t=0的等效电路中,电容视为一个恒压源,电压为uC0h);电感视为一个恒流源,电流为
iL(0)
这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变,所以电容视为一个恒压源,电压为u(E■);
电感视为一个恒流源,电流为iL(0丄。
323稳态值的确定
换路后的电路达到新的稳态后,电压和电流的数值称为稳态值,当t》:
:
时,电路又达新的稳
^态。
若t—.「时电感或电容无储能,则uc(:
:
)=0,i(〜=0,其它电量的稳态值也为零。
若t—.:
时电感或电容有储能,因已达稳态,则i(旳0,U(也0而u(电0,i(〜0。
所以在tT旳的等效电路中,电容视为开路,其电压为uC如);电感视为短路,其电流为i(X)。
【例3.1!
电路如图求S断开后,
再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。
E=12V,R1=4Q,R2=2Q,开关S断开前电路已达稳态。
3.2.1所示,已知
(1)uc(0』、iC0』、u禺0-)0
(2)ucg)、iC00)、uR产)。
EO
R2
+
U2
ic
Ri
图3.2.1
解:
(1)求初始值
①画出t=0—时的等效电路如图3.2.2(a)所示。
4Q
+
12V
(a)
+
图322
由题意知:
换路前电路已处于稳态,电容C视为开路,由等效电路得:
u(0)—12=4V
4+2
2由换路定律得:
uc(0J=u(0•)=4V
3画出t=0+时的等效电路如图322(b)所示,此时电容视为一个电压为4V的恒压源,则
ic(0J=_4二-2A
2
Ur2(0•)=4V
(2)求稳态值由题意知:
达稳态时,电容没有储能,则
uc(:
■)=0V
icD0A
UR2(:
:
)=0V
3.3RC电路的暂态分析
本节将通过最简单的RC电路来分析其响应,也就是研究RC电路的充放电规律。
3.3.1RC电路的零输入响应
+uc
图3.3.1Rc电路的零输入响应
RC电路与直流电源连接,
2”处,试分析换路后uc、
在图3.3.1所示(a)Rc一阶电路中,换路前开关S合在“1”处,电源通过电阻R对电容器充电至uo,t=0时换路,即将开关S转换到“ic的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零,内部储能元件电容换路前有初始储能,所以该电路的响应为零输入响应。
分析rc电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
换路后等效电路如图3.3.1(b),由KVL可得:
uc■UR=0
由于uR=Ri,将i二Cduc代入上式得微分方程:
dt
duc或ducuc小
Rcuc=0或0
dtdtRc
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程,它的通解为:
pt
uc=Ae
式中A和p是待定系数,A为常数,p为该微分方程特征方程的根。
将通解代入微分方程式得:
RCpAeptAept=0
整理后得到如下的特征方程:
RCp1=0
特征根为:
1p二RC
再来求常数A,可由初始条件确定,
由题意知换路前电容电压u(0)=Uo
根据换路定律得:
uc(0)=uC0)=Uo
令t=0将其代入微分方程的通解得:
A二uc(0)=Uo
将p和A的结果代入方程的通解得:
t
uc=UoeRC或
t
Uc=uc(o)e_RC
其随时间变化的曲线如图
3.3.2(a)所示。
由图可见,它的初始值为U,按指数规律衰减至零。
图3.3.2RC电路的响应曲线
由icduc可求出ic的变化规律:
dt
ic乂啦「巴
dtR
其随时间变化的曲线如图3.3.2(b)所示。
由图可见,它的初始值为Uo,按指数规律衰减至零。
通过分析uc、ic的变化规律可见,电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。
当上面的暂态过程结束时,电路处于稳定状态,这时电容端电压uc和电流ic的稳态值均为零。
暂态过程进行
的快慢,取决于电路参数R和c的乘积。
企弋=RC,其中R的单位是欧姆(Q),c的单位是法拉(F),E的单位为秒(s)。
因为它具有时间的量纲,所以称为电路的时间常数,它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定,而与换路情况和外加电压无关。
当t=0时,uc=Uo
当t=T时,uc二Uoe'=O.368Uo
