高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限.docx
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高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限
高等数学竞赛讲义第一章函数连续极限
第一部分函数、极限、连续
一、函数
内容要点
一、函数的概念
1.函数的定义
2.分段函数
3.反函数
4.隐函数
二、复合函数与初等函数
三、高等数学常出现的非初等函数
1.用极限表示的函数
(1))(limxfynn∞→=
(2)),(limxtfyx
t→=2.用变上、下限积分表示的函数
(1)⎰=
xadttfy)(其)(tf连续,则)(xfdxdy=
(2)⎰=
)()(21)(xxdttfyϕϕ其)(),(21xxϕϕ可导,)(tf连续,则2211[()]()[()]()dyfxxfxxdx
ϕϕϕϕ''=-四、函数的几种性质
1.有界性:
2.奇偶性:
3.单调性:
4.周期性:
典型例题
一、定义域与值域
二、求复合函数有关表达式例1设21)(xx
xf+=,求[(())]()nfffxfxn=重复合
解:
2222222111/1)
(1)()]([)(xxxxxxxfxfxffxf+=+++=+==,
若21)(kx
x
xfk+=,则222221)1(111/1)
(1)
()(xkx
kxxkxx
xfxfxfkkk++=+++=+=+根据数学归纳法可知,对正整数n,2
1)(nx
xxfn+=
例2已知()xxfexe-'=,且0)1(=f,求)(xf
解:
令tex
=,txln=,因此ln()()xt
feftt
''==
221
ln1
1()
(1)lnln12
2xxtfxfdttxt-===⎰
(1)0f=,∴xxf2
ln2
1)(=
三、有关四种性质
例1设()()Fxfx'=,则下列结论正确的是[]
(A)若)(xf为奇函数,则)(xF为偶函数(B)若)(xf为偶函数,则)(xF为奇函数(C)若)(xf为周期函数,则)(xF为周期函数(D)若)(xf为单调函数,则)(xF为单调函数例2求dxxxeexxIxx⎰
--++-+=
11
25)]1ln()([
解xxeexf--=)(1是奇函数,)()(11xfeexfxx-=-=--
)1ln()(22++=xxxf是奇函数,1
)1(ln
)1ln()(2
222
2++-+=++-=-xxxxxxxf
)()1ln(1ln22xfxx-=++-=
因此)1ln()(2++--xxeexxx是奇函数
于是⎰⎰
=
=+=
-10
61
1
6
7
220dxxdxxI
例3设)(),(xgxf是恒大于零的可导函数,且()()()()0fxgxfxgx''-<,则当bxa<<时,下列结论成立的是
[](A))()()()(xgbfbgxf>(B))()()()(xgafagxf>(C))()()()(bgbfxgxf>
(D))()()()(agafxgxf>
四、函数方程
例1.设)(xf在),0[∞+上可导,0)0(=f,反函数为)(xg,且
⎰
=)(0
2)(xfxexdttg,求)(xf。
解:
两边对x求导得2[()]()2xxgfxfxxexe'=+,于是()
(2)xxfxxxe'=+,故()
(2)x
fxxe
'=+,
Cexxfx++=)1()(,由0)0(=f,得1-=C,则1)1()(-+=xexxf。
例2设)(xf满足xxfxf=-)3
1
(sin31)(sin,求)(xf解:
令)(sin)(xfxg=,则
xxgxg=-)31
(31)(,
xxgxg22231
)31(31)31(31=-,22334
11111()()33333gxgxx-=,……
xxgxgnnnnn)
1(2113
1
)31(31)31
(
31---=-
各式相加,得]9
1
911[)31(31)(1-+++=-nnnxxgxg
1)(≤xg,∴0)3
1
(31lim=∞→xgnnn
8
99
1
11]9
1911[lim1=
-=+++
-∞
→nn因此xxg89
)(=
于是πkxarcxf289sin)(+=或9
(21)sin8
karcxπ+-(k为整数)
二、极限
内容要点
一、极限的概念与基本性质二、无穷小
常见的等价无穷小,当0→x时
xx~sin,xx~tan,xxarc~sin,xxarc~tan,2
2
1~
cos1xx-,xex~1-,xx~)1ln(+,
(1)1~xxαα+-。
三、求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则1:
单调有界数列极限一定存在准则2:
夹逼定理3.两个重要公式
公式1:
1sinlim
0=→x
x
x
公式2:
ennn=+∞→)11(lim;eu
u
u=+∞→)11(lim;evvv=+→1
0)1(lim
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式
当0→x时,2
1()2!
