微积分基础阶段证明题及答案.docx
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微积分基础阶段证明题及答案
第九章储积分iιFDH題
1.证明方秤十4”一4—1=O有=个实根・
2.UE明IfiS-个IE敢冇平方根・
3•证阴方程一色〒十一J十」气=0有一根介于192之何•刃有一根介于
X―1X-Z工一3
2与3之间.
・1・W*明IrfV÷⅛I…}二r≡0∙则对+KfHj<0.1>内的荣令*•令«0+αlτ
IZπ-rJ
+…+atrjτ^≡0.
5•求iιH方祥b=CLrt÷Ar+<的根不超过三个.
6∙设八Q于有穷或无帘的L≤M
ImiJAJCy—IiTn/(x).怔明“疗在一点ξ∈"』》・便得./"(€>=。
・
4—βr* 7.设八丹满⅛z(l>冋l>o"J卜.TT定义IiTrS1>阶辻续的导顒教 广•和(Z)M2》在区间(jra.jr.>内旳”阶⅛^tfc∕ς"l ∕<-r0>«/(Jl)=…=■/(x.)(XiJV4V…V工■)・ 怔明在区.)内壬少存在一点W•使∙∏=6 8.ffyfCτ>6∙[OelJ卜连续・rr(O.l)内一阶可⅛.itzxA(<>./(<»>)与 B 乩设在[0・2小上连⅛=fC2u).it明在[0・“]上至少疗在一点E∙fΦ∕<ξ)=/(f+α>. IO.设八"和日丹在3・幻hi±⅛,H..∕<^>>^).址朗=存在WW(«鼻)・使m= IL设/ L2.设“VSuh>0•廉数/J)^rU.6J上辻续■住(“』》内可锻・H/Cu)■心\=0.证明=仔在一点ε∈3』〉•使上字=Z 13.设不怕为席数的说數/(工)存闭区何S・"|卜连錢•在开[乂间3・6》内可导・H/(U>≡Λ*)∙iiE∣W∕k(u.∕n内。 少存在一点&便得/(¢)>0. 14.C⅛kx)Λ∙-u-6jh连续W√⅛-uWZrJ内导-H.κ,(X>√-0.>R.Wis3c∈ (α∙A).便 /(g)-/(α>_f(ξ) fU)g<α><7? ) 15•设f(z)是处处可导的奇函数・证明,对任-6>0.总存在(W<-6.Δ)使 16.设∕ f ∕J)Jj(ξ> ∕α)g<Λ) 一\<4/ 以“)/(F) 17.设Xl>jγ2>0.试证在XI⅛赴之间至少存在一点&使 JrIe*r2—Hrerl=(1—ξ)el(x∣—x: >. 18. 设/(#)在[“•”」上连续∙7t(a.Λ〉内町导.O•便 19.S∕(x)½ b)内有界. 20.Vt/("血U]上连续•除比€34外∙∕Q)在(SZO内存在■且lim∕ —% 2L设Jr(F)4有连续的二阶导數・址明: 皿£口叶¥_上3-/(Z)J≡Iy-Fcr). A-OhhZF 22.试证,奇碉数在za=O处的泰勒公式中小含有偶次#项•曲偶吸数则不含有奇次需顶• 23.设/(x+Λ)-f(τ)+A√(x+6ft)(0<^<1>,又/(j∙)连续JrQ>≠0∙证明Iin^=£・ Λ→0Z 24.设/(x)⅛E[a∙Λ]E二阶可导■且/"(丁》≤OfJl•心为[a∙A]1: 任JftfW点•试图用泰勒公式址明 /(上I+亠)>/5)+/5) 25•设/Cr)在SB)内二次可做•且/(jγ> /(Jro)>/(j)/"*(xo)(xλ⅛)∙ 26,设心在[0-1]上二次可Λ.fi∕(O)=/(1>∙If{x}≤L 证明: I/(x)≤I-fli∣M[0∙1]上成立•27.i£∣U: arctanXln(l+τ2)≥ψIn2*x∈[寺・1」・ 巳知jγ>0∙uE∣JI: Jr~jγς 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 证明∙sin>手H(O 证明;V-T>0—>2lnz. 