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回顾与反思
2018第22章专题
一、解答题(共20小题)
1.(5分)如图,在平面直角坐标系中,有一个平行四边形ABCD,其中点A,B在x轴上,点D在y轴上,点C在第一象限.已知AD⊥BD,AD=4,∠ABD=30°,求A,B,C,D各点的坐标.
2.(5分)如图所示,有4个动点P,Q,E,F分别从正方形ABCD的4个顶点出发,分别沿着AB,BC,CD,DA以同样的速度向B,C,D,A各点移动.
(1)判定四边形PQEF的形状,并说明理由;
(2)PE是否总是经过某一定点?
并说明理由;
(3)若正方形ABCD的边长为2,求四边形PQEF的最大面积和最小面积,并指出它的顶点分别位于何处.
3.(5分)矩形ABCD的周长是56cm,它的两条对角线相交于O,△AOB的周长比△BOC的周长短4cm.求:
(1)AB;
(2)BC的长?
4.(5分)如图,已知在平行四边形ABCD中,E,F为边AD,BC上的点,且AE=CF,连接AF,EC,BE,DF交于M,N,试判断MF与NE的关系,并证明你的结论.
5.(5分)如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,阅读下列材料,
(1)连接AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是 ;
(2)对角线AC、BD满足条件 时,四边形EFGH是矩形;
(3)对角线AC、BD满足条件 时,四边形EFGH是菱形;
(4)对角线AC、BD满足条件 时,四边形EFGH是正方形.
6.(5分)如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,求证:
AF=
CF.
7.(5分)如图,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?
试证明你观察得到的结论.
8.(5分)如图,以△ABC的三边为边在BC同一侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF.
(1)猜想四边形ADEF的形状,并证明你的结论;
(2)当△ABC满足条件 时,四边形ADEF是矩形;
(3)当△ABC满足条件 时,四边形ADEF是菱形;
(4)当△ABC满足条件 时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
9.(5分)如图,正方形ABCD中,E、F分别在BC、DC上,且∠EAF=45°.试说明:
BE+DF=EF.
10.(5分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点H,点H是正方形EFGH的一个顶点.如果两个正方形的边长相等,且面积为1.那么正方形EFGH绕点H旋转,两个正方形重叠部分的面积等于多少?
证明你的猜想.
11.(5分)如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC,那么CE与FE是否相等?
请说明理由.
12.(5分)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠CBE交CD于F,试说明BE=CF+AE.
13.(5分)如图,以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE,连接BE,交正方形的对角线AC于点F,连接DF,求∠AFD的度数.
14.(5分)如图,正方形ABCD,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于点G,交CD于点H,已知AM=10cm,求GH的长.
15.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,M为AB上任意一点,MN丄DM,BN平分∠CBE,试说明:
MD=MN.
16.(5分)
(1)如图所示,分别以四边形的四个顶点为圆心,半径R作圆(这些圆互不相交),把这些圆与四边形的公共部分(即圆中阴影部分)剪下来拼在一起,你有何发现?
试用有关数学知识进行解释.
(2)若将
(1)中的四边形换成五边形,则阴影部分的面积为多少?
若换成六边形呢?
若换成n边形呢?
17.(5分)如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?
18.(5分)下图是一个3×3的“网格型“正方形示意图,其中标注于∠1,∠2,∠3…∠9共九个角,你能用一种巧妙的方法迅速求出这九个角的和吗?
说出来和同学们交流.
19.(5分)已知:
如图,在正方形ABCD中,AC,BD交于点O,延长CB到点E,使BE=BC,连接DE交AB于点F,求证:
OF=
BE.
20.(5分)已知:
如图,△ABC中,∠A>∠B,CR是∠ACB的平分线且交AB于R,AQ⊥CR,垂足为Q,P为AB的中点,求证:
PQ=
(BC﹣AC).
2018第22章专题
参考答案与试题解析
一、解答题(共20小题)
1.(5分)如图,在平面直角坐标系中,有一个平行四边形ABCD,其中点A,B在x轴上,点D在y轴上,点C在第一象限.已知AD⊥BD,AD=4,∠ABD=30°,求A,B,C,D各点的坐标.
