高考全国1卷理科数学真题及答案.docx
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高考全国1卷理科数学真题及答案
2019年高考全国1卷理科数学真题
1.已知集合M{x4x2},N{xx2x60,则MN=
3.已知alog20.2,b20.2,c0.20.3,则
51(51≈0.618,
22
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚
脐的长度之比也是51.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长
2
度为26cm,则其身高可能是
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
sinxx
5.函数f(x)=2在[,]的图像大致为
cosxx
A.
C.
B.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的
6个爻组成,
阳爻“——”
和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,
则该重卦恰有
爻分为
3个阳爻
的概率是
5
A.
16
11B.
32
C.
32
D.
11
16
7.已知非零向量
a,
b满足|a|2|b|,且(ab)b,则a与b的夹角为
π
A.
6
π
B.
3
C.
2π
D.
5π
8.如图是求
1
2211
2
2
的程序框图,
图中空白框中应填入
1
1
1
1
A.A=
B.A=2
C.A=
D.A=1
2A
A
12A
2A
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4
0,a55,则
A.an2n5
B.an3n10
2
C.Sn2n8n
12D.Snn22n
n2
10.已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|2|F2B|,
|AB||BF1|,则C的方程为
11.关于函数f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论:
其中所有正确结论的编号是
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为
A.86B.46C.26D.6
13.曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为.
12
14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1,a42a6,则S5=.
3
15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前
期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的
概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.
22
xy
16.已知双曲线C:
221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线ab
分别交于A,B两点.若F1AAB,F1BF2B0,则C的离心率为
22
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.
1)求A;
(2)若2ab2c,求sinC.
18.(12分)如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
1)证明:
MN∥平面C1DE;
2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
19.(12分)
3
已知抛物线C:
y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.2
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若AP3PB,求|AB|.
20.(12分)
已知函数f(x)sinxln(1x),f(x)为f(x)的导数.证明:
(1)f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点;
2
(2)f(x)有且仅有2个零点.
21.(12分)
为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案
如下:
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以
乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:
对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1分;若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
1)求X的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认
为甲药比乙药更有效”的概率,则p00,p81,piapi1bpicpi1(i1,2,,7),其中
aP(X1),bP(X0),cP(X1).假设0.5,0.8.
(i)证明:
{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列;
(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos3sin110.
1)求C和l的直角坐标方程;
2)求C上的点到l距离的最小值.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
111222
(1)a2b2c2;
abc
(2)(ab)3(bc)3(ca)324.
1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D
13.y=3x
14.
121
3
15.0.18
16.2
bc.
b2c2a2
2bc
222222
17.解:
(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC,故由正弦定理得b2c2a2
因为0A180,所以A60.
(2)由
(1)知B120C,由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC
1
cosCsinC2sinC
2
2由于0C120,所以sinC60,故
2
sinCsinC6060
sinC60cos60cosC60sin60
62
4
18.解:
(1)连结B1C,ME.
因为M,E分别为BB1,BC的中点,
1
所以ME∥B1C,且ME=B1C.
2
1
又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.
2
由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,
因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.
又MN平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.
2)由已知可得DE⊥DA.
以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则
19.
A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),
A1N(1,0,2),MN(0,3,0).
设m(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则mA1M0,
mA1A0
所以x3y2z0,可取m(3,1,0).4z0.
nMN0,设n(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则
nA1N0.
所以3q0,可取n(2,0,1).p2r0.
mn2315于是cosm,n
|m‖n|255
所以二面角AMA1N的正弦值为10.
5
3
解:
设直线l:
y2xt,Ax1,y1,Bx2,y2.
1)由题设得F3,0,
A1A(0,0,4),
A1M(1,3,2),
故|AF||BF|x1x23,由题设可得x1x2
3
yxt由2
2
y3x
可得9x212(t1)x4t20,
则x1x2
12(t1)
9
从而
12(t1)5
92,
得t78.
37
所以l的方程为yx.
28
(2)由AP3PB可得y13y2.
3yxt2由2,可得y22y2t0.
2y3x
所以y1y22.从而3y2y22,故y21,y13.
代入C的方程得x13,x21.
123
故|AB|413
3
11
20.解:
(1)设g(x)f'(x),则g(x)cosx,g'(x)sinx2.1x(1x)
当x1,时,g'(x)单调递减,而g'(0)0,g'()0,可得g'(x)在1,有唯一零点,222
设为.
则当x(1,)时,g'(x)0;当x,时,g'(x)0.
2
所以g(x)在(1,)单调递增,在,单调递减,故g(x)在1,存在唯一极大值点,22
即f'(x)在1,存在唯一极大值点.
2
(2)f(x)的定义域为(1,).
(i)当x(1,0]时,由
(1)知,f'(x)在(1,0)单调递增,而f'(0)0,所以当x(1,0)时,f'(x)0,故f(x)在(1,0)单调递减,又f(0)=0,从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点.
(ii)当x0,时,由
(1)知,f'(x)在(0,)单调递增,在,单调递减,而f'(0)=0,22,
f'0,所以存在,,使得f'()0,且当x(0,)时,f'(x)0;当x,
222时,f'(x)0.故f(x)在(0,)单调递增,在,单调递减.
2
又f(0)=0,f1ln10,所以当x0,时,f(x)0.从而,f(x)在0,
2222没有零点.
(iii)当x,时,f'(x)0,所以f(x)在,单调递减.而f0,f()0,
222
所以f(x)在,有唯一零点.
2
(iv)当x(,)时,ln(x1)1,所以f(x)<0,从而f(x)在(,)没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.
解:
X的所有可能取值为
P(X1)
(1),
P(X0)(1
P(X1)
(1),
所以X的分布列为
1,0,1.
)
(1),
(2)(i)由
(1)得a
0.4,b0.5,
c0.1.
21.
因此pi=0.4pi1+0.5pi+0.1pi1,故0.1pi1pi0.4pipi1,即
pi1pi4pipi1.
481
又因为p1p0p10,所以pi1pi(i0,1,2,,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得
p8p8p7p7p6p1p0p0p8p7p7p6p1p03p1.
3
由于p8=1,故p183,所以
41
在甲药治愈率为0.5,乙药治
p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,
愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p42570.0039,此时得出错误结论的概率非
常小,说明这种试验方案合理.
x2y1(x1).
4
l的直角坐标方程为2x3y110.
23.解:
(1)因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac,又abc1,故有
a2b2c2abbcca
abbcca111
abc
abc
所以111a2b2c2.abc
(2)因为a,b,c为正数且abc1,故有
(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
3(2ab)(2bc)(2ac)
333
=24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.
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