8A版小学数学竞赛学习材料四年级暑期.docx
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8A版小学数学竞赛学习材料四年级暑期
小学数学竞赛学习材料
四年级暑期
第一讲 幻方
相传在三千多年前的夏禹时代,从洛水(就在我们河南洛阳附近)浮出一只神龟,背上有一个神秘的图形如下:
经研究,原来是一个数字方阵图:
492
3 57
816
进一步计算又发现:
它的每行、每列,甚至每条对角线上三个数字的和都是15。
真是奇妙无比。
于是,人们就把它叫做“幻方”。
“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。
把那个相等的和就叫做“幻和”。
后来,幻方从国内传到国外,引起了人们极大的兴趣,并把它推广到更为一般的情况:
如果有n2个数,可以排成一个n行、n列的方阵,并且,它的n行、n列和2条对角线上,n个数的和都相等,就把这个数阵叫做“n阶幻方”。
显然,其幻和等于这n2个数的和除以n。
我国宋朝数学家杨辉对幻方进行过深入的研究,取得了巨大的成绩。
在他的著作里,对三阶幻方的制做方法,有这样四句话:
“九子斜排,上下对易,左右相更,四维突出”。
这四句话的意思是:
把九个数从小到大斜着排列成正方形,上下两个顶点上的数交换,左右两个顶点上的数交换,四条边中间的数向外面突出。
左下图就是这个过程的示意图,右下图是最后得到的结果:
四维突出 ①
④②九子斜排 ④⑨②
⑦⑤③③⑤⑦
⑧⑥ 左右相更⑧①⑥
⑨
上下对易
例1 用5、7、9、11、13、15、17、19、21这九个数作一个三阶幻方。
解:
用上面的方法得到:
72111
17139
15519
幻和是(5+7+9+11+13+15+17+19)÷3=39。
经检验,完全符合要求。
例2 用1、2、3、……、16这16个数作一个四阶幻方。
解:
幻和等于(1+2+3+…+16)÷4=34。
先把这16个数按从小到大的顺序填入4×4的方格里(图1):
1234 162313
5678511108
910111297612
131********151
图1 图2 图3
计算发现,两条对角线上四个数的和已经符合要求,但是,由于从小到大排列的缘故,使得行、列上的数出现了上小下大的情况,显然不符合要求,由此想到,把同一条对角线上的数上下对调如图2,对调的结果如图3,经检验,完全符合要求。
幻方的作法不是惟一的,即使是对同一种方法所得到的结果,也可以进行各种变换。
上面的三阶幻方就有八种不同的形式。
现在已经知道,四阶幻方有880种不同的形式。
这里有一个极为特殊的四阶幻方(下图)。
请你算一下它的每行、每列、每条对角线上,还有四个角上,以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和。
这些和竟然都相等,真是妙不可言!
这也许正是它被称为“魔鬼幻方”的原因吧。
151036
45169
141127
181312
例3 用1、2、3、……、25这25个数作一个五阶幻方。
解:
编制五阶和五阶以上的奇数阶幻方,有一个通用的方法。
以五阶幻方为例:
(1)把第一个数1填在最上行的中央(1填上行正中央)(a);
(2)接着把2填在1的右上方(依次斜向右上方)(b);
(3)2从上面出框了,把2填在同一列的最下格(上面出框往下写)(b);
(4)接着把3、4斜着向右上方填。
4从右边出框了,把4填在同一行的最左格(右面出框左边放)(c);
(5)接着把5、6斜着向右上方填,6的右上方已经有1了,把6填在5的下面(前面有数转下格)(d);
(6)接着把7、8、9、……、15按照上面的方法填到适当的格子里。
15已经到了右上角,把16填在15的下面(右上角处转下行)(e);
(7)就按照这样的方法继续填下去,直到填完。
2
11111815
5571416
44464613
3310123
2221129
(a)(b)(c)(d)(e)
请你按照上面的口诀(粗体字),继续完成这个五阶幻方。
然后再验证一下,看看它的每行、每列、每条对角线上五个数的和,是不是都相等,等于多少?