可见时间常数.等于电压uc衰减到初始值的33.8%所需要的时间,如图3.3.3所示。
同样也可列出其它时刻
表3.3.1T与UC的关系
t
0
T
2T
3t
4T
5t
uc
U0
0.36
0.13
0.05
0.01
0.00
8U0
5U0
U0
8U0
67U0
UC
从理论上讲,电容电压从uc=Uo过渡到新的稳态(uc=0)需要的时间为无穷大,但由上表可以看出,一般经过3.〜5■的时间就可以认为零输入响应衰减到零,暂态过程结束。
【例3.2】电路如图3.3.4所示,已知Ri=6Q,R2=3Q,C=0.0仆,|s=3A,S闭合前电路处于直流稳态,在t=0时S闭合,求t>0时ic、h、i2。
图3.3.4(a)
解:
(1)在t=0_时的等效电路中,电容视为开路,如图(b)所示。
Ri
R2
|sfe
(b)由图可得:
uc(0)IsR2=33=9(V)由换路定律得:
uc(0)=uC0」=9(V)
(2)换路后的电路如图(
c)所示。
RiR2
电路的时间常数t为i=RC=RlR2C=2汉0.01=0.02s
则由RC电路的零输入响应的通解得:
则:
ic
uc
_50t
uc=9eV
50t
=—4.5e—A
dt
50t
=—1.5e_A
=3e_
50t
R2
3.3.2RC电路的零状态响应
在图3.3.5所示RC一阶电路中,换路前开关S断开,电容无储能。
=t0时换路,换路后S闭合,RC电路与直流电源连接,试分析换路后uc、ic的变化规律。
因为换路前电容无初始储能,即电路中储能元件的初始值为零,电路的响应是由电源激励所产生的,所以该电路的响应为零状态响应。
分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
换路后,电压源通过电阻R向电容c充电,电容上的电压UC将从初始值逐渐过渡到某一个稳态值。
由图中所示参考方向,根据KVL得:
Uc■Ur=E
由于ur=Ric,将ic=c血代入上式得微分方程:
dt
RCduCuc=E或-duc竺—
dtdtRCRC
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程,它通解得一般形式为:
通解=齐次微分方程通解+特解
其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的Aept,特解是非齐次微分方程的一个特殊解,可以
取换路后的稳态值。
由题意可以得出,换路后的稳态值为E,故非齐次微分方程的通解为:
uc=Aept•E
其中p为该齐次微分方程的特征根。
1
P=
RC
积分常数A仍由初始值确定,将初始条件t=0时,Uc=0代入非齐次微分方程的通解,得:
A~E
于是求得零状态响应为:
tt
Uc--Ee_RCE=E(1_e一眄
其中,E为t》:
:
时电容两端电压UC(:
:
),零状态响应又可写为
tt
Uc=E(1_e®=uc(8)(1_e-RC)
due
ic=C
dt
R
换路前电容
【例3.3】在图335中,已知R=2Q,C=4卩F,E=10V,当t=0时,开关S闭合,初始储能为零,试求开关闭合后uc、ic的变化规律。
解:
换路前C无初始储能,故
u(0•)=Uc(O丿乂
换路后根据KVL得:
Ucu^=E
RCdUCuc=E
dt
求得:
t
3uc=E(1—eRC)=10(1-e'25101)
ic
_t
^Rc
3
-J25103t
二5e
3.3.3RC电路的全响应
在图3.3.7所示RC一阶电路中,换路前开关S合在“1”处,RC电路与直流电源且电路已稳定,t=0时换路,即将开关S转换到“2”处,RC电路与直流电源E2连接,压和电流方向为关联参考方向,试分析换路后Uc、ic的变化规律。
E1连接,而设电容的电
即
图3.3.7
由于换路前电路已稳定,电容已有储能。
换路后电路由电压源E2激励,所以该电路的响应为
全响应。
在t>0时,由KVL得:
Uc+Ur=E2
由于ur二Ric,将ic二Cduc代入上式得微分方程:
dt
RCducuc二E2或duc竺e2_
dtdtRcRc
求解的步骤和零状态响应是一样的,但电路的初始条件不同,会影响常数A的数值。
该微分方
程的通解为:
t
uc二AeRcE2
将初始条件t=0+时,Uc(0+)=E1代入微分方程的通解,得:
A=Ei—E2
于是求得全响应为:
t
uc=(Ei—E2)e辰-E2
整理得:
tt
uc二Eie苍E2(1-e芯)
tt
分析uc式可知,式中第一项e1eRc是电路的零输入响应,第二项E2(1_eRc)是零状态响应。
