固体物理答案60628doc.docx
- 文档编号:6972863
- 上传时间:2023-01-13
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:404.84KB
固体物理答案60628doc.docx
《固体物理答案60628doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《固体物理答案60628doc.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
固体物理答案60628doc
第一章金属自由电子气体模型
1.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?
2.晶体膨胀时,费米能级如何变化?
3・为什么温度升高,费米能反而降低?
4.为什么价电子的浓度越大,价电子的平均动能就越大?
5.两块同种金属,温度不同,接触后,温度未达到相等前,是否存在电势差?
为什么?
6.为什么价电子的浓度越岛,电导率越人?
7.一金属体积为V,价电子总数为N,以自由电子气模型,
2U“
(1)在绝热条件下导出电子气体的压强为:
p=—-,其中电子气体的棊态能量t/()
3V
(2)证明电了气体的体积弹性模量K=-V0p/dV)=-P=型。
。
39V
zr—2\1/3
8.每个原子占据的体积为a\绝对零度时价电子的费米半径为=-——-—,计算每个原子的价电子数目。
a
9.求出绝对零度时费米能、电子浓度斤、能态密度N(E:
)及电子比热C;与费米半径的关系。
io.经典理论认为,所有价电子都参与导电,电流密度丿与所有电子的飘移速度—的关系是j=5j
己知铜的电子浓度n=\029/m\j=5x104A//?
?
2,试比较费米速度“卩和飘移速度
第二章晶体的结构
1.晶面指数为(123)的晶面应疋是离原点0最近的晶面,0A,%和%分别与基矢⑷,a?
和重合,除〃点外,0A,0B,和嬉上是否冇格点?
若必?
而的指数为(234),情况又如何?
[解答]品而家族(123)截⑷,a2,和勺分别为1,2,3等份,而是离原点0最近的品而,%的长度等于⑷长度,仞的长度等于①的长度的1/2,仇、的长度等于勺的长度的1/3,所以只有A点是格点。
若面的指数为(234)的晶面族,则M、B、和C都不是格点。
2.在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的?
[解答]在结晶学屮,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。
3.在品体衍射小,为什么不能用可见光?
[解答]晶体中原子间距的数量级为10"°米,要使原子晶格成为光波的衍射光柵,光波的波长应小于1()7°米。
但可见光的波长为7.6-4.0x10—7米,是晶体小原子间距的1000倍。
因此,在晶体衍射屮,不能用可见光。
4.温度升高时,衍射角如何变化?
X光波长变化时,衍射角如何变化?
[解答]温度升高时,由于热膨胀,而间距d仙逐渐变大,由布拉格反射公式
2d阳sin&二可知,对应同一级衍射,当X光波长不变时,面间距逐渐变大,衍射角&逐渐变小。
所以温度升高,
衍射角变小。
的致密度)分别为:
(1)简立方,—
6
⑵牡立方,%;⑶雌'立方
8
当温度不变,x光波长变大时,对于同一品面族,衍射角&随之变大。
5.以刚性原了球堆积模型,计算以下各结构的致密度(一个晶胞小刚性原了球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构
[解答]该想晶体是山刚性原子球堆积而成。
一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。
设斤为一个晶胞屮刚性原子球数,厂表示刚性原子球半径,V表示晶胞体
n—70^
积,则致密度p=———
V
(1)对简立方晶体,任一个原了有6个最近邻,若原子以刚性球堆积,如
图2.1所示,中心在1,2,3,4处的原子球将依次相切。
因为0=2r,V=a3
32兀
晶胞内包含1个原子,所以p=一手一二一oa6
图2.2体心立方晶胞
(2)对体心立方品体,任一个原子冇8个最近邻,若原子以刚性球堆积,
图2.2所示,体心位宜0的原了与处在8个角顶位置的原了球相切。
因为晶胞空间对角线的长度为y[3a=4r,V=a3
晶胞内包含2个原子,所以
2x6(耐
(3)对面心立方晶体,任一个原子有12个般近邻,若原子以刚性球堆积,如图2.3所示,中心位于角顶的原子与相邻的3个而心原了相切。
因为J2a=4r,V=a3,1个晶胞内包含4个原子,所以
a3
(4)对金刚石结构,任一个原子有4个最近邻,若原子以刚性球堆积,
如图2.4所示,中心在空间对角线四分之-•处的0原子与中心在1,2,3,4
处的面心原子相切,因为=8r
晶胞体积V=a3
q43
8x評〒)'血1个晶胞内包含8个原子,所以p=—~严—=——
6Z316
6.在立方晶胞中,画出(101),(021)晶面。
[解答]
图2.4金刚石结构
34
图2.5(a)(101)面,(b)(021)®
图2.5中虚线标出的面即是所求的晶面。
7.
