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复习时用
初三数学【圆】教案
一、本章知识要点:
1.圆的概念、性质。
2.与圆有关的位置关系(点、直线、圆),
3.正多边形与圆
4.有关圆的计算
二、考纲要求:
圆在初中数学体系中处在核心地位,是中考的重头戏,占题量的15%—20%。
有选择题、填空题、解答题、作图题(包括阅读理解题、开方探索题)。
圆与三角形、方程、函数等知识点相结合可构成内容丰富、题型新颖、构思精巧的综合性试题,成为中考的热点。
三、学法指导:
1.准确理解与圆有关的概念及性质,能正确辨别一类与圆有关的概念型试题, 2.能灵活运用圆及与圆相关知识的解题。
四、内容归纳:
第一课时
1. 圆的概念:
在一个平面内,线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定是端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)。
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
同时我们又把
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理包含5各元素:
直径(过圆心)、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧。
垂直定理
课堂练习
1、如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是()。
A、CE=DE B、弧BC=弧BD C、∠BAC=∠BAD D、AC>AD
2、⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是( )。
A、4 B、6 C、7 D、8
2. 圆心角定义:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角相关定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
由此可见:
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。
课堂练习
1、如果两个圆心角相等,那么( )
A、这两个圆心角所对的弦相等
B、这两个圆心角所对的弧相等
C、这两个圆心角所对的弦和弧都分别相等
D、以上说法都不对
2、在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是( )
A、弧AB=2弧CD B、弧AB>弧CD
C、AB<2CD D、不能确定
3、如图,AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径。
求证:
弧AB=弧BC=弧CD=弧DA;
AB=BC=CD=DA。
4、如图,AB、CD是⊙O的两条弦。
(1)如果AB=CD,那么_________,_________。
(2)如果弧AB=弧CD,那么_________,_________。
(3)如果∠AOB=∠COD,那么_________,_________。
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?
3. 圆周角定义:
顶点在圆心的角叫做圆心角
圆周角的相关定理:
定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的两个推论
推论1:
在同圆或等圆中,相等的圆周角所对应的弧相等。
推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
课堂练习
1、判断题。
(1)等弧所对的圆周角相等。
( )
(2)相等的圆周角所对的弧也相等。
( )
(3)90°的角所对的弦是直径。
( )
(4)同弦所对的圆周角相等。
( )
2、填空题。
⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,则BC=_____cm。
3、如图,△ABC的顶点均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直径。
知识深化
如图,以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是___________;
(2)OC与BD的位置关系是___________;
(3)若OC=2cm,则BD=______cm。
4、已知:
如图,AD是△ABC的BC边上的高。
AE是△ABC外接圆的直径。
求证:
∠1=∠2
5、已知:
如图,BC为·O的直径,AD⊥BC,AB=AF垂足为D,BF和AD交于E。
求证:
AE=BE
第二课时
学习要点:
1.点、直线、圆与和圆的位置关系
2.正多边形和圆
3.弧长和扇形的面积
内容归纳:
一、点与圆的位置关系
设圆O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
(1)点P在圆外,d>r
(2)点P在圆上,d=r
(3)点P在圆内,d 2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 .过一点能作无数个圆,过平面内两点能作无数个圆,且圆心都在线段AB的垂直平分线上经,过三角形三个顶点可以作一个圆,经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 锐角三角形的外心在它的内部;直角三角形斜边是它外接圆的直径,外心即为斜边的中点;钝角三角形的外心在其外部。 3、圆的内接四边形: 如果四边形的四顶点都在同一圆上,这个四边形叫圆的内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。 4、圆的内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 课堂练习 1、判断题 (1)过三点一定可以作圆。 ( ) (2)三角形有且只有一个外接圆。 ( ) (3)任意一个圆有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形。 ( ) (4)三角形的外心就是这个三角形任意两边垂直平分线的交点。 ( ) (5)三角形的外心到三边的距离相等。 ( ) 2、如何解决“破镜重圆”的问题? 解决问题的关键: 找圆心。 3、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并且说明理由。 二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系: 相交(有两个公共点),相切(只有唯一公共点,这条线叫切线),相离(没有公共点) 2、切线的判定定理: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径。 5、圆的切线的判定方法: (1)直线与圆只有一个交点; (2)圆心到直线的距离等于半径; (3)直线过半径的外端,并且垂直于这条半径。 6、切线长定理: (在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点间的线段长,叫这点到圆的切线长)从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等,圆心和这点的连线平分这两条切线的夹角。 