城市表层土壤重金属污染分析模型.docx
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城市表层土壤重金属污染分析模型
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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2011年9月9日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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城市表层土壤重金属污染分析模型
摘要
本文主要研究了城市表层土壤重金属污染的相关问题。
问题一,基于采样点的坐标和浓度,运用surfer8.0软件绘制出8种重金属元素的空间分布图;然后通过聚类分析法将8种重金属元素分类,结合原始数据,根据超标率确定各区域中主要的重金属污染元素,即生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区的主要重金属污染元素分别为:
Zn元素、Hg元素、Cd元素、Hg元素、Cd元素和Zn元素。
最后结合各元素背景值用最小二乘法对每个区域中的重金属元素数据进行统一处理,再通过因子分析法综合因子得分找出每个区域受污染最严重的采样点,生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区受污染最严重的采样点分别为:
第36个采样点、第8个采样点、第135个采样点、第9个采样点、第143个采样点。
使用相同的方法进一步给出该城区的不同区域受污染程度排名,得知交通区受污染最严重,其次是工业区。
问题二,一方面,对每一种重金属元素,比较不同区域该种元素的污染程度,找出相应的重污染区域,进而根据重污染区域的污染来源来分析该种重金属元素污染的主要原因;另一方面,根据问题一聚类分析法所得出的各区域的主要重金属污染元素,在同时考虑污染元素和区域的基础上分析出该重金属污染元素的主要原因。
问题三,我们分析出重金属污染物的自然传播特征和人为传播特征,利用二阶抛物型偏微分方程模型求解单一重金属元素污染的污染源位置。
建立高斯烟羽模型,基于Lingo11.0软件和SPSS16.0软件,求解8种重金属元素综合作用时的污染源。
进一步利用因子分析模型对上述高斯烟羽模型结果进行检验,最终确定出6个污染源位置。
分别为:
第8个采样点、第9个采样点、第182个采样点、第257个采样点、第22个采样点和第61个采样点。
问题四,在进一步对城市地质演变模式研究时,除重金属污染因素外,我们又进一步考虑城市绿化率和城市酸雨率两个因素,基于这三个因素,对问题一、问题二、问题三的模型再次进行求解。
关键词:
重金属污染;聚类分析;因子分析;偏微分方程;高斯烟羽模型
一、问题的重述
城市经济的快速发展和人口的不断增加使人类活动对城市环境质量的影响越来越大。
对城市土壤地质环境异常的查证,以及如何应用查证获得的数据资料开展城市环境质量评价,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式,日益成为人们关注的焦点。
通过对某城市城区土壤地质环境进行调查,得到了一些数据。
现在我们需要研究以下问题:
(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2)通过数据分析,说明重金属污染的主要原因。
(3)分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置。
(4)分析所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,寻找还应收集的信息,有了这些信息,再次建立模型解决问题。
二、问题的分析
在问题一中,为了给出此8种元素的空间分布图,考虑到surfer8.0软件可以绘制出空间分布图,需要以采样点的坐标和浓度为参数做出分布图;为了分析不同区域的重金属污染程度,考虑到不同区域的主要重金属污染元素不同,可以用聚类分析法再结合超标率找出各区域的主要重金属污染元素;考虑到因子分析法能确定出每个区域受污染最严重的采样点,需要基于采样点每种重金属元素的浓度建立因子分析模型;为了得到不同区域受污染程度排名,需要用最小二乘法对每个区域中的重金属元素的浓度进行处理,再用因子分析法分析最小二乘法处理后的数据。