!
n
xnxxexoxn=+++++35
21
21sin
(1)()3!
5!
(21)!
nn
nxxxxxoxn++=-++
-++
24
22cos1
(1)()2!
4!
(2)!
n
n
nxxxxoxn=-+-
+-+
23
1
ln
(1)
(1)
()23n
nnxxxxxoxn
++=-+-
-+35
21
1
21tan
(1)()3521
nnnxxxarcxxoxn+++=-+-
+-++2
(1)
(1)[
(1)]
(1)1()2!
!
nnnxxxxoxnααααααα----+=++
+
+
+
6.洛必达法则
法则1:
(
型)设
(1)0)(lim,0)(lim==xgxf
(2)x变化过程,()fx',()gx'皆存在
(3)()
lim()
fxA
gx'='(或∞)
则Axgxf=)
()
(lim
(或∞)法则2:
(
∞
∞
型)设
(1)lim(),lim()fxgx=∞=∞
(2)x变化过程,()fx',()gx'皆存在(3)()
lim
()
fxA
gx'='(或∞)则Axgxf=)
()
(lim
(或∞)7.利用导数定义求极限
基本公式:
0000
()()
lim
()xfxxfxfxx
∆→+∆-'=∆[如果存在]
8.利用定积分定义求极限
基本公式⎰∑==∞→101
)()(1limdxxfnk
fnnkn
[如果存在]
9.变量替换
10.其它综合方法
11.求极限的反问题有关方法
典型例题
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限二、用两个重要公式
例1求nnxxx2
cos4cos2cos
lim∞
→解:
当0=x,原式=1
当0≠x时,原式nnnnnnxxxxx2
sin22cos4cos2cos2sin
2lim∞→=nnnnnnxxxxx2sin22sin2cos4cos2cos2lim111---∞→⋅==…
xxxx
xxxxnnnnnnsin2
sin2sinlim2sin2sinlim=⋅==∞→∞→三、用夹逼定理求极限
例1求)212654321(limn
nn-⋅⋅
∞→解:
令nnxn212654321-⋅⋅=,1
225432+⋅=nnyn,则nnyx<<0,于是12102+=< 0lim2 =∞→nnx,于是原极限为0例2求∑=∞→++n knknnk12lim解: 121212122+++++≤++≤+++++∑=nnnk nnknnnnnk而21)2()1(21lim221lim2=++=++++∞→∞→nnnnn nnnn2 11)1(21lim121lim22=+++=+++++∞→∞→nnnnnnnnn由夹逼定理可知21lim 12=++∑=∞→nknknnk例3.求∑=∞→++nknknk n12lim。 (2003) 四、用定积分定义求数列的极限 例1.求∑=∞→+n knknn122lim分析: 如果还想用夹逼定理的方法来考虑 222 1222221+≤+≤+∑=nnk nnnnnnk而21lim222=+∞→nnnn,11 lim222 =+∞→nnn由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑解: ∑∑==∞→∞→+=+n knknnn knknn12122)(111limlim⎰==+=1 02401tan1πxarcxdx例2.求∑=∞→+nknk nnk11sinlimπ解: ∑∑∑===≤+≤+nknknknknknnknkn111 sin11sinsin11ππ π而⎰∑===∞→101 2sinsin1limπππxdxnknnkn∑∑==∞→∞→=+=+nknknnnknnnnkn11 2)sin1)(1(limsin11limπππ由夹逼定理可知,ππ21sinlim1=+∑=∞→nknk nnk 五、用洛必达法则求极限 1.0"0"型和∞ ∞""型例1.求101 02limx ex x-→解: 若直接用0"0"型洛必达法则1,则得913010)2(lim2xexxx-→=12 105lim2xexx-→(不好办了,分母x的次数反而增加)为了避免分子求导数的复杂性,我们先用变量替换,令tx=21 于是ttttxxettexe55101 limlimlim2 +∞→--+∞→-→==(∞∞" "型)4 55! limlim0tttttee→+∞→+∞==== ◆例2.2050sin()limx xxt dt x→⎰(2003) ◆例3.