7三角形的内切圆及内心: 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,其圆心叫内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。 内心是三条角平分线的交点,到三边的距离相等。 8、圆的外切四边形: 各边都与圆相切的四边形叫圆的外切四边形 9、圆的外切四边形的性质: 圆外切四边形的两组对边之和相等;圆外切四边形是菱形,圆外切矩形是正方形。 10、圆的外切多边形: 多边形的各边都与圆相切,这个多边形叫圆的外切多边形。 11、多边形的内切圆: 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。 12、弦切角定理: 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角,等于它所夹弧的度数的一半。 13、与圆有关的比例线段: ①相交弦定理: 圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等 ②相交弦定理推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 14、切割线定理及其推论: ①切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。 ②推论: 从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。 课堂练习一 1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d: (1)若d=4.5cm,则直线与圆_______,直线与圆有_____个公共点。 (2)若d=6.5cm,则直线与圆_______,直线与圆有_____个公共点。 (3)若d=8cm,则直线与圆_______,直线与圆有_____个公共点。 2、已知⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围: (1)若AB和⊙O相离,则____________; (2)若AB和⊙O相切,则____________; (3)若AB和⊙O相交,则____________。 3、AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°。 求证: DC是⊙O的切线。 4、在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D。 求证: AC是⊙D的切线。 5、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并且说明理由。 6、已知: 三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF。 (1)图甲,AB为直径,要使得EF是⊙O切线,还需添加的条件(只需写出三种情况)①_________②_________③_________。 (2)图乙,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,求证: EF是⊙O的切线。 练习二 1.已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2.已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.相离或相交 3.已知圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定 4.已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 5.一个圆的周长为acm,面积为acm2,如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 6.已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7.已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.相离或相交 8.已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 . A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定 课后练习 1、AB是·O的直径,点D在AB的延长线上BD-OB,点C在圆上,∠CAB=30°,求证: DC是·O的切线 2、在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线BC于D,以D为圆心,DB长为半径作·D,求证: AC是·D的切线。 3、AB是·O的直径,AE平分∠BAC交·O于点E,过点E作·O的切线交AC于点D。 试判断△AED的形状,。 并说明理由。 4、已知: 如图,PA、PB是·O的切线,切点分别是A、B,Q为弧AB上一点,过Q点作·O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12cm. 求: △ PEF的周长 三、圆和圆的位置关系 知识点: 圆与圆的位置关系 1.两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3.两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4.两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5.相切两圆的连心线必过切点. 即: 1、外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。 d>R+r(d表示两圆的圆心距,R表示大圆的半径,r表示小圆的半径) 2、外切: 两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外边时,叫做这两个圆外切。 这个唯一的公共点叫做切点。 d=R+r 3、相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交。 4、内切: 两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切。 d=R-r(R>r) 5、内含: 两个圆没有公共点,并且一个圆上的点在另一个圆的内部时叫做这两个圆内含。 练习一 1、圆O1和圆O2的半径分别为3厘米和4厘米,若: (1)O1O2=9厘米 (2)O1O2=1厘米 (3)O1O2=5厘米 (4)O1O2=7厘米 (5)O1O2=0.5厘米(6)O1和O2重合 那么它们有怎样的位置关系? 2、两圆外切时,圆心距为12cm,内切时,圆心距为4cm,则两圆的半径为______。 3、等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,求∠O1AB的度数。 4、⊙O的半径为5cm,点P是圆外一点,OP=8cm。 求: (1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆P的半径是多少? (2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆P的半径是多少? 练习二 1.⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=10cm,则这两圆的位置关系是 . A. 