第三节逻辑连接词.docx
- 文档编号:6860297
- 上传时间:2023-01-11
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:112.36KB
第三节逻辑连接词.docx
《第三节逻辑连接词.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三节逻辑连接词.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第三节逻辑连接词
第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[知识能否忆起]
一、简单的逻辑联结词
1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作p∧q,读作“p且q”.
2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作p∨q,读作“p或q”.
3.对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.
4.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:
p∧q中p、q有一假为假,p∨q有一真为真,p与非p必定是一真一假.
二、全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,P(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.
三、含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,綈p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,綈p(x)
[小题能否全取]
1.(2011·北京高考)若p是真命题,q是假命题,则( )
A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题D.綈q是真命题
答案:
D
2.(教材习题改编)下列命题中的假命题是( )
A.∃x0∈R,x0+
=2B.∃x0∈R,sinx0=-1
C.∀x∈R,x2>0D.∀x∈R,2x>0
答案:
C
3.(2012·湖南高考)命题“∃x0∈∁RQ,x
∈Q”的否定是( )
A.∃x0∉∁RQ,x
∈QB.∃x0∈∁RQ,x
∉Q
C.∀x∉∁RQ,x3∈QD.∀x∈∁RQ,x3∉Q
解析:
选D 其否定为∀x∈∁RQ,x3∉Q.
4.(教材习题改编)命题p:
有的三角形是等边三角形.命题綈p:
__________________.
答案:
所有的三角形都不是等边三角形
5.命题“∃x0∈R,2x
-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为________.
解析:
∃x0∈R,2x
-3ax0+9<0为假命题,则∀x∈R,2x2-3ax+9≥0恒成立,有Δ=9a2-72≤0,解得-2
≤a≤2
.
答案:
[-2
,2
]
1.逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.
2.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.
含有逻辑联结词命题的真假判定
典题导入
[例1] (2012·齐齐哈尔质检)已知命题p:
∃x0∈R,使tanx0=1,命题q:
x2-3x+2<0的解集是{x|1 ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈q)”是假命题;③命题“(綈p)∨q”是真命题;④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题.其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④D.①②③④ [自主解答] 命题p: ∃x0∈R,使tanx0=1是真命题,命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1 [答案] D 由题悟法 1.“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤 (1)准确判断简单命题p、q的真假; (2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假. 2.含有逻辑联结词的命题的真假判断规律 (1)p∨q: p、q中有一个为真,则p∨q为真,即一真全真; (2)p∧q: p、q中有一个为假,则p∧q为假,即一假即假; (3)綈p: 与p的真假相反,即一真一假,真假相反. 以题试法 1. (1)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论: ①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是( ) A.①③B.②④ C.②③D.①④ (2)(2012·江西盟校联考)已知命题p: “∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q: “∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.(4,+∞)B.[1,4] C.[e,4]D.(-∞,1] 解析: (1)选A “非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题. (2)选C “p∧q”是真命题,则p与q都是真命题.p真则∀x∈[0,1],a≥ex,需a≥e;q真则x2+4x+a=0有解,需Δ=16-4a≥0,所以a≤4.p∧q为真,则e≤a≤4. 全称命题与特称命题的真假判断 典题导入 [例2] 下列命题中的假命题是( ) A.∀a,b∈R,an=an+b,有{an}是等差数列 B.∃x0∈(-∞,0),2x0<3x0 C.∀x∈R,3x≠0 D.∃x0∈R,lgx0=0 [自主解答] 对于A,an+1-an=a(n+1)+b-(an+b)=a常数.A正确;对于B,∀x∈(-∞,0),2x>3x,B不正确;对于C,易知3x≠0,因此C正确;对于D,注意到lg1=0,因此D正确. [答案] B 由题悟法 1.全称命题真假的判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立; (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可. 2.特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题. 以题试法 2.(2012·湖南十二校联考)下列命题中的真命题是( ) A.∃x0∈R,使得sinx0cosx0= B.∃x0∈(-∞,0),2x0>1 C.∀x∈R,x2≥x-1 D.∀x∈(0,π),sinx>cosx 解析: 选C 由sinxcosx= ,得sin2x= >1,故A错误;结合指数函数和三角函数的图象,可知B,D错误;因为x2-x+1= 2+ >0恒成立,所以C正确. 全称命题与特称命题的否定 典题导入 [例3] (2013·武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( ) A.所有能被2整除的整数都是奇数 B.所有不能被2整除的整数都不是奇数 C.存在一个能被2整除的整数是奇数 D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数 [自主解答] 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”,选D. [答案] D 若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”,其否定为________. 答案: 所有能被2整除的整数都不是奇数 由题悟法 1.弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提. 2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. 3.