制作幻方不一定要从1开始,一般说来,只要所填的一串数,能够组成等差数列就可以。
在某些特殊情况下,即使不是等差数列,也能制作出幻方。
五阶以上的奇数阶幻方,制作起来虽然比较耗费时间,但是有上面的方法可以遵循,据说,有一位小朋友就曾经作出了101阶幻方。
而六阶和六阶以上的偶数阶幻方的制作,要复杂得多,我们在这里就不再研究了,有兴趣的同学可以参考有关书籍。
练习一
1.在左下方,用1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个数,作一个三阶幻方。
2.在右上方,用4、5、6、8、9、10、12、13、14这9个数,作一个三阶幻方。
3.在左下方,用2、4、6、……、32这16个数,作一个四阶幻方
4.在右上方,用1、4、7、10、……、46这16个数,作一个四阶幻方。
5.在左下方,用2~26这25个数,作一个五阶幻方。
6.在右上方,用5~29这25个数,作一个五阶幻方。
7.在左下方,用1~49这49个数作一个七阶幻方。
8.在右上方,用1─81这81个数,作一个九阶幻方。
第二讲数阵
从前,有个外国人叫亚当斯,从小就喜欢填幻方。
有一天他突发奇想,有没有六角幻方呢?
经过47年的努力好不容易排好了,可是不小心又弄丢了。
亚当斯并不灰心,又用了5年时间重新把它排了出来,这时他已经是两鬓斑白的老人了。
后来,通过电脑计算发现,原来只有这么一种填法,因此,“亚当斯六角幻方”被视为数学宝库中的稀世奇珍。
下面就是“亚当斯六角幻方”。
请你算一算,它的任意一条直线上几个数的和是不是都相等。
151310
148412
965216
111719
18173
通常,人们把这类与一般幻方不同的图形叫做“数阵”。
现在就让我们来研究一下简单数阵的填法。
例1下图中有六个正方形,把1─9九个数填入下图的九个小圆圈里,使每个正方形顶点上四个数的和相等。
729
654
183
这使我们联想到三阶幻方,试着让5不动,把角上的数与边上的数对调,调整后得到右上图,正好符合要求。
看来,大胆地联想、猜测和试验,往往是解决问题的好办法。
例2把1─12十二个数分别填入右图中的
12个小圆圈里,使每条直线上四个数的和等于26,
每个六角形上6个数的等于39。
要让四个数的和等于26,不妨先让两个数的
和等于13。
由此想到,把这十二个数分成1、12,
2、11,3、10,4、9,5、8,6、7六组。
显然六个比较小的数不能填在同一圈,设想把1、3、5填在外圈,2、4、6填在内圈,于是:
外圈:
1351197和是36
内圈:
12108246和是42
外圈少3,内圈多3。
只要把某一组的两个数交换一下就行了,会填了吧?
例3 将1、2、3、4、5、6、7七个自然数分别填入左下图中的七个小圆圈里,使三个大圆周上的四个数之和都等于定数S,并指出这个定数S的取值范围,最小是多少,最大是多少?
再取S的最小值填数。
解:
观察发现,B被三个圆所公用,A、C、D被两个圆所公用,所以3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G,而A+B+C+D+E+F+G=1+2+3+4+5+6+7=28,所以3S=28+2B+A+C+D。
因此,当B=1,A=2,C=3,D=4时,S最小,等于13;当B=7,A=6,C=5,D=4时,S最大,等于19。
即S取13~19中间的整数。
当S=13时,填法如右上图。
例4 伟大的物理学家爱因斯坦曾经提出了下面这道有趣的题目:
把1到9这九个数字分别在下图中的九个交点旁,使每个三角形三个顶点旁数字之和都相等。
解:
观察发现,边上3个小三角形的顶点正好是9个,而这9个数字的和是45,所以每个小三角形三个顶点旁数字之和都等于45÷3=15。
这使我们很自然地想到三阶幻方。
因为中等三角形旁的数字都要使用3次,所以中等三角形顶点旁的数字只能是幻方中两条对角线上的数字,通过试算,得到下面两种填法。
7294
62
34591853
8 167
练习二
下面的填数阵题目,答案往往不惟一,只要填出一种就可以了,如果时间允许,又有兴趣的话,多填出几种当然更好。
1.把1~8这八个数分别填入下图中的小圆圈里,使每个圆上与每条直线上四个数之和都相等。
2.左下图中有三个三角形和三条直线,把1~9九个数填入图中的九个小圆圈里,使每个三角形、每条直线上三个数的和都相等。
3.右上图中有四个三角形,把1~9九个数填入图中的九个小圆圈里,使每个三角形上三个数的和相等。
4.把1~13这十三个数填入左下图中的○里,使每条直线上三个数的和等于21。
5.把1~7七个数填入右上图中的小圆圈里,使每条直线、每个圆上三个数的和都等于12。
6.把1~7七个数字分别填入左下图的7个空档里,使每个圆圈里四个数的和都等于13。
R
2017
2418
2722
28
3026
7.右上图五圆相连,每个位置的数字都是按一定规律填写的,请找出规律,并求出R所代表的数。
8.把1~9九个数分别填入下图中的九个小圆圈里,使每条直线上五个数的和,等于每个圆上四个数与中心数共五个数的和。