六角晶胞的基矢
c=ck.求其倒格基矢。
L解答]品胞体积为
小fjnza/3•ar/a/3•a.、zra/3?
Q=tZe[/?
xc]=(—tzz4--;)•[(ai^-j)x(ck)]=—a~c
2兀a/3
—(=+八
刁=切;x"=2刃(伙)x(£ai++;)1x亠
Q22Q3crca
8.证明以下结构晶面族的面间距:
(1)立方品系:
=ci[h1/2;
⑵正交晶系:
d頌=[(—)2+(7')2+(—)2]_1/2:
abc
(3)六角晶系:
九二弓严+上+加)+(0)2严。
3a~c
[解答]
(1)设沿立方晶系晶轴a,b,c的单位矢量分别为i,j,*,则止格子
基矢为a=ai9
a
图2.6立方晶胞
*2兀・
倒格子基矢为ci=—i,
a
与晶面族(hkl)正交的倒格矢
.♦2/r.♦2tt-
b=——/,c=——k
a'a
辛**
Khki=ha+kh+Zc。
由晶而间业d阳与倒格矢Khkl的关系式
2龙
(2)
对于正交晶系,晶胞基矢d,b,c相互垂直,但品格常数a$b工c,设沿晶轴a,b,c的单-位矢量分别为j,j,k,则正格子基矢为a=ai,b=bj,
*4;2刀^$2龙
c=ck倒格子基矢为U=——i,b=——八C=——k.
abc
图2.7正交晶胞
与晶而族(hkl)正交的倒格矢Khkl=ha'+kb"十lc。
得^/=[(-)2+(|)2+(-)2r1/20
abc
(3)对于六角晶系,a=bwc,a=卩=90°,y=120°,晶而族(hkl)的面间距d2兀2tt
\K^\财+财+加J财+肋*+』
厶卩廿+沏2+厂/2+2族(/e/?
*)+2W*ec*)+2/?
/(6/*•€•*)]4;厂
山图2.8Til求得六角品胞的体积
£2=c•(axb)=a2csin/=6Z2csin120°
倒格棊矢的模/=甘=a
2龙凶=2加csiz=竺
Q(侖/2)込丽a
2加2siny
图2.8六角品胞
(V3/2)«2c
倒格基矢间的点积
**4龙2
a•b=——[(bxc)•(ex。
)]=
4-7T2
=吞~[(b•c)(c^a)-(b^a)(c•c)]
47T2a2c2q..2
=z——(cosacosp一cosy)=——?
Q22
其中利用了矢量混合积的循环关系A•(BxC)=B•(CxA)=C•(AxB)
及关系式Ax(BxC)=B(A•C)-C(A•B)。
因为(axb)矢量平行于c,所以
a•
*=[(^7xc)•(tzxb)]=0,
"="^-[(cXd)・(dXb)]=()。
将以上诸式代入
(1)式,得
”2_4(/?
2+Jt2+/?
jt)tI2
c
心二首(c:
+族)+(S”
3ac
a2
9.求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(h}h2h3)的面间距。
[解答]面心立方正格子的原胞基矢为⑷=—(j+k),a2=—(k+/),a3=—(i+丿)
则晶面族(讥饥)的面间距为
2兀
KI[(力2+力3)2+(居+勺)2+(h\+他)2严
可得其倒格子基矢为b、=込(-i+j+k),a
[(-/?
+他+力3)2+(勺一他+力3)2+(勺+力2一力3)2]"
2兀2兀2龙
其倒格子棊矢为b}=——(j+k),b2=——伙+i),b3=——(i+j)。
aaa
10.试证三角晶系的倒格子也属丁三角晶系。
[解答]对于三角晶系,其三个基矢量的大小相等,且它们相互间的夹角也相等,即1^1=1^1=1^1=67,
c门,,亠,「.hI27u[a7J2/ni-sin0,
a=/3=y=0o利用正倒格子的关系,得%=―「_旦==h,
1
由b2•b3f\\b3•b[可得
COS&23=
-COS&
1+cos0
COS%
一COS&
1+COS&
可见倒格基矢勺与妇的交角,乞与仇的交角,E与乞的交角都相等。
这表明三个倒格基矢的长度不仅相等,.14它们之
图1X光衍射
间的夹角也和等,所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系o
强,形成很强的衍射光。
(2)一个原胞内包含A,B两个原子,取A原子的坐标为(000),B原子的坐标为(丄。
00)。
倒格欠
2
一-*2龙
Gh=hh=—hx,则儿何结构因子
a
・2龙“1.
