北师大版高中数学必修一课时作业二十六 412.docx
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北师大版高中数学必修一课时作业二十六412
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课时提升作业(二十六)
利用二分法求方程的近似解
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·中山高一检测)下列函数图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
【解析】选B.二分法的理论依据是零点定理,使用的前提是零点两侧函数值异号.而图B零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点.另外,A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点.
2.已知f(x)=x3-3x,用二分法求方程f(x)=1的近似解时,在下列哪一个区间内至少有一解( )
A.(-3,-2)B.(0,1)
C.(2,3)D.(-1,0)
【解析】选D.设g(x)=f(x)-1,则g(-1)=1,g(0)=-1,g(-1)g(0)<0.故在区间(-1,0)上至少有一解.
3.若函数f(x)在[a,b]上连续,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f
>0,则( )
A.f(x)在
上有零点
B.f(x)在
上有零点
C.f(x)在
上无零点
D.f(x)在
上无零点
【解析】选B.f(a)f(b)<0,f(a)f
>0,
所以f(b)f
<0,f(x)在
上有零点.
4.(2014·济源高一检测)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
( )
A.[-2,1]B.[-1,0]
C.[0,1]D.[1,2]
【解析】选A.因为f(-2)=-8+5=-3<0,f
(1)=1+5=6>0,所以初始区间可为[-2,1].
5.(2014·南阳高一检测)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f
(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25)内B.(1.25,1.5)内
C.(1.5,2)内D.不能确定
【解析】选B.由题意知f(x)在(1,2)内连续且f(1.25)<0,f(1.5)>0,所以方程的根在(1.25,1.5)内.
6.(2014·浏阳高一检测)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn](n∈N)上,当|an-bn| 与真实零点a的误差最大不超过( ) A. B. C.mD.2m 【解析】选B.因为取中点,故零点的近似值与真实零点的误差最大不超过区间长度的一半即 . 二、填空题(每小题4分,共12分) 7.(2014·宿迁高一检测)用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精度为0.01),验证f (2)·f(4)<0,取区间[2,4]的中点x1= =3,计算得f (2)·f(x1)<0,则此时零点x0所在的区间是 . 【解析】因为f (2)·f(4)<0,f (2)·f(3)<0, 因此f(3)·f(4)>0,所以x0∈(2,3). 答案: (2,3) 8.(2014·南昌高一检测)用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点C= 则下一个含根的区间是 . 【解析】令f(x)=lnx-2+x,则f (1)=-2+1<0, f (2)=ln2-2+2>0, 又f =ln -2+ =ln - =ln -ln =ln <0, 所以,下一个含根的区间是 . 答案: 【变式训练】在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将解锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定解所在的区间为 . 【解析】令f(x)=x3-2x-1, 则f(1.5)=1.53-2×1.5-1=-0.625<0, f (1)=13-2×1-1=-2<0, f (2)=23-2×2-1=3>0, 所以f(1.5)·f (2)<0,所以解所在的区间为(1.5,2). 答案: (1.5,2) 9.(2014·临沂高一检测)用二分法求方程x3-9=0在区间(2,3)内的近似解经过 次“二分”后精度能达到0.01. 【解析】设n次“二分”后精度达到0.01, 因为区间(2,3)的长度为1, 所以 <0.01,即2n>100. 注意到26=64<100,27=128>100. 故要经过7次二分后精度达到0.01. 答案: 7 三、解答题(每小题10分,共20分) 10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精度为0.01). 【解析】令f(x)=x3-3,由于f (1)=-2<0,f (2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算: 如表 次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 第1次 1 -2 2 5 第2次 1 -2 1.5 0.375 第3次 1.25 -1.0469 1.5 0.375 第4次 1.375 -0.4004 1.5 0.375 第5次 1.4375 -0.0295 1.5 0.375 第6次 1.4375 -0.0295 1.46875 0.1684 第7次 1.4375 -0.0295 1.453125 0.06838 第8次 1.4375 -0.0295 1.4453125 0.0192 由于1.4453125-1.4375≈0.0078<0.01, 因此可以取[1.4375,1.4453125]内的任意一个数作为函数零点的近似值,我们不妨取1.445作为函数y=x3-3的一个正零点的近似值. 11.(2014·西安高一检测)利用二分法,借助计算器,求方程lgx=2-x的近似解.(精度为0.1) 【解题指南】解答本题可首先确定lgx=2-x的根的大致区间,y1=lgx,y2=2-x的图像可以作出,由图像确定根的大致区间,再用二分法求解. 【解析】作出y1=lgx,y2=2-x的图像,可以发现,方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间[1,2]内. 设f(x)=lgx+x-2,用计算器计算得 f (1)<0,f (2)>0⇒x∈[1,2]; f(1.5)<0,f (2)>0⇒x∈[1.5,2]; f(1.75)<0,f (2)>0⇒x∈[1.75,2]; f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x∈[1.75,1.875]; f(1.75)<0,f(1.8125)>0⇒x∈[1.75,1.8125]. 由于1.8125-1.75=0.0625<0.1, 因此可以取[1.75,1.8125]内的任意一个数作为函数零点的近似值,我们不妨取1.8作为方程lgx=2-x的近似解. (30分钟 50分) 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.下列函数图象均与x轴有交点,其中能用二分法求函数零点的是( ) 【解析】选C.能用二分法求函数零点的函数,在零点左右两侧的函数值符号必须相反,由图象可得,只有C能满足此条件. 2.(2014·宜春高一检测)若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)>0,f (1)f (2)f(4)<0,则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点 【解析】选D.由于f(0)>0,f (1)f (2)f(4)<0,故函数f(x)在区间(0,4)内有零点. 【误区警示】本题在求解中常误认为函数的零点必在最小区间内,导致错选A. 3.(2014·海淀高一检测)设f(x)=2x+x-2,用二分法求方程2x+x-2=0在(0,1)内近似解的过程中得f(0)<0,f (1)>0,f(0.5)<0,则方程的根落在区间( ) A.(0,0.5)B.(0.5,1) C.不能确定D.都不正确 【解析】选B.因为f(0)<0,f (1)>0,f(0.5)<0,所以f (1)f(0.5)<0.结合二分法的特征及求解原理可知方程的根落在区间(0.5,1)内. 4.(2014·荆州高一检测)已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为( ) A.(1,2)B.(2,3)C.(1,2)或(2,3)D.不能确定 【解析】选A.令f(x)=3x+3x-8, 所以f (1)=3+3-8=-2<0,f (2)=9+6-8>0, 所以f (1)f (2)<0, 所以下一个有根区间为(1,2). 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.(2014·重庆高一检测)已知图像连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一的零点,如果用“二分法”求这个零点(精度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为 次. 【解析】由 <0.01,得2n>10,所以n的最小值为4. 答案: 4 6.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0且a≠1).当2 【解析】因为函数f(x)=logax+x-b(2 f
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