在问题二中,为了得到重金属污染的主要原因,首先需要得到同种重金属元素在此五区域的污染程度,考虑到用最小二乘法将元素的浓度与其相应的背景值作比较可以得到该元素的污染程度;另外需要分析出每种重金属元素污染的主要原因,则要将同种重金属元素在五区域的污染程度进行高低排名。
在问题三中,为了分析重金属污染物的传播特征,由于有自然和人为两种传播特征,需要对其进行详细分析;为了求出污染源的位置,若有了前面分析出的污染物的传播特征,就需要根据其传播特征来建立模型,考虑到二阶抛物型偏微分方程模型可以求解单一重金属元素污染的污染源,需要建立一个二阶抛物型偏微分方程模型;又因为高斯烟羽模型和因子分析模型可寻找出8种重金属元素综合作用时的污染源的位置,所以还需要建立这两种模型。
在问题四中,为了更好的研究城市地质演变模式,需要再收集一些不同于重金属元素污染的因素,城市绿化率和城市酸雨率也会影响到地质环境,因此需要将这两个因素作为两个新变量加入到原有数据中再次建立与问题一、问题二、问题三中相同的模型求解。
三、模型的假设
1.重金属污染物的扩散看作某一连续点源向四周等强度地瞬时释放污染物,重金属污染物在无穷空间扩散的过程中不发生性质变化。
2.变量已经稳定为常态,即所有的变量不随时间变化。
3.重金属污染物扩散过程中不发生化学反应产生新的污染物。
4.重金属污染物的传播服从扩散定律。
5.在一定时间内,重金属污染物始终在扩散。
四、符号说明
符号
说明
As
砷元素
Cd
镉元素
Cr
铬元素
Cu
铜元素
Hg
汞元素
Ni
镍元素
Pb
铅元素
Zn
锌元素
C(x,y,z,t)
时刻t无穷空间中任一点(x,y,z)的重金属污染物浓度
单位时间通过单位法向面积的流量
k
扩散系数
grad
梯度
考察空间域
V
的体积
S
包围
的曲面
S的外法线向量
在
内通过
的流量
内重金属污染物的增量
散度记号
污染源放出的污染物的总量
单位强度的函数
r
对于任意时刻t的污染物浓度C的等值球面的球面半径
扩散系数,通常取1.0
A
扩散源口面积,单位
p
容器内污染物的压力,单位
大气压力,单位
绝热指数,是等压比热容与等容比热容的比值
M
污染物的分子量,单位ug/mol
R
气体常数,8.314J/(molK)
T
气体温度,单位K
扩散高度的平均风速,单位
、
分别为用浓度标准偏差表示的y轴及z轴上的扩散参数
H
扩散的有效高度,单位m
X
下风方向到污染源点的距离,单位m
y、z
分别为侧风方向上和垂直向上方向上的离污染源点的距离,单位m
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
5.1.1重金属元素的空间分布
重金属元素的空间分布图主要涉及到采样点的坐标和浓度。
Surfer软件具有的强大插值功能和绘制图件能力,可以用来画等值图,在此我们用surfer8.0软件[1]来绘制重金属元素的等浓度图。
As的等浓度图如下所示:
图1.1As的等浓度图(单位:
μg/g)
同理,我们可绘制出其它7种重金属元素的等浓度图(见附录图1.2~1.8)。
由图1.1~1.8我们得出各重金属元素浓度较高的集中点:
表1重金属元素浓度较高的集中点
重金属元素
点的坐标
所在区
As
(4964.98,7283.38)
4
(12680.19,3003.71)
2
(17999.82,10061.41)
1
Cd
(21486.19,11642.51)
2
(3185.22,3013.55)
4
Cr
(3611.92,5052.26)
4
Cu
(3280.03,6142.73)
2
(2379.21,3535.07)
4
Hg
(2568.86,2776.49)
4
(13758.05,2302.37)
2
(15275.24,9319.32)
5
Ni
(3232.62,5810.84)
4
(22197.36,12069.21)
3
Pb
(1905.09,2776.48)
4
(4844.63,5147.08)
2
Zn
(3090.39,5573.79)
4
(9443.58,4341.08)
2
(13805.47,9698.62)
1
5.1.2层次聚类模型
基于原始数据我们可以得到每个功能区的每种重金属元素的超标率(见表2)。
表2每个功能区的每种重金属元素超标率表
1区
2区
3区
4区
5区
As
68.18%
61.11%
16.67%
50%
74.29%
Cd
72.73%
86.11%
25.76%