••一1一.1/if—m
S©二fA严叫+.f严心=办严"+he「2二fA+fp严二fA+fBcos(/M),
29
衍射光的强度IgS気=[fA+fBcos(/?
JT)]2,因此从上式可知,当/?
为奇数时,衍射光的强度正比于|几-
(3)若仇=仏=f,当//为奇数时,衍射光的强度为°。
这时,A原子与B原子的散射波的相
位差为龙,相位相反,互相抵消,即对应消光现彖。
当/7为偶数时,衍射光的强度最强,/x4厂。
第三章能带论
1.布洛赫函数满足0(/+/?
”)=/•'“(〃,何以见得上式中k具有波矢的意义?
[解答]人们总可以把布洛赫函数0(厂)展成付里叶级数(P(门=》a(K'+K,
h
其中K,是电子的波矢。
将°(厂)代入0(厂+/?
”)=』•'°(厂)
得到严“”=严R"
其中利用了Kh・R“=2p兀(p是整数),由上式可知,k=U,即R具冇波矢的意义。
2.波矢空间与倒格空间有何关系?
为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?
[解答]波矢空间与倒格空间处于统一空间,倒格空间的基矢分别为勺,b2,b3,而波矢空间的基矢分别为bJN\,b2/N2,b3/N3;N、,N?
,N3分别是沿止格棊矢d|,a2,@方向晶体的原胞数冃。
倒格空间中一个倒格点对应的体积为b、•(I”x/?
3)=Q*,
b..6厲Q
波矢空间中一个波矢点对应的体积为」•(」><」-)=——
N\N2N3N
即波矢空间中一个波矢点对应的体积,是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N。
由于N是晶体的原胞数目,数
EI巨大,所以一个波矢点对应的体积与一-个倒格点对应的体积相比是极其微小的。
也就是说,波矢点在倒格空间看是极其稠密的。
因此,在波矢空间内作求和处理时,可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。
3•与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电了具右强烈的散射作用?
K
[解答]当电子的波矢R满足关系式Kn•伙+—)=0时,与布里渊区边界平行且垂直于K“的晶面族对波矢为R2
的电子具有强烈的散射作用。
此时,电子的波矢很大,波矢的末端落在了布里渊区边界上,k垂直于布里渊区边界的分量的模等于|K“|/2。
2兀
f—nx
4.--维周期势函数的付里叶级数V(x)=^Ke"中,指数函数的形式是由什么条件决定的?
n
[解答]周期势两数卩(兀)付里叶级数的通式为卩(兀)二工匕0宀。
上式必须满足势场的周期性,即
n
u(x+d)=工匕严(士)=工匕严心力=v(x)=工匕严
nnn
显然eiAn(,=1。
要满足上式,&必为倒格矢入=—7?
.可见周期势函数V(x)的付里叶级数屮指数函数的形式是由其周期性决定的。
a
5.在布里渊区边界上电了的能带有何特点?
[解劄电子的能带依赖于波矢的方向,在任一方向上,在布里渊区边界上,近H由电子的能带-•般会出现禁带。
若电子所处的边界与倒格矢K”正交,边界是K“的屮乖而,则禁带的宽度=2|U(K“)|,V(KJ是周期势场的付里叶级数的系数。
不论何种电子,在布里渊区边界上,其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零,即电子的等能面
与布里渊区边界正交。
6.紧束缚模型电子的能量是正值还是负值?
[解答I紧束缚模型电子在原子附近的儿率大,远离原子的儿率很小,在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近。
因此,紧束缚模世电子的能量与在孤立原子屮的能量相近。
孤立原子屮电子的能量是一负值,所以紧束缚模型电子的能最是负值。
s态电子能量表达式£伙)=勺—丿(0)—工丿(心)畀•心
n
叩是例证。
其中孤立原子中电子的能量勺是主项,是一负值,一丿(0)和一丿(心)是小量,也是负值。
7.紧朿缚模型下内层电了的能带与外层电了的能带相比较,哪一个宽?