因此,电路的全状态响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分之和。
全响应=零输入响应+零状态响应
由uc可以求出ic的响应。
t
ic兀咚=(_兰旦)e怎
dtRR
它们的变化曲线如图3.3.8所示。
图3.3.8RC电路的全响应
3.4RL电路的暂态分析
本节将通过最简单的RL电路来分析其响应,也就是研究RL电路的充放电规律。
3.4.1RL电路的零输入响应
在图3.4.1所示(a)RL一阶电路中,t=0时换路,将开关S闭合,试分析换路后iL、Ul的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零,内部储能元件电感换路前有初始储能,所以该电路的响应为零输入响应。
分析RL电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
设电感的电压和电流关联参考,换路后,由KVL可得:
UlUr=0
由于UR二RiL,将UL二L鱼代入上式得微分方程:
dt
iL=0或业RiL=0
dtL参照其解法可求得结果
t
.E-iLe
R
零状态响应又可写为
Rdt
此方程与电容放电的微分方程形式相同,
iL,进而求得uL。
其中,E为tis时通过电感的电流
R
式中
E
iLe
R
t
diL-
ul=LEeT
dt
它也具有时间的量纲,是RL电路的时间常数。
它们随时间变化的曲线如图3.4.2所示。
L
R
.越大,iL和uL衰减的越慢。
图3.4.2RL电路的响应曲线
可见,电感电流与电容电压的衰减规律是一样的,都是按指数规律由初始值逐渐衰减而趋于零。
而电感电压在换路瞬间会发生突变,由零突变到R|s,然后再按指数规律逐渐衰减到零。
过渡过程
的快慢,取决于电路的时间常数
L
R
RL串联电路实际上是线圈的电路模型,如电动机的绕组、仪表的线圈等。
在使用的时候常会
遇到线圈从电源断开的问题,如图343所示电路,S断开前电路已处于稳态。
如果突然断开开关
S这时电感中电流的变化率diL很大,将使线圈两端产生很大的自感电动势e^-L-diL。
由于开
'dtdt
关两触头间的间隙很小,高电动势能使开关触点被击穿而产生电弧或火花,触头被烧坏。
为防止开断线圈电路时所产生的高压,常在电感线圈两端并联一个二极管。
开关S断开前,二
极管反向截止;开关S断开时,二极管导通,电感线圈中的电流通过二极管按指数规律放电,这样就避免了产生高压。
3.4.2RL电路的零状态响应
在图344所示RL一阶电路中,换路前电感无储能。
t=0时换路,S闭合,RL电路与直流电源
连接,试分析换路后iL、uL的变化规律。
iL
+UL
图3.4.4RL电路的零状态响应
因为换路前电感无初始储能,即电路中储能元件的初始值为零,电路的响应是由电源激励所产生的,所以该电路的响应为零状态响应。
分析RL电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
设电感的电压和电流方向关联参考,换路后,由KVL可得:
UlUr=E
由于uR二RiL,将uL二L也代入上式得微分方程:
dt
皿iL=E或鱼RiL=RE
RdtdtLL
iL,进而求得UL。
此方程与电容充电的微分方程形式相同,参照电容充电的解法可求得结果
iL,
R
其中,
E为t):
:
时通过电感的电流
R
iL(:
:
),因此零状态响应又可写为
tt
E■■~
il(1—e.)—e)
R
则
tdiL—
ul二LEeydt
它们随时间变化的曲线如图345所示。
t
图3.4.5RL电路的零状态响应曲线
可见,电感电流与电容电压的增长规律是一样的,都是按指数规律由初始值增加到稳定值的。
电感电压在换路瞬间会发生突变,由零突变到E,然后再按指数规律逐渐衰减到零。
过渡过程的快
慢,也取决于电路的时间常数
.二L。
R
3.4.3RL电路的全响应
在图346所示RL一阶电路中,换路前开关S合在a处,RL电路与直流电压源Ei连接,而且电路已稳定,t=0时换路,即将开关S转换到“b”处,RL电路与直流电压源E2连接,试分析换路后UL、iL的变化规律。
图3.4.6RL电路的全响应
由于换路前电路已稳定,电感已有储能。
换路后电路由电流源|S2激励,所以该电路的响应为
全响应。
与求RC电路的全响应类似,RL电路的全响应也等于零输入响应于零状态响应的叠加。
由RL电路的零输入响应和零状态响应求得全响应为:
iL
Eie
R
-4
T
t
E2-
7(i-e’
ul九血
dt
E2.
