微分及其应用.docx
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微分及其应用
作业和答疑
一、作业
P
110:
3(3,6,7,8),4,5(1,3,6),6,9,10
二、数学实验
第1,2次:
第10,11周四3,4节(车辆公管)上机
第1,2次:
第10,11周五3,4节(工设,机硕,机管硕)上机
地点:
理科楼238
三、答疑
时间:
每周三:
10:
30~4:
00
地点:
理课楼316
第四节微分及其应用
•一、微分的定义与几何意义
•二、微分运算法则
•三、微分在近似计算中的应用
•四、小结
一微分的定义与几何意义1、问题的提出
实例:
正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由0xx
x变到
0
A
正方形面积
2
x
0
x
0
x
x
0
x
(x2)
)
x
A(xx)x
22
00
A
2
0
x
x
x
0
x
0
2xx(x).
2
0
(1)
(2)
(1):
x
的线性函数,且为A的主要部分;
(2):
x
的高阶无穷小,当x很小时可忽略.
再例如,
设函数yx
3在点
x处的改变量
0
为x时,求函数的改变量y.
y(xx)x
3300
3xx3x(x)(x).
223
00
(1)
(2)
当x(是x的高阶无穷小ox
很小时,2)(),
y3xx.
2
0
既容易计算又是较好的近似值
问题:
这个线性函数(改变量的主要部分)是否
所有函数的改变量都有?
它是什么?
如何求?
2、微分的定义
定义设函数yf(x)在某区间内有定义,
x及
0
x
0
x在这区间内,
如果
y
f(
x
0
x)
f(x)
0
A
x
o(x
)
成立(其中A是与x无关的常数),则称函数
yf(x)在点
x可微,并且称A
0
x为函数
yf(x)在点
x相应于自变量增量x的微分,
0
记作dy
x
x00xx
或即dy
df(x),Ax.
0
微分dyy(微分的实质)
叫做函数增量的线性主部.
由定义知:
(dy是自变量的改变量x的线性函数
1);
(ydyox是比x高阶无穷小
2)();
(当A时dy与y是等价无穷小
3)0,;
y
dy
1o(x)1(x0).
Ax
(4)
A
是与x无关的常数但与fx)和x0有关;
(
(当x很小时ydy线性主部
5),().
如果函数y=f(x)在区间I上处处可微,则称f(x)
在区间I上可微。
函数yf(x)Ix,
在区间上任意点的微分称为函
数的微分(),().
记作dy或dfx即dyAxx
两个基本问题:
(1)函数可微的条件是什么?
(2)若函数可微,则定义中的A(x)=?
3、可微的条件
定理
函数f(x)在点
x可微的充要条件是函
0
数f(x)在点
x处可导,且A
0
f
(
x
0
).
证
(1)必要性f(x)在点x0可微,
yo(x)
yAxo(x),A
xx
limAlim
yo(x)
则A.
x
0x0
xx
即函数
f在点可导且
(x)x0,Af(x
0
).
(2)充分性
函数f(x)在点x0可导,
y
limf(x),
x
0
x0
即
y
x
f(x),
0
从而
y
f(x0)x(x),
0x
(
0),
fxxox
()(),
0
注
函数
f在点可微且
(x)0,f(x)A.
x
0
可导可微
.
A
f(
x
0
).
函数yf(x)在任意点x的微分,称为函数的
微分,记作dy或df(x),即dyf(x)x.
求函数yxxx例1
解
Q
dyxx
()
3
3x2x.
0.24.
dy3xx
2
x2x2
x0.02x0.02
例2:
考虑函数y=x的微分:
d(x)'xx即dxx.
ydx
通常把自变量xx
的增量称为自变量的微分.
dy
dy()f()f(x).
fxxxdx
dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数.导数也叫"微商".
4、微分的几何意义
y
几何意义:
(如图)
T
当y是曲线的纵
N
o
(x)
dyy
P
坐标增量时,dy
M
yf
(x)
x
就是切线纵坐标
)
对应的增量.
o
x0x
x
0
x
当
x很小时,在点M的附近,
切线段MP可近似代替曲线段MN.