20 20
19 19
9.把1~9九个数分别填入右上图中的九个空格里,使围着某个已知数的四个方格里的数的和恰好等于那个已知数。
10.将1~10这十个数填入下图的十个圆圈里,使每个正方形的四个顶点上各数之和都等于23。
第三讲横式谜
例1 在下面10个8之间,添上适当的运算符号+、-、×、÷、或( ),使得数是20RR。
(如果在某些8之间没有添运算符号和括号,这些8就视为一个数。
)
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =20RR
解:
可以这样想:
先设法用前面的一些8,得到一个接近20RR的数,再用后面的8去修正。
试算发现,88×(8+8+8)=2112,2112-88=2024,还剩下3个8,正好可以得到24,于是得到两个符合要求的算式:
88×(8+8+8)-88-8-8-8=20RR。
88×(8+8+8)-88-(8+8+8)=20RR。
例2 在下面五个5之间,添上适当的运算符号或括号,使等式成立。
5 5 5 5 5 =10
解:
可以采用倒推的方法。
(1)如果最后一个5前面添加号,算式就变成5 5 5 5 =5;如果新算式最后一个5前面是加号,算式又变成5 5 5 =0。
这是很容易做到的,只要用两个5相减得0,再与加一个5相乘,或除以另一个5就可以了。
于是得到三个符合要求的算式:
(5-5)×5+5+5=10,
5×(5-5)+5+5=10,
(5-5)÷5+5+5=10;
(2)如果原式最后一个5前面添减号,算式就变成5 5 5 5=15,可以让前面两个5相乘,再减去后面两个5。
于是得到一个符合要求的算式:
5×5-5-5-5=10;
(3)如果原式最后一个5前面添乘号,算式就变成5 5 5 5=2,可以让两个两个5相除,得到两个1,再相加。
于是得到一个符合要求的算式:
(5÷5+5÷5)×5=10;
(4)如果原式最后一个5前面添除号,算式就变成5 5 5 5=50,可以让两个两个5相乘除,得到两个25,再相加。
于是得到一个符合要求的算式:
(5×5+5×5)×5=10;
(5)还可以用例1的方法,得到一个符合要求的算式:
55÷5-5÷5=10。
例3 试在○里填上“+”、“-”、“×”运算符号,使下面两个等式成立。
(第七届)《小学生学习报》数学竞赛题)
(1)(1○2○3○4)○(5○6○7)○(8○9○10)=1998;
(2)(10○9○8)○(7○6○5)○(4○3○2○1)=1998。
解:
(1)因为1998=2×37×27,所以
(1+2+3-4)×(5×6+7)×(8+9+10)=1998;
(2)因为1998=9×37×6,所以
(10-9+8)×(7×6-5)×(4+3-2+1)=1998。
例4 在没有写完的等式1 2 3 4 5 6 7 8 9=100的左边数字之间插入一些符号,使等式成立,要求按下面三个规定,写出三个等式来。
(北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛决赛题)
(1)插入七个加号一个乘号;
(2)插入两个加号两个减号;
(3)插入两个加号两个减号。
解:
(1)因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,比要求多了一个加号,少了55,所以只能把一个加号换成乘号,经试算发现,只要把8、9之间的加号换成乘号就行了,于是得到1+2+3+4+5+6+7+8×9=100;
(2)因为要求插入的运算符号较少,所以必须要把一些数字连成两、三位数,试算得到123+45-67+8-9=100;
(3)同理,试算得到123+4-5+67-89=100。
练习三
1.在下面10个8之间,添上适当的运算符号或括号,使得数是1000。
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =1000
2.在下面10个9之间,添上适当的运算符号或括号,使得数是1000。
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 =1000
3.在下面9个9之间,添上适当的运算符号,使得数是20RR。
9 9 9 9 9 9 9 9 9 =20RR
4.在下面12个7之间,添上适当的运算符号,使得数是1000。
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 =1000
5.在下面算式适当的地方,只添上运算符号+和-,使等式成立:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 =20
6.在6 6 6 6 6 6 6中添上适当的运算符号及括号后,可以组成
一个得数是1998的算式,请写出一个这样的算式。
(安徽省小学数学竞赛题)