证明: VJ>0JnJ≤1. ≥HrCtana+HrCtHnb(a∙b2>0>. 证明: ISinUSinZi∣≤Iba为任实数. S∕*(x)>O(Z∈[“"])•求证厂—1/(EcLrWfi"兀£1 设f(τ).fi(r)及它门的丫方在[^∙Λ]IeJ枳•试证明河殖一许瓦兹不奪式[∣/(τ>g(τ>cLrJ≤(I∕~(x) max &心在[“上可导•且/(α)=0∙证明 I/(x)cLr∙ 【基础篇答案】 1・【解】/(j->=T5+4√3JT1・5? 然/5)在(∞,4∞).b连续•冈/ 又lim./J)=-8•由极限性质¾∣.3-r<,<0.使/(.rc»<0.所以/(x)=OA(ZC∙-1)内至少有一实根.三次方押至多有三个实根•故方畏恰有三个实根. 2・【解】令∕J)=F∙则/3)址连续甬数然∙V">0∙日儿使得/(Λ)>α.爭实l>fcl∣α>1时•可取力=S当&<1吋•可取〃=1・而O=1时■有/(1>=1. 命題自然成匚 于是•对Tα>0.β≠l.4⅛,∕(0)<α 3xq∈(QJf).使∕ 法足jt;≡c. 3.【解】令八力-⅛∙7⅛÷垄侧fGr)U U(2∙3)U(3.+∞)1: 连续∙rti于 棍据极限性质知•在区间(1∙2)内冇两点J∙ι.r2.fξt/(x1)∙/(x2)<0ι在区间(2∙3) 内右网点小」∙⅛fcf<τj•/(Tl)<0.由连续雷数的石点行住定理知•葩数Λ-r) 在<1,2)内至少有一个吝点•何且<2,3)内也至少有一个零点・ 4•【烟】令八丈>=牛r+寮rU…件产“1・则/3在[XI]上连续•在(0.1)内可导•且/(0)≡/ (1)—0.rh罗尔定理.3τe(0∙i)∙便∕ <⅞+Qi十…一a■才"=0. 5.【解】令JrQ)=出一占‘一&一仁则/(z)建连续且仟盘次可做的而数•下而用反证法证明. 若方程/(X)=0冇4个IR•设为4 劝<& 八&)=/^: )-∕ 又在区间[&•&]•[$•&]上分别对西數/(χ)应川罗尔足理•則3φ.v,.ε∙VTh<6j<9⅛<6.使 ∕*(φ)=∕*(j^)=0 冉在m∙∕]卜对卜画数“八应用妙尔疋理∙m^E(71.7γ)∙便广(d但这与广(Q一卍>0rt∣≠½.凶此•方世/(j->=0的根木不可能趙过三个. 6.【解】当(a.b)为有穷区何肘•设 fICJr).当zW3•爪时.F(j-)≡=-I-丄 [A.当.r=«与办时♦ 梵中ΛIim/")・显離∙F3在上连续•在SE)内可导•且F(α)FCΛ).由罗 »—fc*O 尔定期知.3^ 若(“•")为: t穷蒐间匸P⅛iftα■—R■I7. 刚作论换J=tan1(⅛<Γ<今),可将问题化为冇穷区何上的问题•这时・ 对复合画数 χ(∕)≡/(tanf) 令•寻)便X«“〉 =0・ 在仃穷区间(y.y)内仿I前讨论町Ul.3G∈(see2rθ=0•其中ξ=t<∣nKh由于sec'fθ工0・故f(? ) 如果小有PH数"=+oo∙iw可取仇>ιmπιSO"g=瞥乎•干比 对刼含Pfi数X")=屮一~)在自穷Kml也・九)t∕{⅛⅛⅛讨论・PJ)JltSrae<«. Z—f 几)•便以"0〉=r(w》•_=o∙其中W=号;GY∈α∙+g)∙由此得 Z(e>=o. 