76.81%
54.29%
Cr
45.46%
41.67%
22.73%
36.23%
25.71%
Cu
77.27%
94.44%
25.76%
82.61%
68.57%
Hg
56.82%
69.44%
22.73%
52.17%
51.43%
Ni
27.27%
41.67%
19.70%
19.57%
14.29%
Pb
59.09%
80.56%
19.70%
66.67%
40%
Zn
61.36%
77.78%
13.64%
71.74%
48.57%
层次聚类中的R型聚类可以使差异性大的变量分离开来,具有相似性的变量聚集在一起。
且可在相似变量中选择少数具有代表性的变量参与其他分析。
在此题中我们可以用此方法将8种重金属元素不均等的分为两类,一类包括的重金属元素少,而另一类包括的元素很多。
这说明包括元素较少的那一类中的重金属元素明显区别于大多数重金属元素[2]。
再结合超标率来判断包含元素少的那一类重金属元素是否是该功能区主要污染物。
运用SPSS软件可求解此问题。
[3]
对生活区进行层次聚类分析,得到结果如下表1.1所示:
表1.1对生活区重金属元素聚类
ClusterMembership
Case
2Clusters
as
1
cd
1
cr
1
cu
1
hg
1
ni
1
pn
1
zn
2
从表1.1中可看出,Zn元素单独被划分为一类,其他重金属元素为另一类。
再结合表2,我们得知生活区的主要重金属污染物是Zn元素。
类似的,分别对工业区、山区、交通区、公园绿地区进行层次聚类分析,得到表1.2~1.5(见附录),分析表1.2~1.5以及表2可知,工业区的主要重金属污染物是Hg元素,山区的主要重金属污染物是Cd元素,交通区的主要重金属污染物是Hg元素,公园绿地区的主要重金属污染物是Cd元素和Zn元素。
5.1.3最小二乘法
为了得到一种元素的污染程度,需要找到一个指标作为污染程度的衡量标准,我们考虑用最小二乘法将该元素的浓度与其相应的背景值进行处理,以此来作为比较同种元素在不同区域的污染程度的指标。
用最小二乘法得出每个采样点处此八种重金属元素的含量与平均值的方差,将其按区域加和(结果见表)。
运用Excel软件处理数据。
表1.1.1最小二乘法处理的数据
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
Zn
1
512.58
2576616.89
564140.78
153316.10
603546.69
2985.04
288822.23
9705028.41
2
1110.47
4467678.22
85844.89
6496787.61
189535234.70
4483.40
393631.39
5879307.42
3
223.45
432198.21
43499.61
8605.78
52772.43
7724.48
22477.66
63450.64
4
2049.94
15416955.48
1013350.57
2311651.80
674644399.39
22935.27
291018.59
24455245.74
5
387.56
2684354.80
13076.20
27597.16
1934201.68
1154.13
102344.65
2067334.65
5.1.4因子分析模型
考虑到要克服自主赋权的主观性和随意性,我们采用因子分析的方法,该方法在变量赋权问题上具有一定的客观性,能够克服主观因素的影响,使所得结果更科学、更可靠。
因子分析以最少的信息丢失为前提,将众多的原有变量综合成少数几个因子,当因子确定以后,便可得到在这些因子下的各变量的载荷并可计算因子得分。
[4]本题中主要用因子分析模型来计算每种重金属污染元素的载荷,利用载荷计算因子得分,最后用Excel软件来计算所在区域采样点的因子得分并排名。
SPSS软件可以方便快捷的进行因子分析。
(1)我们先分别对每个区域进行因子分析,来得到每种重金属污染元素的载荷,结合因子载荷和原始数据来计算因子得分,并给出按从小到大顺序的排名,最后一名即为某一区域内污染最严重的采样点。
对生活区使用因子分析的方法,若要使用因子分析法,需要满足一定的前提条件,所以我们首先对生活区的采样点进行了KMO检验和巴特利特球度检验,结果如下表1.6所示:
表1.6KMO检验和巴特利特球度检验结果
KMOandBartlett'sTest
Kaiser-Meyer-OlkinMeasureofSamplingAdequacy.