7.在下面数字之间的适当位置,只添“+”号,使等式成立。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 =99
8.在下面各数之间添上适当的运算符号,使等式成立。
(“现代小学数
学”邀请赛试题)
10 6 9 3 =48
9.在1~9之间填入“+”、“-”、“×”及“()”。
使下面等
式成立。
(第四届“新苗杯”小学生数学联赛试题)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 =20RR。
10.在四个4之间填上适当的加、减、乘、除、括号等符号,使下面各
式成立。
(天津第二届“我爱数学”竞赛预赛题)
4 4 4 4 =1
4 4 4 4 =2
4 4 4 4 =3
4 4 4 4 =4
4 4 4 4 =5
11.1927年8月1日,周恩来、朱德等老一辈无产阶级革命家,在南昌发动和领导了举世闻名的“八一”南昌起义,请用“+”、“-”、“×”、“÷”和括号,将五个9组成的一个等式,使运算结果分别为1、9、2、7、81。
(江西省小学生“八一杯”数学竞赛题)
9 9 9 9 9 =1;
9 9 9 9 9 =9;
9 9 9 9 9 =2;
9 9 9 9 9 =7;
9 9 9 9 9 =81。
12.在下面各数之间填上运算符号或括号后,使等式成立。
(天津市小学
数学竞赛题)
(1) 1 2 3 4 5 =0;
(2) 1 2 3 4 5 =1;
(3) 1 2 3 4 5 =2;
(4) 1 2 3 4 5 =3;
(5) 1 2 3 4 5 =4;
(6) 1 2 3 4 5 =5。
第四讲 和差问题
例1 期末考试后,小明问老师他考得怎么样,老师告诉他:
“你的语文和数学一共得了184分,数学比语文多6分。
”小明想了想说:
“我知道了。
”小明的语文和数学究竟得了多少分?
解:
想办法让两科分数相同就好办了。
解法一:
如果语文再多得6分就和数学的分数相同了,这样一来,两科总分就变成184+6=190(分),所以,数学得了190÷2=95(分);语文得了95-6=89(分)。
解法二:
如果数学少得6分就和语文的分数相同了,这样一来,两科总分就变成184-6=178(分),所以,语文得了178÷2=89(分);数学得了89+6=95(分)。
答:
语文89分。
数学95分。
这类问题的特征是,已知两个数的和与差,求这两个数,叫做“和差问题”。
从上面的解法可以总结出两个公共公式:
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数。
有了公式,解题时就方便多了。
例2 张老师买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋,一共花了270元。
外衣比鞋贵140元,买外衣和鞋比帽子多花了210元。
外衣、帽子和鞋各多少元?
解:
因为270元是三种物品的总价,而“外衣比鞋贵140元”,是两种物品的差价,所以这个条件暂时不能用。
另一个条件,“买外衣和鞋比帽子多花了210元”,提醒我们,如果把“外衣和鞋”看作一个数,就能先把它算出来。
所以,外衣和鞋一共是(270+210)÷2=240(元)。
再根据前一个条件,就能算出鞋是(240-140)÷2=50(元),外衣是50+140=190(元),帽子是270-50-190=30(元)。
答:
外衣190元,帽子30元,鞋50元。
例3 甲、乙两个车间共有393名工人,把甲车间的16名工人调到乙车间后,这时,甲车间比乙车间还多5名工人。
甲、乙两车间原来各有多少名工人?
解:
把甲车间的16名工人调到乙车间后,甲车间比乙车间还多5名工人,说明甲车间原来比乙车间多16×2+5=37(人),所以原来甲车间有(393+37)÷2=215(人),乙车间有(393-37)÷2=178(人)。
答:
原来甲车间有215人,乙车间有178人。
例4 某工厂将875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人,第一名比第二名多得250元,第二名比第三名多得125元,三名优秀工人各得多少元?
解法一:
如果以第三名为标准,第一名就比第三名多250+125=375(元),这样从875元里减去375元,再减去125元,所得的数就是第三名的3倍。
于是,第三名得(875-375-125)÷3=125(元),第二名得125+125=250(元),第一名得250+250=500(元)。
解法二:
如果以第一名为标准,875元加上250,再加上375元,得数就是第一名的3倍。
所以第一名得(875+250+325)÷3=500(元),第二名得500-250=250(元),第三名得250-125=125(元)。
答:
第一名500元,第二名250元,第三名得125元。
想想看,还能怎样解?
练习四
1.某校共有学生537人,女生比男生少29人。
男、女生各有多少人?
2.李强同学期末考试,语文、数学两门功课平均95分,数学比语文多8分,他这两门功课各是多少分?
