高等数学下册期末复习试题及答案.docx
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高等数学下册期末复习试题及答案
一、填空题(共21分每小题3分)
Z=V~+1oO
1.曲线{,绕Z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z=工2+y2+1.
x=0:
■
x=3t
2.直线匕:
三土;=虹土=#与直线1+3,的夹角为-.M-2-532
z=2+7,
3.设函数/(x,y.z)=x2+2y2+3z2,则grad/(1,1,1)={2,4,6}
00
4.设级数£以〃收敛,则limun=0
则它的傅里叶级数在X=7T处收
0,-^ 5.设周期函数在-个周期的表达式为E=50C5 敛于 1+71 -y- 6.全微分方程ydx+xdy=0的通解为勺=C 7.写出微分方程y^+y-2y=ex的特解的形式y=oxeA 二、解答题(共18分每小题6分) 1.求过点(h-2,1)且垂直于直线 x—2y+z—3=0 的平面方程. x+y-z+2=0 解: 设所求平面的法向量为亓,则亓= . J -2 1 k 1 -1 ={1,2,3) (4分) 所求平面方程为x+2y+3z=0 (6分) 2.将积分Z)dv化为柱面坐标系下的三次积分,其中O是曲面Q Z=2-(x2+y2)及―子+寸所围成的区域. 解: O: r (3分) 『dOj;尸dr「? f(rcos。 尸sinQz)dz JJJf(不)',功v= 3.计算二重积分/=JJe-b+y')dxd),,其中闭区域D: x2+y2<4. D 解1=E可: e"rdr=d可: /d(-,)=-: .2时;d/=双1—广) 三、解答题(共35分每题7分) 1.设z=uev,ffi]m=x24-y2,v=xy,求dz. dz&dudz禽v-vavzo23、 解: 一=+=e-2x+ue-y=e(2x+xy+y) OxduOxdvOx,•' (6分) (3分) 竺=空.丝+冬.虫=寸.2'+*,.工=/(2丁+工3+秽2)©dudydv© (6分) dz=/*(2工+/>+y3)dx+°b(2y+疽+xy2)dy (7分) 2.函数Z=z(x,y)由方程ez-xyz=o所确定,求电,— Oxdy 解: 令F(x,y9z)=ez-xyZf (2分) 则Fx=->7,Fy=-xz, E=/~xy. (5分) &F衣 ■/ ———~: ・dyF: e-xy 其中L是在圆周y=』2x-U上由A(2,0)到点。 (0,0)的有 (7分) _Fv_yz —————, OxF: e: -xy 3.计算曲线积分jdx+xdy,向弧段. 解: 添加有向辅助线段Q4,有向辅助线段。 4与有向弧段Q4围成的闭区域记为D,根据格林公式 (5分) J,-ydx+xdy=jj2ch: dy--ydr+xdy D (7分) =2-——0= 4.设曲线积分jjer+/(x)]ydx+/(x)dy与路径无关,其中f(x)是连续可微函数且满足/(0)=1,求ZW- 解: 由丝=竺得r+/•")=广⑴,ovox 即f\x)-f\x)=ex(3分) 所以/(x)=ex-e'^xdx+C)=e\x+C),(6分) 代入初始条件,解得C=l,所以/G)="G+1).(7分) 〃=i(2〃)! 解: 因为岫知1=蛔譬零/宗(3分) isun18(2〃+2)! /(2〃)! =Jim—心匹—=-<1(6分) 18(2/1+2)(2〃+1)4 故该级数收敛.(7分) 四、(7分)计算曲面积分jjMydz+ydzdx+zdxdy,其中Z是上半球 ^\z=^[-x2-y2的上侧. 解: 添加辅助曲面乙"=0,必+),2《1,取下侧,则在由£]和£所围成的空间闭区域。 上应用高斯公式得 jjxdydz+ydzdx+zdvdy=打xdydz+ydz.dx+zdxdy E£+我 一Jjxdydz+ydzdx+zdvdy(4分) (6分) (7分) =3驴_0Q 14tt ■•, 五、(6分)在半径为&的圆的接三角形中,求其面积为最大的三角形. 解: 设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z,则x+y+z=2;r, 且面积为A=-Z? 2(sinx+siny+sinz),2 (3分) (4分)得x=y=z=—.此 令F=sinx+siny+sinz+2(x+y+z—2兀) Fr=cosx+A=0 F、=COSy+2=0 由卜 F_=cosz+4=0 x+y+Z=2;r 时,其边长为2—R=4^R.由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当接三角形为等边三角2 形时其面积最大.(6分) 六、(8分)求级数弟二的收敛域,并求其和函数. H=l〃 解: &=血]¥=岫官°=1,故收敛半径为R=l・(2分) cq_]"->8n 当x=-\时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛; 当x=l时,级数为调和级数,发散. 