二、微分的求法
dy()
fxdx
求法:
计算函数的导数,乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0d(x)xdx
1
d(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdx
d(tanx)secxdxd(cotx)cscxdx
22
d(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdx
xxxx
d(a)alnadxd(e)edx
11
d(logx)dxd(lnx)dx
a
xlnax
11
d(arcsinx)dxd(arccosx)dx
1x1x
22
11
d(arctanx)dxd(arccotx)dx
1x1x
22
2.函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)dudvd(Cu)Cdu
uvduudv
d(uv)vduudvd()
2
vv
例2求函数在点x=0和x=1处的微分。
yx
e
解
/
x
dy0(e)|dxdx
x0
x
dyedxedx
x/
xx
1()|1
yxdy
cos
例3设,求。
解
dyfxdxxxdxxdx
'()(cos)'sin1sin
'()(cos)'sin1sin
2x
例4
2dy
设yx求
ln(xe),.
解
Q
y
2
x
12
xe
2
x
xe
2
12xex
x
dydx.
2
x
xe
例5
设
yx求
ecos,.
13xdy
解
dyxdeedx
cos(x)x(cos)
1313
Q
(ex)3ex,(cosx)sinx.
1313
dyxedxexdx
cos(3x)x(sin)
1313
e13x(3cosxsinx)dx.
3、微分形式的不变性
设函数f(x)f(x),
y有导数
(若x是自变量时dyfxdx
1),();
(2)若x是中间变量时,即另一变量t的可
dy()()微函数x(t),则
fxtdt
dyf(x)dx.
(tdtdx
),
结论:
无论x是自变量还是中间变量,函数
yf(x)的微分形式总是fxdx
dy()
微分形式的不变性
设
ysin(2x1),求dy.
例6
Qsin,21.
yuux解
cos(2x1)d(2x1)
dycosudu
2cos(2x1)dx.
cos(2x1)2dx
例7
设
yax求
esinbx,dy.
解
dyebxdbxbxedax
cos()sin()
axax
ebxbdxbxeadx
cossin()axax
eaxbbxabxdx
(cossin).
练习2.设求
解:
利用一阶微分形式不变性,有
dyxxy
(sin)d(cos())0
sinsin(xy)(dxdy)0
xdyycosxdx
dycosxsin(xy)
ydx
xy)sinx
sin(
练习3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(
1)d(1xC)xdx
2
(C为任意常数)
2
(1sin
2)d(tC)costdt
说明:
上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意:
数学中的反问题往往出现多值性.
注意
例8在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立.
(1)d()costdt;
(2)d(sinx)()d(x).
2
(1)Qd(sint)costdt,解
1
1
costdtd(sint)
dt
(sin);
1
dtCtdt
(sin)cos.
22
d(sinx)2xcosxdx
(2)Q4xxcosx2,
1
dxdx
()
2x
d(sinx)(4xxcosx)d(x).
22
三微分在近似计算应用1、函数的近似计算
当xfx
很小,
且(0)0时
y
dyf
(x0)x
(1)
y
f(x0x)f(x0
)
fxxfxfxx
()()()
000
令xx0x,
则
fxfxfxxx
()()()()
000
(2)
特别xf(x)f(0)f(0)x(3)
当0时
0,
几个常用的近似公式(x很小时)
1
n
(1)1x1x
n
;
(xxx的单位弧度
2)sin(:
);
(xxx的单位弧度
3)tan(:
);
(exx
4)1;
(xx
5)ln
(1).
例9:
计算arctan1.05的近似值。
解:
设f(x)=arctanx,利用式f(x
0
x)
f(x)f(x)x,
'
00
有
arctan(x
0
1
x)arctanxx.
02
1x
0
这里x1,x1.05,于是有
0
arctan1.05arctan(10.05)
1
arctan10.05
2
11
0.05
0.8104
42
lffn(1xx)xffxfx
(0))0,(0)(0)(10)
例10证明如下近似公式:
。
e1x
x
(1);
ln(1x)x
(2)
f(x)exf(x)exx0证
(1)令,,当时,
fff(x)f(0)f(0)x
(0)1,(0)1,由
f(x)1xex1x得,即
1
fxxf(x)
()ln
(1)
(2)令,,当
1x
x0
ff
(0)0,(0)1
时,,由
fxffx
()(0)(0)
fxx
()
ln(1x)x得,即
2.误差估计
•间接测量误差
2
例:
计算圆钢的截面积:
AD.