【分析】利用三角函数求得OA、OD、以及AB的长度即可得到A,B,C,D各点的坐标.
【解答】解:
∵在直角△ABD中,∠ABD=30°,
∴AB=2AD=8,
又∵直角△ABD中,OD⊥AB,
∴∠ADO=∠ABD=30°,
在直角△AOD中,AO=
AD=2,OD=AD•cos30°=4×
=2
,
则OB=AB﹣0A=8﹣2=6,
则A的坐标是(﹣2,0),B的坐标是(6,0),C的坐标是(8,2
),D的坐标是(0,2
).
2.(5分)如图所示,有4个动点P,Q,E,F分别从正方形ABCD的4个顶点出发,分别沿着AB,BC,CD,DA以同样的速度向B,C,D,A各点移动.
(1)判定四边形PQEF的形状,并说明理由;
(2)PE是否总是经过某一定点?
并说明理由;
(3)若正方形ABCD的边长为2,求四边形PQEF的最大面积和最小面积,并指出它的顶点分别位于何处.
【分析】
(1)正方形的定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形.
(2)证PE是否过定点时,可连接AC,证明四边形APCE为平行四边形,即可证明PE过定点.
(3)当OP⊥AB时,四边形PQEF面积最小,为原正方形面积的一半,当P与顶点B重合时,面积最大,其最大面积等于正方形ABCD的面积.
【解答】解:
(1)在正方形ABCD中,AP=BQ=CE=DF,AB=BC=CD=DA,
∴BP=QC=ED=FA.
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°,
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.
∴FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB.
∵∠FPQ=90°,
∴四边形PQEF为正方形;
(2)连接PE交AC于O,连接PC、AE,
∵AP平行且等于EC,
∴四边形APCE为平行四边形.
∴O为对角线AC的中点,
∴对角线PE总过AC的中点;
(3)正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的,
当OP⊥AB时,四边形PQEF面积最小,为原正方形面积的一半,即为
×2×2=2;
当P与顶点B重合时,面积最大,其最大面积等于正方形ABCD的面积即为:
2×2=4.
3.(5分)矩形ABCD的周长是56cm,它的两条对角线相交于O,△AOB的周长比△BOC的周长短4cm.求:
(1)AB;
(2)BC的长?
【分析】根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC,然后求出BC=AB+4,再根据矩形的周长求出AB+BC=28,然后代入求解即可.
【解答】解:
矩形ABCD中,OA=OC,
∵△AOB的周长比△BOC的周长短4cm,
∴(OB+OC+BC)﹣(OB+OA+AB)=4,
即BC﹣AB=4,
所以,BC=AB+4①,
矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=56,
所以,AB+BC=28②,
①代入②得,AB+AB+4=28,
解得AB=12cm,
BC=AB+4=12+4=16cm,
所以,
(1)AB=12cm;
(2)BC的长为16cm.
4.(5分)如图,已知在平行四边形ABCD中,E,F为边AD,BC上的点,且AE=CF,连接AF,EC,BE,DF交于M,N,试判断MF与NE的关系,并证明你的结论.
【分析】MF=NE,且MF∥NE.平行四边形性质里有的对边互相平行,判定里面有若是四边形的对边平行且相等那么就是平行四边形,根据判定定理和性质定理,此问题得证.
【解答】解:
MF=NE,且MF∥NE.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,则AD∥BC.
∵AE=CF,
∴DE
BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BE∥DF,即ME∥FN.
∵AE
CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴MF∥EN,
∴四边形MENF是平行四边形,
∴MF=NE,且MF∥NE.
5.(5分)如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,阅读下列材料,
(1)连接AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是 平行四边形 ;
(2)对角线AC、BD满足条件 AC⊥BD 时,四边形EFGH是矩形;
(3)对角线AC、BD满足条件 AC=BD 时,四边形EFGH是菱形;
(4)对角线AC、BD满足条件 AC⊥BD且AC=BD 时,四边形EFGH是正方形.