.706
Bartlett'sTestofSphericity
Approx.Chi-Square
135.615
df
28
Sig.
.000
由表1.6可知巴特利特球度检验统计量的相应概率接近0,小于0.05,且KMO值为0.706,大于0.7,故原有变量适合进行因子分析。
然后对生活区变量进行因子分析,得到表1.7~表1.9。
表1.7原有变量的相关系数矩阵
CorrelationMatrix
as
cd
cr
cu
hg
ni
pn
zn
Correlation
as
1.000
.381
.238
.531
.293
.605
.450
-.017
cd
.381
1.000
.349
.499
.397
.283
.802
.346
cr
.238
.349
1.000
.376
.150
.527
.416
.412
cu
.531
.499
.376
1.000
.198
.434
.502
.238
hg
.293
.397
.150
.198
1.000
.211
.340
.242
ni
.605
.283
.527
.434
.211
1.000
.300
.334
pn
.450
.802
.416
.502
.340
.300
1.000
.328
zn
-.017
.346
.412
.238
.242
.334
.328
1.000
表1.8因子解释原有变量总方差的情况
TotalVarianceExplained
Component
InitialEigenvalues
ExtractionSumsofSquaredLoadings
Total
%ofVariance
Cumulative%
Total
%ofVariance
Cumulative%
1
3.616
45.199
45.199
3.616
45.199
45.199
2
1.133
14.165
59.365
1.133
14.165
59.365
3
1.075
13.432
72.797
1.075
13.432
72.797
4
.807
10.083
82.880
5
.524
6.544
89.424
6
.445
5.556
94.980
7
.236
2.954
97.934
8
.165
2.066
100.000
表1.9因子载荷矩阵
ComponentMatrixa
Component
1
2
3
as
.669
-.646
-.010
cd
.784
.171
-.417
cr
.643
.234
.493
cu
.729
-.246
.024
hg
.492
.130
-.437
ni
.686
-.253
.523
pn
.803
.112
-.348
zn
.501
.691
.267
由表1.8可知可提取3个因子,但是第一个因子的特征值很高,对解释原有变量的贡献最大,即最能代表污染程度。
第二个和第三个的贡献相对较小,所以我们只计算第一个因子F1的因子得分并给出排名。
通过对生活区44个采样点排名我们得知第36个采样点的因子得分最高,为2068.55,说明在生活区中,综合8种重金属污染的共同作用,第36个采样点的污染最严重。
类似的,分别对工业区、山区、交通区、公园绿地区进行KMO检验和巴特利特球度检验,得知原有变量适合进行因子分析。
对工业区进行因子分析得知第8个采样点的因子得分最高,为16284.2,说明在工业区中,综合8种重金属污染的共同作用,第8个采样点的污染最严重。
对山区进行因子分析得知第135个采样点的因子得分最高,为579.553,说明在山区中,综合8种重金属污染的共同作用,第135个采样点的污染最严重。
对交通区进行因子分析得知第9个采样点的因子得分最高,为4374.17,说明在交通区中,综合8种重金属污染的共同作用,第9个采样点的污染最严重。