R
t
(氏
R
t
T
t
E2二
E2)eT
=EieTE2e
它们的变化曲线如图图
3.4.7所示。
图3.4.7
3.5一阶线性电路暂态分析的三要素法
上述RC和RL电路中,应用KVL列写待求量的微分方程式进行求解的方法,称为经典法。
对于一个简单的一阶电路,可以应用经典的方法来求解,但对于结构复杂的一阶电路如果用经典法则显得比较麻烦,下面我们介绍一阶线性电路暂态分析常用的方法一一三要素法。
总结RC、RL电路微分方程的求解过程,可以得出一阶电路暂态过程电压和电流解的形式是相同的,它们都由两部分组成。
u=u'u'
i=i'i''
其中,u'和r为非齐次微分方程的特解,它可以在电路处于稳定状态时求出,称为稳态分量。
u''和i''是对应齐次微分方程的通解,它具有确定的函数形式称为Ae
t
-,随着暂态过程的结束它将
趋于零,称为暂态分量。
如果将待求的电压或电流用
f(t)表示,其初始值和稳态值分别为
f(0)和f(:
:
),则其响应表
示为:
t
f(t)Ae"-
在t=0.时有
f(0)=f(:
:
)A
得:
A=f(0)_f(:
:
)
因此
t
f(t)二f(:
j[f(0・)_f(x)]e〜
式中f(:
:
)、f(0)和.称为一阶电路的三要素,求解时只要求出三个要素,就能直接求出电路的响应。
【例3.5.1】在图3.5.1所示电路中,已知E=10V,Ri=R2=5kQ,C=1nF,开关S闭合前电容无储能。
求开关S闭合后的电容电压uc和电流ic。
EO
+
UR2
ic
+
C
C——U
图3.5.1
解:
本题是求零状态响应,用三要素法求电容电压uC和电流iC的变化规律。
(1)先求uC(0丿、i(0』
由题意开关S闭合前电容无储能得:
由换路定律得:
uc(0)=uc(OJ=0
在t=o.时,电容视为短路
ic(O)—二10=2mA
Ri5
(2)再求uc(•:
■:
)、ic(•:
■:
)
t》时,电容视为开路,则:
一r25
uc(:
:
)2E10=5V
Ri+R25+5
ic(:
:
)=0A
(3)然后求时间常数.
.二RC21^c二
R1+R25+5
396
101109=2.510"S
(4)求Uc、ic
把上面的结果代入三要素公式
u(t)=uc
(二)[uco)
t
■uc(:
:
)]e
t
ic(t)=ic(:
J[ic(0)
」c(:
:
)]e
得:
=5-5e"05\
_^>do刍
uct)=5+[0-5]e
4乂0刍_4X105t
ic(t)0[2-0]e_t=2emA
它们的变化曲线如图3.5.1所示。
3.6微分电路与积分电路
在RC电路中,电路的时间常数.决定了暂态过程进行的快慢,如果对RC电路选择适当的时
间常数和输出端,便会得到输出电压uO和输入电压ui之间微分和积分的关系,本节所介绍的就是
由RC电路构成的微分电路与积分电路。
3.3.1微分电路
如图3.3.1所示Rc电路中,输入电压ui为一个矩形脉冲电压,脉冲幅度为u,脉冲宽度为tp。
输出电压uo取自R两端,且满足T< 之间的关系。 为便于分析,我们分别取几个特殊时刻,t=0、t=t1、t=t2。
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