对α—00,6为命限数的怕i形可类似进行讨论. 7.【解】在毎一个闭区间匚氐B]■匚4•孔J•…—IYJ,∙∙∙[z∙—1・x二k«•函SCm都满足罗尔定理的条件•故存往W个点 JrllllJ∖∈(.z1ITJrAXXr—1.2∙∙∙∙•丹)•便/∖.ι*)—O(Jfc=1^2<∙∙∙.π>FSi∙∕k毎—G闭区间X∙U"=l∙2∙…」1)h.Rfil*∕(χ)iΛ⅛寥尔毎理的条件•因it 3TA∈ J=Oa=1,2,∙∙‰m1>. 绅续上述步骤•经51>次后•獅到一个区l⅛][j-Γ,.rΓ,lUOa•几)•满足 厂"Gr;,>=0(*-K2).T⅛Λ此区间I--PAtt∕s∙,1Cr)構足罗尔眾理的条件・故至少存在一点FE &【解】证法1设法找导函敎ff<-r>的畸个等值点”因/(工>在[0・门上満足拉格0JH∙P值矩理的条件•故3e∣∈(0.C).使/'($>=°∖111Tr点住张 AH上•故有 々二£3曾-倍=∕(1>-/(O), C—U1—O 从而冇< 同理∙m冬€使fO-∕<∣)-∕(0).iς≡^Z √(r>在区KZ]上应用罗尔定18>3e∈(&■&)Uw∙1)∙使Γ(ς>=Oi 9・【解】作辅助Λtt^(x)=∕(j+d)/(x),WIISP(Z)在[0∙α]上连续•且卩(O) —Ba)-/(0),^(α)—/(2α>-f(a)—/(0)-/Xα)∙即有权0)•卩(α)V0・fħ介ft⅛定理知VFW[0.α].使φ{ζ)=O•即7<^+α)=/("・ 】0・【解】对函数Fa)-∕<2)-g(jr)在[口丿]I: 应用介值定理即叽 F(G=/-∙(Λ)=0,由罗尔定理知•右在Ce<α√>).∣⅛l∙,(c)=OV即/(<)= V 12.【解】令F Jr [“丿]上连续•在(UJf)内町导•且F(a>=F(∕υ=0.由罗尔宦理知•3? 6便FG)=O•即八"严‘⑥=O•因0∙故御¥=/(ξ). 13.【解】因/(α>一f(δ>且/Cr>不恒为狀数•故至少存在一点£€("』>•使/(f)Z/(d)=f(b>.不妨设/(()>/(“)・Wf(.r)住[α,d±満足拉格朗H中值定理的条件,故存在FW(s『)U(α.6).便 /"曰一—-VU>-/(«)]>θ∙ C—U 对于/(r)(α)的情形可类似证明• Lt(IilJ梅耍证的等式《*)变形•由条件√(j>≠0,t∈(α,6).m√(e)≠0, g(δ)g<ξ>≠O.故(*)式等价于 E∕ [/(』)耳(Jr)-/(α)耳(z>—/(r)耳(小了『r>e=0. 记F(Jr)=f(jf)>j(j)—f(a)g(jr)—f(a)χ(Λ)∙则P(J)在匕连续•在3")内可导•且Fs=Fg=∕<α)M(6).由罗尔定iS∙36∈30)•便Fz<⅞)=0,从rftι<*)式成立・ 15.[解】A区间[A.6]h对/3应用拉格朗H值定理•存在rW(b∙b∖∙便 /(⅛)-∕<-Λ)=∕zα>7-(-")]∙ 因/(P是奇函数•故一Λ-6)一/")•从而推得/(r>一上护. 1G.【解】作軸助頤数 J(U)/(x>c(-/)= 尺(“)g(" 由题设可知⅞: (U)在JJ]卜•连续•在SG内可#・据拉恪GUH中值宦理.3^6(α∙b)♦使 φ(,b)—φ(a)=φ,(f>(6—a)« 即
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