对公园绿地区进行因子分析得知第143个采样点的因子得分最高,为2273.39,说明在公园绿地区中,综合8种重金属污染的共同作用,第143个采样点的污染最严重。
(2)结合表1.1.1中的数据,进行KMO检验和巴特利特球度检验得知原有变量适合进行因子分析。
我们再次使用因子分析法,通过因子得分排名来寻找该城市不同区域受污染的程度排名,得到结果如表1.1.2所示:
表1.1.2该城市不同区域污染程度等级排名
因子得分
区域
污染程度等级
596655.2
山区
1
6591569
公园绿地区
2
13215823
生活区
3
1.98E+08
工业区
4
6.98E+08
交通区
5
(注:
污染程度等级1至5代表轻度污染到重度污染)
5.1.5不同区域重金属的污染程度综合评价
(1)对于生活区,Zn元素是主要重金属污染物,当综合8种重金属污染的共同作用时,第36个采样点的污染最严重。
对于工业区,Hg元素是主要重金属污染物,当综合8种重金属污染的共同作用时,第8个采样点的污染最严重。
对于山区,Cd元素是主要重金属污染物,当综合8种重金属污染的共同作用时,第135个采样点的污染最严重。
对于交通区,Hg元素是主要重金属污染物,当综合8种重金属污染的共同作用时,第9个采样点的污染最严重。
对于公园绿地区,Cd元素和Zn元素是主要重金属污染物,当综合8种重金属污染的共同作用时,第143个采样点的污染最严重。
(2)综合8种重金属污染的共同作用,对该城市五个功能区的污染程度进行比较,得出:
该城市交通区污染最严重,工业区、生活区、公园绿地区、山区污染程度依次递减。
5.2问题二的求解
5.2.1方法一
分别对五个功能区用最小二乘法得出每个采样点处此八种重金属元素的含量与平均值的方差,将其按区域加和,以此来作为比较同种元素在不同区域的污染程度的指标,可得到表1.1.1。
将表1.1.1中每种元素在不同区域的污染程度由低到高排名,可得到表,如下所示:
表2.1重金属元素区域污染程度比较
重金属元素
区域污染程度比较
As元素
3<5<1<2<4
Cd元素
3<1<5<2<4
Cr元素
5<3<2<1<4
Cu元素
3<5<1<4<2
Hg元素
3<1<5<2<4
Ni元素
5<1<2<3<4
Pb元素
3<5<1<4<2
Zn元素
3<5<2<1<4
由以上结果分析可知,As,Cu,Pb,Cd,Hg,Zn在山区的污染较小;Cr,Ni在公园绿地区的污染较小;Cd,Hg,Ni在生活区的污染也相对较小;As,Cd,Hg,Zn,Cr,Ni在交通区的污染极其严重;Cu,Pb在工业区的污染极其严重;As,Cd,Hg,Zn,Cr在工业区的污染较为严重;As,Cu,Pb,Zn,Cr在生活区的污染较为严重。
交通区的污染主要来源于尾气排放等;工业区的污染主要来源于化工产业和机械制造业等工业的污水排放;生活区的污染主要来源于生活污水等的排放。
[5]
由此可得以下结论:
(1)As,Zn,Cr的污染主要来源于工业区、生活区和交通区,则重金属污染元素As,Zn,Cr主要来源于尾气排放,工业的污水排放,生活污水等。
(2)Cd,Hg的污染主要来源于工业区和交通区,则重金属污染元素Cd,Hg主要来源于尾气排放,工业的污水排放等。
(3)Cu,Pb的污染主要来源于工业区和生活区,则重金属污染元素Cu,Pb主要来源于尾气排放,生活污水等。
(4)Ni的污染主要来源于交通区,则重金属污染元素Ni主要来源于尾气排放等。
(5)山区和公园绿地区污染不明显,在此不作考虑。
5.2.2方法二
由5.1.2聚类分析法结果可得此五种区域的主要重金属污染元素,如下所示:
(1)Zn元素是生活区的主要重金属污染物,生活区的Zn污染主要来源于生活污水的排放。
(2)Hg元素是工业区的主要重金属污染物,工业区的Hg污染主要来源于重金属冶炼、化妆品、煤矿等工厂排出的含汞废水、废气的排放。
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