为什么?
[解答]以S态电子为例,紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分丿的大小,而积分
J(Rm)=-]卩:
(r)[V(r)-Vat(r-R,„)]©(一Rm)dr
的大小乂取决于(pt(r)与相邻格点的(pt(r-Rm)的交叠程度。
紧束缚模型下,内层电子的(pt(r)与%(厂一/?
加)交叠
程度小,外层电子的(r)与承(r_RJ交叠程度大。
因此紧束缚模型下,内层电子的能带与外层电子的能带相比,外层电子的能带宽"
8.品格常数为。
的一维晶体中,电子的波函数为
(1)小)—p,
oo
(2)(pk(x)=工f(x-la),/是某一函数,
/=-oo
求电子在以上状态中的波矢。
[解答]由式久(厂+心)=/叽洙(厂)对知,在一维周期势场中运动的电子的波函数满足(Pk(x+a)=eZ(Pk(x)。
小、2兀.4龙,671
所以有k=0,±——,±——,±——
aaa
由此得在布里渊区内的值为k=0.
9.一维周期势场为
V(兀)_<—mW2[b2-(x-na)2],^na-b 0,当(〃-V)a+b 其中a=4b,闪为常数,求出势能的平均值。 b=-mW2b2 —b6 Qb [解答]由于势能具有周期性,因此只在一个周期内求平均即可,于是得 —f丄mW2[b2-x2]dx=-[b2x--x3] 4bb28b3 io.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出s态电子的能带为£伙)=勺一丿(0)—8丿⑴cos字cos#cos身 [解答]用紧束缚方法处理晶格的s态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为£伙)二£,一丿(0)一丿⑴为』•心,是最近邻格矢。 (、对体心立方品格,取参考格点的坐标为(0,0,0),则8个最近邻格点的坐标为±—,土一,土一 I222丿 将上述8组坐标代入能带的农示式,得 £(◎=£厂⑴工严” i—(kx+kv+k.)i—(kK+k.,-k.) =Ei-J(Q)-J(\)[e2'+e2 碍伙厂心+〈)弓(-匕+紅+&) +w〜+ez 碍(忍-心一B)碍(-《y+ky一忍)弓(-心一*v+&) e_+e-+盯 碍―人)ka +e-cos^^l 2 cos— 2 —i—ICp—i—kii_ky一i— 2J+W2(2+2>)] =E_J(0)-4丿 (1)[(忍+『小)cos空cos也] 2 =勺-丿(0)-8丿⑴cos也…忍"ka cos—cos 2 第七章固体中的原子键合 1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型? [解答]共价结合屮,电子虽然不能脱离电负性人的原了,但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电了,形成电了共享的形式,即这一对电子的主要活动范围处于两个原子Z间,通过库仑力,把两个原子连接起來。 离子晶体中,正离子与负离子的吸引力就是库仑力。 金屈结合中,原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着。 分子结合中,是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体。 电偶极矩的作用力实际就是库仑力。 氮键结合中,氮先与负性大的原子形成共价结合后,氢核与负电中心不在结合,迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合。 可见,所有晶体结合类型都与库仑力有关。 2.如何理解库仑力是原子结合的动力? [解答]晶体结合中,原子间的排斥力是短程力,在原子吸引靠近的过程中,把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力,这个长程吸引力就是库仑力。 所以,库仑力是原子结合的动力。 3.晶体的结合能,晶体的内能,原了•间的相互作用势能有何区别? [解劄H由粒子结合成品体过程中釋放出的能暈,或者把晶体拆散成-个个H由粒子所需契的能量,称为晶体的结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能Z和为晶体的内能。 在0K时,原子还存在零点振动能。 但零点振动能与原子间的相互作川势能的绝对值相比小得多。 所以,在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。 4.原子间的排斥作用取决于什么原因? [解答]和邻的原子靠得很近,以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时,和邻的原子间便产生巨人排斥力。 也就是说,原子间的排斥作用来口相邻原子内层闭合层壳电子云的重叠。 5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答]在原子由分散无规则的中性原子结合成规则排列的品体过程中,吸引力起了主要作用。 