计算: ()()200cos2limtan1xt xxetdtxxx→-- --⎰。 (2004 )◆例4.计算: ()()2340 0sinln (1)38 limsin1 xxxxxttdtxxe→+- + --⎰。 (2005)2.""∞-∞型和"0"⋅∞型 例1求)cossin1(lim2220xx xx-→ 例2设0>a,0>b常数。 求)(lim1 1x xxbax-+∞→ 3.“∞1”型,“00”型和“0∞”型 例1求xxx2sin0lim+→ 例2设0>a,0>b 常数,求nn→∞六、求分段函数的极限 七、用导数定义求极限 例1设曲线)(xfy=与xysin=在原点相切,求)2(limn nfn∞→解: 由题设可知0)0(=f,0(0)(sin)1xfx=''==于是2()(0)2lim()lim22(0)20nnffnnffnn →∞→∞-'=⋅==- 八、递推数列的极限 例1设301< 九、变量替换 十、求极限的反问题 例1设221lim3sin (1) xxaxbx→++=-,求a和b解: 由题设可知2 1lim()0xxaxb→++=,10ab∴++=,再由洛必达法则得32 2)1cos(22lim)1sin(lim21221=+=-+=-++→→axxaxxbaxxxx5,4-==ba 例2设)(xf在),0(∞+内可导,0)(>xf,1)(lim=∞→xfx,且满足xhhexfhxxf1 10]) ()([lim=+→,求)(xf。 解: )](ln)([ln1lim100])()([limxfhxxfhhhhexfhxxf-+→→=+ 0lim[ln()ln()][ln()]hxfxhxfxxfxhxee→+-'==因此,1[ln()]xfxx'=,21[ln()]fxx'=,1ln()fxcx'=-+xcexf1 )(-=,由1)(lim=+∞ →xfx,可知1=c则xexf1 )(-= 十一、用等价无穷小量 例1已知54lim[(73)]0a xxxxb→∞++-=≠,求a,b的值。 例23limln(12)ln (1)xxx →+∞++◆例3. 求极限limx→。 (2002) 三、连续 内容要点 一、函数连续的概念 二、函数的间断点及其分类 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质 典型例题 一、讨论函数的连续性 例1讨论函数 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin0 00,)(1 xxxxxexfx在点0=x处的连续性。 二、间断点问题 三、用介值定理讨论方程的根 例1证明五次代数方程0155=--xx在区间(1,2)内至少有一个根。 例2设)(xf在]1,0[上连续,且)1()0(ff=。 求证: 在]1,0[上至少存在一点ξ使)()1(ξξfnf=+ (2≥n正整数)证: 令)()1()(xfnxfxG-+=,]1,0[n nx-∈则)0()1 ()0(fn fG-=)1()2()1(n fnfnG-=)2()3()2(n fnfnG-= )1()1()1(n nffnnG--=-于是0)0()1()1()1()0(=-=-+++ffn nGnGG(ⅰ)如果)1,,1,0()(-=nin iG有为0,则已经证明∵0)(,==ξξGni,)()1(ξξfn f=+成立。 (ⅱ)如果)1,,1,0()(-=nin iG全不为0,则不可能同号,否则相加后不为0,矛盾。 所以其一定有异号,不妨假设1021-≤<≤nii,)(1ni G与)(2n iG异号。 根据介值定理推论存在), (21nini∈ξ使0)(=ξG则)1,0(∈ξ,使)()1(ξξfn f=+成立。 例3证明: 若对任意实数,xy,有()()()fxyfxfy+=+,且)(xf在0x=处连续,则)(xf在 区间(,)-∞+∞上连续。
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- 高等数学 竞赛 讲义 第一章 函数 连续 极限