4其中D为测量直径。
D的测量误差将导致计算A时出现误差,称之为间接测量误差。
•绝对误差和相对误差
设某个量的精确值为A,测量值(或近似值)为a,
则称|A–a|为a的绝对误差。
而称
为a的相对误差。
|
A
|a
a
|
|
实际中,精确值A往往无法知道,因此绝对误差和相对误差也就无法求得,但可以确定他们的范围。
例如假设A|
|a
A
则称
为测量A的绝对误差限,简称为绝对误差。
A
A
|
|a
叫做测量A的相对误差限,简称为相对误差。
例1:
设测得的圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D
的绝对误差限D0.05mm,利用公式
AD
计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差。
2
4
解:
设测量D时产生的误差为D,则面积A的间接
测量误差为:
2
A(DD)D
2
44
dA
DD
dA
AD
dD2
D
D
|A||dA|||
|D
|0.05,
D
2
60.030.05
4.715mm
2
AD
22
D
2
D
一般地,设y=f(x),测量x时的误差记为x
x的绝对误差限为
|x|,
即
xx
则函数y的绝对误差为
|yfxxfx
||()()|
|dyfxx
||()|
|f()|
x
x
因此y的绝对误差限为y|f(x)|x
而y的相对误差限为
y
|f(x)|
|y||f(x)|
x
f
(x)
|
|
f(x)
x
四、小结
1.
微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题导数的概念
函数的增量问题微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,
叫做微分学.
2.导数与微分的联系:
可导可微.
3.导数与微分的区别:
1.函数f(x)
在点x处的导数是一个定数
0
f
(
x
0
),
而微分dyf
(
x)(x
0
x)
0
是x
x的线性函数,它
0
的定义域是R,实际上,它是无穷小.
0.
limdylimf(x)(xx)
00
xxxx
00
2.从几何意义上来看,f
(
x)是曲线yf(x)
0
在
点(
x,f
0
(x))处切线的斜率,而微分dy
0
f
(
x
0
)
(x
x)是曲线yf(x)在点
0
(x,
0
f(
x))
0
处的切
线方程在点
x
0
的纵坐标增量.
因为一元函数yf(x)在
x的可微性与
0
可导性是等价的,所以有人说“微分就是导
数,导数就是微分”,这说法对吗?
从概念上讲,微分是从求函数增
量引出线性主部而得到的,导数是从
函数变化率问题归纳出函数增量与自
变量增量之比的极限,它们是完全不
同的概念.
所以这种说法不对.
练习1.求
解:
dy
1
2
x
d(1e)
2
x
1e
1
1
e
2
x
ex
2
dx2
(
)
12
x
2
e2
x
1e
2
x
x
2xe
dx
2
1e
2xdx
练习题2.41.填空题:
f2在点x处的自变量的
(x)x
(1)(已知函数
增量为0.2,对应的函数增量的线性全部是
dy=0.8,那么自变量x的始值为__________.
(2)微分的几何意义是__________.
(3)若yf(x)是可微函数,则当x0时,
y是关于x的________无穷小.
dy
(4)d____________sinxdx.
(5)d____________e2xdx.
(6)d____________sec23xdx.
(7)yx2e2x,dye2xd______x2d______.
2x
e
(8)d)_________dex________dx.
(arctan
2
2.求下列函数的微分:
(1)
x
y;
x12
2
(2)y[ln(1x)]2;
(3)yarcsin1x2;
(4)
y
1x2
2
;
arctan
2
1x
(5)yex,求dy;
3xcos3
x
3
3.求由方程cos(xy)x2y2所确定的y微分.
4.当x很小时,证明:
(1)ln(1+x)x;
(2)tanxx;
5.利用微分求近似值:
1.01o
(1)e;
(2)cos151;
3
(3)1.02;(4)lg11.
6.水管壁的正截面是一个圆环,设
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- 微分 及其 应用