【分析】
(1)根据三角形的中位线定理,可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行,所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半,再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形;
(2)在
(1)的基础上,所得四边形要成为矩形,则需有一个角是直角,故对角线应满足互相垂直;
(3)在
(1)的基础上,所得四边形要成为菱形,则需有一组邻边相等,故对角线应满足相等;
(4)联立
(2)和(3),所得四边形要成为正方形,则需对角线垂直且相等.
【解答】解:
(1)连接AC、BD.
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,
∴EF∥AC,EF=
AC,FG∥BD,FG=
BD,GH∥AC,GH=
AC,EH∥BD,EH=
BD.
∴EF∥HG,EF=GH,FG∥EH,FG=EH.
∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)要使四边形EFGH是矩形,则需EF⊥FG,由
(1)得,只需AC⊥BD;
(3)要使四边形EFGH是菱形,则需EF=FG,由
(1)得,只需AC=BD;
(4)要使四边形EFGH是正方形,综合
(2)和(3),则需AC⊥BD且AC=BD.
6.(5分)如图,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,求证:
AF=
CF.
【分析】过D作DG∥AC,可证明△AEF≌△DEG,可得AF=DG,由三角形中位线定理可得DG=
CF,可证得结论.
【解答】证明:
如图,过D作DG∥AC,则∠EAF=∠EDG,
∵AD是△ABC的中线,
∴D为BC中点,
∴G为BF中点,
∴DG=
CF,
∵E为AD中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEG中,
,
∴△AEF≌△DEG(ASA),
∴DG=AF,
∴AF=
CF.
7.(5分)如图,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q,当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?
试证明你观察得到的结论.
【分析】过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰三角形;根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB,故PQ=PB.
【解答】答:
PQ=PB
证明:
过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,
△AMP和△CNP都是等腰三角形.
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°,而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM.又∠QNP=∠PMB=90°
∵在△QNP和△PMB中,
,
∴△QNP≌△PMB(ASA),
∴PQ=PB.
8.(5分)如图,以△ABC的三边为边在BC同一侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF.
(1)猜想四边形ADEF的形状,并证明你的结论;
(2)当△ABC满足条件 ∠BAC=150° 时,四边形ADEF是矩形;
(3)当△ABC满足条件 AB=AC 时,四边形ADEF是菱形;
(4)当△ABC满足条件 ∠BAC=60° 时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
【分析】
(1)先证明△ABC≌△DBE,△ABC≌△FEC,则DE=AC=AF,FE=AB=AD,则四边形ADEF是个平行四边形;
(2)当四边形ADEF有一个角是90°,即∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形,依据矩形的定义判断;
(3)当AB=AC时,四边形ADEF为菱形;
(4)当∠BAC=60°时,四边形ADEF不存在.
【解答】解:
(1)四边形ADEF是个平行四边形,
在△ABC和△DBE中,
,
∴△ABC≌△DBE(SAS),
∴DE=AC,
在△ABC和△FEC中,
∴△ABC≌△FEC(SAS),
∴FE=AB,
∴DE=AC=AF,FE=AB=AD,
∴四边形ADEF是个平行四边形;
(2)当∠BAC=150°时,∠DAF=90°,此时四边形ADEF是矩形;
(3)当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,
由第
(1)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形;
(4)当∠BAC=60°时,四边形ADEF中的A点与E点重合,
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
9.(5分)如图,正方形ABCD中,E、F分别在BC、DC上,且∠EAF=45°.试说明:
BE+DF=EF.
【分析】把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG,根据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,再根据∠EAF=45°求出∠FAG=45°,然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,即EF=GD+FD,即可证明EF=BE+DF.
【解答】证明:
如图,把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG,
∴BE=GD,AE=AG,
∵∠EAF=45°,
∴∠FAG=90°﹣45°=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
在△AEF和△AGF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
即EF=GD+DF,
∴BE+DF=EF.
10.(5分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点H,点H是正方形EFGH的一个顶点.如果两个正方形的边长相等,且面积为1.那么正方形EFGH绕点H旋转,两个正方形重叠部分的面积等于多少?
证明你的猜想.