故原级数的收敛域为[-1,1).(5分) 设和为S(x),即5(x)=y—,求导得 /? =! 〃 81 S'(x)-ft=,(6分) 〃=11—X 再积分得S(x)=『S'(x)dx JO rx1 =[dx=-ln(1-x),(-1 七、(5分)设函数/'(x)在正实轴上连续,且等式 『/G)df=yj”(r)dr+ 对任何x>0,y>0成立.如果/(I)=3,求f(x). 解: 等式两边对),求偏导得 ”(勺)=J”(,)d7+xf(y)(2分) 上式对任何x>0,y>0仍成立.令),=1,且因/ (1)=3,故有 xf\x)=[/'(r)dr+3x.(3分) 由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得 3 矿(对+/(A-)=/(X)+3即广⑴=二3>0). X 故通解为/(x)=31nx+C.当x=l时,f(l)=3,故C=3. 因此所求的函数为/(x)=3(lnx+1).(5分) 八.(5分)已知、]=xex+e~x,y2=xex+e~x,y3=xex+e~x—e~x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解1: 由线性微分方程解的结构定理知。 与。 一、是对应齐次方程的两个线性无 关的解,xe'是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 yn-y,-2y=fM 将),=工广代入上式,得f(x)=ex-2xex,因此所求的微分方程为 /-2y=ex-2xex 解2: 由线性微分方程解的结构定理知决x与是对应齐次方程的两个线性无关的解,xb是非齐次方程的一个特解,故y=xex-hC{e2x+C2e~x是所求微分方程的通解,从而有 /="+能'+2*2、—。 2广, yff=2eA+xex+4C}e2x+C2e~x 消去q,C2,得所求的微分方程为 yf,-yf-2y=ex-2xeA 06高数B -、填空题(共30分每小题3分) 1.xoy坐标面上的双曲线4? -9/=36绕工轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为4x2-9(y2+z? )=36. 2.设函数f(x,y9z)=2x+yz+z2f则grad/(1,0,-1)=(2,-1,-2). 直叫三=竖十直线右 x=3t : z=2+7r— 4.设。 是曲面z=^2-x2-y2及z=^x2+y2所围成的区域积分,则川7(x,y,z)du化为柱面 Q 坐标系下的三次积分形式是fj,/Vcosa,・sinQz)dz. 5.设乙是圆周y=^2x—x2,取正向,则曲线积分ydx+xdy= &. 6.昴级数£‘"•的收敛半径R=1 H=1〃 X 7.设级数收敛,则lim以〃=0. [0,-^ 8.设周期函数在一个周期的表达式为/(x)=(则它的傅 lx,0 里叶级数在X=7T处收敛于: . 2 9.全微分方程xdx+ydy=0的通解为xy=C. 10.写出微分方程/+/-2y=ev的特解的形式)广=心蛆 二、解答题(共42分每小题6分) [x—y+^—2=0 1.求过点(1,2,1)且垂直于直线{;°八的平面方程. [x+2y—z+3=0 解: 设所求平面的法向量为亓,则n=1 1 Jk -21={1,2,3} 1-1 (4分) 所求平面方程为x+2y+3z=0 (2分) 2.函数z=z(x,y)由方程sin(x+2y-3z)=x+2y-3z所确定,求乏. Ox (2分) 解: 令F(x,y,z)=sin(x+2y-3z)-x-2y+3z, 则Fy=cos(x+2y-3z)-1,F_=-3cos(x+2y-3z)+3.(2分) •l《 (2分) dz,_Fx_l-cos(x+2y-3z)dxF.3-3cos(x+2y-3z) 3.计算其中。 是由直线y=l,工=2及y=x所围成的闭区域. D 解法一: 原式=f)d)‘m 今2°3 =仆部&=』号-沙 =[—-—]? =! -■ 8418 (2分) (4分) 解法二: 4•计算JJJ1 D 解: 选极坐标系 原式=f[[2^ydr]dy=[j2-—=l-.(同上类似分) JiJy88 -x2-y2dxdy,其中。 是由x2+y2=l即坐标轴所围成的在第一象限的闭区域. £I 原式=[2fVl-r2rdr JoJ() (3分) =-•(--)fVl-r2J(l-r2)=- 22J。 6 5.计算L(y2—/)打+2无山,一必血,其中「是曲线x=t,y=t2 Z=〃上由孔=0到,2=1的一段弧. (3分) 解: 原式[(f4-r6)+2r5-2r-r2-3r2]dr(3分) =[: "—次)出=[]7_§5]»=日(3分) 6.判断级数£己二的敛散性. 〃=1』 5ft,・«n.1v(2n+1)/2/i-1 解: 因为lim-=hm-——/(3分) 〃T00以〃/? ->002"/2” =! V1,
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