在吸引力的作用下,原子间的距离缩小到一-定程度,原子间才出现排斥力。 当排斥力与吸引力相等时,晶体达到稳定结合状态。 可见,晶体耍达到稳定结合状态,吸引力与排斥力缺一不可。 设此时和邻原子间的距离为心,当相邻原子间的距离r>r0时,吸引力起主导作用: 当相邻原子间的距离r 6.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”? [解答I设N为一个原子的价电子数目,对于IVA,VA,VIA,VIIA族元素,价电子壳层一共有8个量子态,最多能接纳(8-N)个电子,形成(8-N)个共价键,这就是共价结合的“饱和性”。 共价键的形成只在特定的方向上,这些方向是配对电了波两数的对称轴方向,在这个方向1: 交迭的电了云密度最大。 这就是共价结合的“方向性”。 7.共价结合,两原子电子云交叠产生吸引,而原子靠近时,电子云交叠会产生巨大的排斥力,如何解释? [解答]共价结合,形成共价键的配对电子,它们的自旋方向相反,这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低,结构稳定。 但当原了靠得很近时,原了内部满売层电了的电子云交迭,量了态相同的电子产生巨大的排斥力,使得系统的能量急剧增大。 8.试解释-个中性原子吸收-个电子一定耍放出能量的现象。 [解答]当一个中性原子吸收一个电子变成一个负离子,这个电子能稳定地进入原子的壳层中,这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其他电子的排斥能°但这个电了与原了核的库仑吸引能是一个负值。 也就是说,当中性原子吸收一个电子变成负离子后,这个离子的能暈要低于中性原子的能暈。 因此,一个中性原子吸收一个电子一定要放出能暈。 9.为什么许多金属为密积结构? [解答]金属结合中,受到最小能量原理的约束,要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低。 原子实越紧凑,原了实与共有电了电了云靠得就越紧密,库仑能就越低。 所以,许多金属的结构为密积结构。 10.何为杂化轨道? [解答I为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键,1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论,碳原了有4个价电子,它们分别对应(fl2s,(p»,卩2心,02〃•,量子态,在构成共价键时,它们组成了4个新的量了态叭=¥%+°2几+02竹+02几);02=¥%+叽-02心-02化); 03=£(02$一02几+02心一02J;必=£(02$一02代一02p,+02J。 4个电子分别占据%,02,03,04新轨道,在四面体顶角方向形成4个共价键。 11.—维原子链,正负离子间距为a,试证: 马德隆常数为〃=21n2。 _ab [解答]相距r..的两个离子间的互相作用势能可表示成“(©)=+」一+— 4眄jrij 设最近邻原了间的距离为7? 则有q=cijR,贝I]总的离了间的互作用势能 其中“(土丄)为离子晶格的马德隆常数,式中+、一号分别对应于参考离子相界和相同的离子。 jaJ 考虑到对一维离了链,参考离了两边的离 任选一正离了作为参考离了,在求和中对负离了収正号,对正离了取负号, 子间总的相互作用势能U(RJ=一一(m-1),其中z是晶体配位数。 R, 证明: 设离子数H为2®,以%=cijR表示第/个离子到参考离子i的距离•忽略表面效应,则总的相互作用能可 22i 表示为=yA|=m_£2L+zA], jajK最近邻KKK 其中“(土丄)为马德隆常数,+号对应于弄号离子,一号对应于同号离子;Z为任--离子的最近邻数目。 设平 衡时R=R°,由平衡条件,— dr =Nl—-理]=0, q2Q/+1 R°K。 K。 得创性",即他=(理+ Pe 丿勺 Zb、NZb(lx +——1=(m-1)o Ztnb 于是,晶体平衡时离子间总的相互作用势能(/0=N[_丝_ u K0 a3o 13.两原子间互作用势w(r)=一一+三,当两原子构成一稳定分子时,核间距为3A,解离能为4eV,求a木FI0。 rr [解答]当两原子构成一稳定分子即平衡时,其相互作用势能取极小值,于是有 du(r)_la8/? _ —~5"~v"—U。 d厂r=r0厂0厂0 4〃丄aB3a 由此得平衡时两原子间的距离为々)=(一匕严・・・・ (1)而平衡时的势能为u(rj=一一+勺=一—・・・・ (2) 。 巧*4帯 根据定义,解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量,其值等于”匕))|。 己知解离能为4cV,因此得 3。 片 —=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 固体 物理 答案 60628 doc