【分析】找到特殊的重合,并且求出重合部分的面积,猜想面积为
,继而证明△BHP≌△CHQ,即可求得即可△BHP和△CHQ的面积相等,证明重合部分的面积为
.
【解答】解:
图示为一个特殊的重合,
重合部分的面积为正方形ABCD的
,
故猜想重合部分的面积为
×1=
.
固定H点通过旋转可以使得△BHP与△CHQ重合,
则∠HCB=∠HBA=45°,HB=HC,∠CHQ=∠BHP,
∴△BHP≌△CHQ(ASA),
∴S△BHP+S△BHQ
=S△CHQ+S△BHQ=
.
11.(5分)如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC,那么CE与FE是否相等?
请说明理由.
【分析】根据矩形的性质可知:
AE=AD,∠DFA=∠B,∠DAF=∠BEA.所以△ADF≌△EBA,那么AF=BE,利用等量代换可知EF=AE﹣AF=EC=BC﹣BE,即CE=EF.
【解答】解:
CE=FE.
理由:
在矩形ABCD中,DF⊥AE,AE=BC.
∴AE=AD,∠DFA=∠B,∠DAF=∠BEA.
∴△ADF≌△EBA.
∴AF=BE.
∵EF=AE﹣AF,EC=BC﹣BE.
∴CE=EF.
12.(5分)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠CBE交CD于F,试说明BE=CF+AE.
【分析】先延长DA至点G使AG=CF,连接BG,根据ASA得出△ABG≌△CBF,再根据全等三角形的判断与性质以及角平分线的性质得出∠ABG=∠EBF,最后根据AB∥CD,得出BE=GE,即可得出答案.
【解答】解:
延长DA至点G使AG=CF,连接BG,
在△ABG和△CBF中,
∵
,
∴△ABG≌△CBF,
∴∠BFC=∠BGA,∠CBF=∠ABG,
∵BF平分∠CBE交CD于F,
∴∠CBF=∠EBF,
∴∠ABG=∠EBF,
∵AB∥CD,
∴∠ABF=∠BFC,
∴∠EBG=∠BFC,
∴∠EBG=∠BGA,
∴BE=GE,
∴BE=CF+AE.
13.(5分)如图,以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE,连接BE,交正方形的对角线AC于点F,连接DF,求∠AFD的度数.
【分析】易得△ABF与△ADF全等,∠AFD=∠AFB,因此只要求出∠AFB的度数即可.
由∠AFB=∠ACB+∠EBC,∠ACB=45°,转化为求∠EBC的度数,在等腰△BCE中可求得.
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形.
∴AB=AD,∠BAF=∠DAF.
∴△ABF与△ADF全等.
∴∠AFD=∠AFB.
∵CB=CE,∴∠CBE=∠CEB.
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°,
∴∠CBE=15°.
∵∠ACB=45°,
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°.
∴∠AFD=60°.
14.(5分)如图,正方形ABCD,M是BC上一点,连接AM,作AM的垂直平分线GH交AB于点G,交CD于点H,已知AM=10cm,求GH的长.
【分析】把线段GH向下平移到BN,则BN=GH,BN⊥AM;
可以以正方形ABCD的中心为旋转中心,逆时针旋转90°,使Rt△ABM重合于Rt△BCN,
所以GH=BN=AM.
【解答】解:
把线段GH向下平移到BN,则BN=GH,BN⊥AM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠BEM=90°.
∴∠BAM=90°﹣∠AMB=∠CBN.
∴Rt△ABM≌Rt△BCN.
故可以以正方形ABCD的中心为旋转中心,逆时针旋转90°,使Rt△ABM重合于Rt△BCN,
∴GH=BN=AM=10cm.
也可以利用三角形全等来解.
15.(5分)如图所示,在正方形ABCD中,M为AB上任意一点,MN丄DM,BN平分∠CBE,试说明:
MD=MN.
【分析】在AD上取一点P,使DP=BM,连接PM,利用正方形的性,证得△MPD≌△NBM,得出结论.