外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是 . A.内切 B.外切 C.相交 D.外离 3.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是 . A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 4.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是 . A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 5.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,两圆的一条外公切线长4,则两圆的位置关系是 . A.外切 B.内切 C.内含 D.相交 6.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是 . A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 圆的基本性质练习题 1.如图,四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是 . A.50° B.80° C.90° D.100° 2.已知: 如图,⊙O中,圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3.已知: 如图,⊙O中,圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4.已知: 如图,四边形ABCD内接于⊙O,则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5.半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6.已知: 如图,圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7.已知: 如图,⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50 8.已知: 如图,⊙O中,圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 9.在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D.10 10.已知: 如图,⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50° 12.在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 第三课时 四、正多边形和圆 知识点: 正多边形基本性质 1.正六边形的中心角为60°. 2.矩形是正多边形. 3.正多边形都是轴对称图形. 4.正多边形都是中心对称图形. 正多边形问题 1.一幅美丽的图案,在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中的三个分别为正三边形、正四边形、正六边形,那么另个一个为 . A.正三边形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形 2.为了营造舒适的购物环境,某商厦一楼营业大厅准备装修地面.现选用了边长相同的正四边形、正八边形这两种规格的花岗石板料镶嵌地面,则在每一个顶点的周围,正四边形、正八边形板料铺的个数分别是 . A.2,1 B.1,2 C.1,3 D.3,1 3.选用下列边长相同的两种正多边形材料组合铺设地面,能平整镶嵌的组合方案是 . A.正四边形、正六边形 B.正六边形、正十二边形 C.正四边形、正八边形 D.正八边形、正十二边形 4.用几何图形材料铺设地面、墙面等,可以形成各种美丽的图案.张师傅准备装修客厅,想用同一种正多边形形状的材料铺成平整、无空隙的地面,下面形状的正多边形材料,他不能选用的是 . A.正三边形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形 5.我们常见到许多有美丽图案的地面,它们是用某些正多边形形状的材料铺成的,这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.某商厦一楼营业大厅准备装修地面.现有正三边形、正四边形、正六边形、正八边形这四种规格的花岗石板料(所有板料边长相同),若从其中选择两种不同板料铺设地面,则共有 种不同的设计方案. A.2种 B.3种 C.4种 D.6种 6.用两种不同的正多边形形状的材料装饰地面,它们能铺成平整、无空隙的地面.选用下列边长相同的正多边形板料组合铺设,不能平整镶嵌的组合方案是 . A.正三边形、正四边形 B.正六边形、正八边形 C.正三边形、正六边形 D.正四边形、正八边形 7.用两种正多边形形状的材料有时能铺成平整、无空隙的地面,并且形成美丽的图案,下面形状的正多边形材料,能与正六边形组合镶嵌的是 (所有选用的正多边形材料边长都相同). A.正三边形 B.正四边形 C.正八边形 D.正十二边形 8.用同一种正多边形形状的材料,铺成平整、无空隙的地面,下列正多边形材料,不能选用的是 . A.正三边形 B.正四边形 C.正六边形 D.正十二边形 9.用两种正多边形形状的材料,有时既能铺成平整、无空隙的地面,同时还可以形成各种美丽的图案.下列正多边形材料(所有正多边形材料边长相同),不能和正三角形镶嵌的是 . A.正四边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形 正多边形和圆的练习题 1.如果⊙O的周长为10πcm,那么它的半径为 . A.5cm B.cm C.10cm D.5πcm 2.正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为 . A.2 B. C.1 D. 3.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为 . A.2 B.1 C. D. 4.扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= . A.30° B.60° C.90° D.120° 5.已知,正六边形的半径为R,那么这个正六边形的边长为 . A.R B.R C.R D. 6.圆的周长为C,那么这个圆的面积S= . A. B. C. D. 7.正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 . A.1: 2 B.1: C.: 2 D.1: 8.圆的周长为C,那么这个圆的半径R= . A.2 B. C. D. 9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的半径为 . A.2 B.4 C.2 D.2 10.已知,正三角形的半径为3,那么这个正三角形的边长为 . A.3 B. C.3 D.3 五.弧长和扇形的面积 弧长L=nπR/180 S扇形=nπR2/360=1/2LR 1.弧长计算公式为: l=nπr/180 2.扇形面积计算公式为: (1)s=nπr2/360 (2)s=1/2lr 3.圆锥的侧面积与全面积 (1)圆锥的侧面展开图扇形中
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