要判断“綈p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,p与綈p的真假相反. 4.常见词语的否定形式有: 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x∈A使p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x0∈A使p(x0)假 以题试法 3.(2012·辽宁高考)已知命题p: ∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈p是( ) A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 解析: 选C 命题p的否定为“∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0”. [典例] (2012·湖北高考)命题“存在一个无 理数,它的平方是有理数”的否定是( ) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 [尝试解题] 特称命题的否定为全称命题,即将“存在”改为“任意”,并将其结论进行否定.原命题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. [答案] B ——————[易错提醒]—————————————————————————— 1.因只否定量词不否定结论,而误选A. 2.对含有一个量词的命题进行否定时,要明确否定的实质,不应只简单地对量词进行否定,应遵循否定的要求,同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律. —————————————————————————————————————— 针对训练 1.命题“对任何x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是____________. 解析: 全称命题的否定为特称命题,所以该命题的否定为: ∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3. 答案: ∃x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3 2.命题“能被5整除的数,末位是0”的否定是________. 解析: 省略了全称量词“任何一个”,否定为: 有些可以被5整除的数,末位不是0. 答案: 有些可以被5整除的数,末位不是0 1.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是( ) A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2 B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2 D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2 解析: 选D 全称命题含有量词“∀”,故排除A、B,又等式a2+b2+2ab=(a+b)2对于全体实数都成立,故选D. 2.(2012·山东高考)设命题p: 函数y=sin2x的最小正周期为 ;命题q: 函数y=cosx的图象关于直线x= 对称.则下列判断正确的是( ) A.p为真 B.q为真 C.p∧q为假D.p∨q为真 解析: 选C 命题p,q均为假命题,故p∧q为假命题. 3.(2013·广州模拟)已知命题p: 所有有理数都是实数,命题q: 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( ) A.(綈p)∨qB.p∧q C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∨(綈q) 解析: 选D 不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,所以綈p为假命题,綈q为真命题,所以(綈p)∨(綈q)为真命题. 4.下列命题中,真命题是( ) A.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数 B.∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)`都是偶函数 D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 解析: 选A 由于当m=0时,函数f(x)=x2+mx=x2为偶函数,故“∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)为偶函数”是真命题. 5.(2012·福建高考)下列命题中,真命题是( ) A.∃x0∈R,ex0≤0 B.∀x∈R,2x>x2 C.a+b=0的充要条件是 =-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 解析: 选D 因为∀x∈R,ex>0,故排除A;取x=2,则22=22,故排除B;a+b=0,取a=b=0,则不能推出 =-1,故排除C. 6.(2012·石家庄质检)已知命题p1: ∃x0∈R,x +x0+1<0;p2: ∀x∈[1,2],x2-1≥0.以下命题为真命题的是( ) A.(綈p1)∧(綈p2)B.p1∨(綈p2) C.(綈p1)∧p2D.p1∧p2 解析: 选C ∵方程x2+x+1=0的判别式Δ=12-4=-3<0,∴x2+x+1<0无解,故命题p1为假命题,綈p1为真命题;由x2-1≥0,得x≥1或x≤-1,∴∀x∈[1,2],x2-1≥0,故命题p2为真命题,綈p2为假命题.∵綈p1为真命题,p2为真命题,∴(綈p1)∧p2为真命题. 7.(2012·“江南十校”联考)下列说法中错误的是( ) A.对于命题p: ∃x0∈R,使得x0+ >2,则綈p: ∀x∈R,均有x+ ≤2 B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为: “若x≠1,则x2-3x+2≠0” D.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 解析: 选D 显然选项A正确;对于B,由x=1可得x2-3x+2=0;反过来,由x2-3x+2=0不能得知x=1,此时x的值可能是2,因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件,选项B正确;对于C,原命题的逆否命题是: “若x≠1,则x2-3x+2≠0”,因此选项C正确;对于D,若p∧q为假命题,则p,q中至少有一个为假命题,故选项D错误. 8.(2013·石家庄模拟)已知命题p: ∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a=1或a≤-2B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1D.-2≤a≤1 解析: 选A 若命题p: ∀x∈[1,2],x2-a≥0真,则a≤1. 若命题q: ∃x0∈R,x +2ax0+2-a=0真,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,a≥1或a≤-2,又p且q为真命题所以a=1或a≤-2. 9.命题“存在x0∈R,使得x +2x0+5=0”的否定是________. 答案: 对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0 10.已知命题p: “∀x∈N*,x> ”,命题p的否定为命题q,则q是“________”;q的真假为________(填“真”或“假”). 解析: q: ∃x0∈N*,x0≤ ,当x0=1时,x0= 成立,故q为真. 答案: ∃x0∈N*,x0≤ 真 11.若命题“存在实数x0,使x +ax0+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为________. 解析: 由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,结合图象知Δ=a2-4>0,解得a>2或a<-2. 答案: (-∞,-2)∪(2,+∞) 12.