【解答】解:
在AD上取一点P,使DP=BM,连接PM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD;
∴AM=AP;
∴∠AMP=∠APM=45°;
∴∠DPM=135°;
而BN平分∠CBE,
∴∠NBE=45°;
∴∠MBN=135°;
∵MN⊥MD,
∴∠ADM+∠AMD=∠NMB+∠AMD=90°,
∴∠ADM=∠NMB,即∠MDP=∠NMB.
在△MPD与△NBM中,
,
∴△MPD≌△NBM(ASA),
∴MD=MN.
16.(5分)
(1)如图所示,分别以四边形的四个顶点为圆心,半径R作圆(这些圆互不相交),把这些圆与四边形的公共部分(即圆中阴影部分)剪下来拼在一起,你有何发现?
试用有关数学知识进行解释.
(2)若将
(1)中的四边形换成五边形,则阴影部分的面积为多少?
若换成六边形呢?
若换成n边形呢?
【分析】
(1)如图,可根据多边形内角与外角的知识来解答.图中圆与四边形的公共部分恰好能组成一个新的圆,因为扇面的半径相等且圆心角的度数为360°,不难解答.
(2)换成五边形,也是1.5个圆.因为扇面半径是相等的,故换成五边形的阴影部分面积也是1.5πR2.
【解答】解:
(1)圆与四边形的公共部分(即圆中阴影部分)剪下来拼在一起,恰好拼成一个圆面.因为剪下来的这些扇形半径相等,且圆心角的度数和为四边形的内角和360°,所以圆与四边形的公共部分(即圆中阴影部分)剪下来拼在一起,恰好拼成一个圆面.
(2)若将
(1)中的四边形换成五边形,五边形内角和为540°,则阴影部分的面积为
πR2=1.5πR2,
若换成六边形,六边形内角和为720°,则阴影部分的面积为
πR2=2πR2,
若换成n边形,n边形的内角和为(n﹣2)×180°,阴影部分的面积为
πR2=
πR2.
17.(5分)如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?
【分析】此题要构造三角形的中位线,根据三角形的中位线定理进行证明.
【解答】解:
相等.理由如下:
取AD的中点G,连接MG,NG,
∵G、N分别为AD、CD的中点,
∴GN是△ACD的中位线,
∴GN=
AC,
同理可得,GM=
BD,
∵AC=BD,
∴GN=GM=
AC=
BD.
∴∠GMN=∠GNM,
又∵MG∥OE,NG∥OF,
∴∠OEF=∠GMN=∠GNM=∠OFE,
∴OE=OF.
18.(5分)下图是一个3×3的“网格型“正方形示意图,其中标注于∠1,∠2,∠3…∠9共九个角,你能用一种巧妙的方法迅速求出这九个角的和吗?
说出来和同学们交流.
【分析】本题中除了正方形对角线AB上的∠3,∠5,∠7可以看出是45°外,其他的角都不能一下看出.那么我们可根据正方形关于对角线相对称的特点,将正方形沿AB折叠,那么两个图形正好重合,我们发现重合的线段上的两个角的和正好是90°(AB线上的处外),这样就能快速计算出这几个角的和了.
【解答】解:
除∠3=∠5=∠7=45°外,其它各角的具体变数不易求得,可用如下办法:
由于沿AB作对折时,上下图形能够重合,恰有∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90°
故九个角和为3×90°+3×45°=405°.
19.(5分)已知:
如图,在正方形ABCD中,AC,BD交于点O,延长CB到点E,使BE=BC,连接DE交AB于点F,求证:
OF=
BE.
【分析】根据正方形的性质利用AAS判定△ADF≌△BEF,得到DF=EF,因为DO=OB,从而得到OF为△BDE的中位线即OF=
BE.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=AD.
又∵BE=BC,
∴BE=AD.
∵AD∥BE,
∴∠E=∠ADF,∠AFD=∠EFB.
∴△ADF≌△BEF(AAS).
∴DF=FE.
又∵DO=OB.
∴OF为△BDE的中位线.
∴OF=
BE.
20.(5分)已知:
如图,△ABC中,∠A>∠B,CR是∠ACB的平分线且交AB于R,AQ⊥CR,垂足为Q,P为AB的中点,求证:
PQ=
(BC﹣AC).
【分析】本题可通过构建全等三角形来实现线
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