3.一个长方形,周长120厘米,长比宽多10厘米,这个长方形的面积是多少平方厘米?
4.甲、乙两筐苹果共74千克,从甲筐取出8千克放入乙筐后,两筐苹果的重量恰好相等。
原来两筐苹果各有多少千克?
5.小刚买了4张挨着的双号电影票,座位号加起来是84,这4张电影票的座号分别是多少号?
6.甲、乙两个笼子里共有鸽子15只,甲笼放入4只,乙里取出2只以后,乙笼里的鸽子比甲笼多1只。
原来两个笼子里各有多少只鸽子?
7.我国自行设计施工的世界上最大的现代化桥梁——南京长江大桥分上、下两层,上层是公路桥,下层是铁路桥。
铁路桥和公路桥共长11270米,铁路桥比公路桥长2270米。
问南京长江大桥的公路桥长多少米?
8.南京长江大桥比美国纽约大桥长4570米,纽约大桥比我国武汉长江大桥长530米。
已知三座大桥共长10640米,这三座大桥的长度分别是多少米?
9.两个工程队共有工人230人,后来由于工作需要,从第一队调走30人,从第二队调走10人,这时第一队比第二队还多10人。
原来两队各有工人多少人?
10.学校买来4个足球和2个排球,一共用去840元,每个足球比每个排球贵30元。
每个排球和足球各多少元?
11.四个人年龄之和是77岁,最小的10岁,他与最大的年龄之和比另外两人年龄之和大7岁,最大的年龄是多少岁?
12.被减数、减数与差的和是168,减数比差大16,减数是多少?
(北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛预赛题)
第五讲 和倍问题
例1 动物园珍禽馆有黄鹂、鹦鹉、孔雀共20只,黄鹂的只数是鹦鹉的2倍,鹦鹉的只数是孔雀的3倍,黄鹂、鹦鹉、孔雀各有多少只?
解:
如果把孔雀的只数看作1倍,鹦鹉的只数就是3倍,黄鹂的只数就的3×2=6倍,黄鹂、鹦鹉、孔雀这三种珍禽的总只数,就一共是孔雀的1+3+6=10倍,所以,孔雀有20÷10=2(只),鹦鹉有2×3=6只,黄鹂有2×6=12(只)。
答:
孔雀有2只,鹦鹉有6只,黄鹂有12只。
像这类问题叫做“和倍问题”。
解决和倍问题,关键是先要确定把哪个量作为1倍量,再根据其他量与这个1倍量的关系,求出这些量的总和相当于1倍量的多少倍,在求出1倍量之后,其他量就都可以求出来了。
例2 甲、五年级共有学生165人,四年级的学生人数比五年级的2倍少6人,四、五年级各有学生多少人?
解:
从四年级的学生人数比五年级的2倍少6人可知,如果四年级的人数再多6人,就正好是五年级学生人数的2倍,两个年级应该共有学生165+6=171(人),所以,五年级有171÷(2+1)=57(人),四年级有57×2-6=108(人)。
答:
四年级有108人,五年级有57人。
例3 甲仓库存粮104吨,乙仓库存粮140吨,要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍,那么,必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库?
(长春市南关区小学数学竞赛试题)
解:
无论从乙仓库运出多少吨放入甲仓库,两个仓库所存粮食的总数不变,始终是104+140=244(吨)。
当甲仓库的存粮是乙仓库的4倍时,两个仓库所存粮食的总数,应该是乙仓库存粮吨数的3+1=4倍,所以,这时乙仓库存粮244÷4=61(吨),与原来的存粮吨数比较,需要从乙仓库运出140-61=79(吨)放入甲仓库。
答:
需要从乙仓库运出79放入甲仓库。
例4 学校把320本图书按照班级和人数的多少,分给四、五、六三个年级。
如果五年级比四年级多40本,六年级是四年级的2倍。
那么三个年级各分得多少本?
解:
把四年级分得的图书本数看作1倍,六年级就是2倍,而五年级需要减少40本才能和四年级同样多,相应的图书总数,变成320-40=280(本),所以,四年级分得280÷(1+1+2)=70(本),五年级分得70+40=110(本),六年级分得70×2=140(本)。
答:
四年级分得70本,五年级分得110本,六年级分得140本。
练习五
1.哥哥和弟弟共有图书120本,哥哥的图书本数是弟弟的3倍,哥哥和弟弟各有图书多少本?
2.两层书架共有书173本。
从第一层拿走38本以后,第二层的书比第一层的2倍还多6本。
第二层有多少本?
3.两堆棋子,第一堆有87个,第二堆有69个,从第一堆
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