若∃θ∈R,使sinθ≥1成立,则cos 的值为________. 解析: 由题意得sinθ-1≥0.又-1≤sinθ≤1,∴sinθ=1. ∴θ=2kπ+ (k∈Z).故cos = . 答案: 13.已知命题p: ∃a0∈R,曲线x2+ =1为双曲线;命题q: ≤0的解集是{x|1 ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈q)”是真命题;③命题“(綈p)∨q”是真命题;④命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题.其中正确的是________. 解析: 因为命题p是真命题,命题q是假命题,所以命题“p∧q”是假命题,命题“p∧(綈q)”是真命题,命题“(綈p)∨q”是假命题,命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题. 答案: ②④ 14.下列结论: ①若命题p: ∃x0∈R,tanx0=2;命题q: ∀x∈R,x2-x+ >0.则命题“p∧(綈q)”是假命题; ②已知直线l1: ax+3y-1=0,l2: x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 =-3; ③“设a、b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为: “设a、b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”. 其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上) 解析: 在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(綈q)”是假命题是正确的.在②中l1⊥l2⇔a+3b=0,所以②不正确.在③中“设a、b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为: “设a、b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”正确. 答案: ①③ 1.下列说法错误的是( ) A.如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题 B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是: 若“a≠0,则ab≠0” C.若命题p: ∃x0∈R,ln(x +1)<0,则綈p: ∀x∈R,ln(x2+1)≥0 D.“sinθ= ”是“θ=30°”的充分不必要条件 解析: 选D sinθ= 是θ=30°的必要不充分条件,故选D. 2.(2012·“江南十校”联考)命题p: 若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q: 若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( ) A.“p或q”是真命题B.“p或q”是假命题 C.綈p为假命题D.綈q为假命题 解析: 选B ∵当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零度角,∴命题p是假命题;命题q是假命题,例如f(x)= 综上可知,“p或q”是假命题. 3.已知命题p: “∃x0∈R,4x0-2x0+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________. 解析: 若綈p是假命题,则p是真命题,即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,∴m≤1. 答案: (-∞,1] 4.下列四个命题: ①∃x0∈R,使sinx0+cosx0=2;②对∀x∈R,sinx+ ≥2;③对∀x∈ ,tanx+ ≥2;④∃x0∈R,使sinx0+cosx0= . 其中正确命题的序号为________. 解析: ∵sinx+cosx= sin ∈[- , ]; 故①∃x0∈R,使sinx0+cosx0=2错误; ④∃x0∈R,使sinx0+cosx0= 正确; ∵sinx+ ≥2或sinx+ ≤-2, 故②对∀x∈R,sinx+ ≥2错误; ③对∀x∈ ,tanx>0, >0,由基本不等式可得tanx+ ≥2正确. 答案: ③④ 5.设命题p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q: 实数x满足 (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解: (1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0. 又a>0,所以a 当a=1时,1 由 解得 即2 所以q为真时,2 若p∧q为真,则 ⇔2 所以实数x的取值范围是(2,3). (2)设A={x|x≤a,或x≥3a},B={x|x≤2,或x>3}, 因为綈p是綈q的充分不必要条件, 所以AB. 所以03,即1 所以实数a的取值范围是(1,2]. 6.已知命题p: 方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q: 只有一个实数x0满足不等式x +2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求a的取值范围. 解: 由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0, ∴x= 或x=-a, ∴当命题p为真命题时, ≤1或|-a|≤1, ∴|a|≤2. 又“只有一个实数x0满足不等式x +2ax0+2a≤0”, 即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2. ∴当命题q为真命题时,a=0或a=2. ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题, ∴a>2或a<-2. 即a的取值范围为 . 1.(2012·济宁模拟)有下列四个命题: p1: 若a·b=0,则一定有a⊥b; p2: ∃x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny; p3: ∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=a1-2x+1都恒过定点 ; p4: 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F≥0.其中假命题的是( ) A.p1,p4B.p2,p3 C.p1,p3D.p2,p4 解析: 选A 对于p1: ∵a·b=0⇔a=0或b=0或a⊥b,当a=0,则a方向任意,a,b不一定垂直,故p1假,否定B、D,又p3显然为真,否定C. 2.若命题p: 关于x的不等式ax+b>0的解集是 ,命题q: 关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集是{x|a 解析: 依题意可知命题p和q都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假、“綈p”为真、“綈q”为真. 答案: 綈p,綈q 3.已知p: 方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q: 方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围. 解: 若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根x1,x2, 则 即 解得m>2,即p: m>2. 若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根, 则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0. 解得1 1 ∵p或q为真,p且q为假, ∴p、q两命题应一真一假,即p为真、q为假或p为假、q为真. ∴ 或 解得m≥3或1 ∴m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三节 逻辑 连接词