50);(4)如果a、b是异面直线,P是不在a、b上的任意一点,下列四个结论:
①过点P一定可以作直线与a、b都相交; ②过点P一定可以作直线与a、b都垂直;③过点P一定可以作平面α与a、b都平行; ④过点P一定可以作直线与a、b都平行。
其中正确的结论是_____(答:
②);(5)如果两条异面直线称作一对,那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____(答:
24);(6)已知平面求证:
b、c是异面直线.
5、异面直线所成角的求法:
(1)范围:
;
(2)求法:
计算异面直线所成角的关键是平移(中点平移,顶点平移以及补形法:
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两条异面直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。
如
(1)正四棱锥的所有棱长相等,是的中点,那么异面直线与所成的角的余弦值等于____(答:
);
(2)在正方体AC1中,M是侧棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P是棱A1B1上的一点,则OP与AM所成的角的大小为____(答:
90°);(3)已知异面直线a、b所成的角为50°,P为空间一点,则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条(答:
2);(4)若异面直线所成的角为,且直线,则异面直线所成角的范围是____(答:
);
6、异面直线的距离的概念:
和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。
两条异面直线的公垂线有且只有一条。
而和两条异面直线都垂直的直线有无数条,因为空间中,垂直不一定相交。
如
(1)ABCD是矩形,沿对角线AC把ΔADC折起,使AD⊥BC,求证:
BD是异面直线AD与BC的公垂线;
(2)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF是异面直线AC与A1D的公垂线,则由正方体的八个顶点所连接的直线中,与EF平行的直线有____条(答:
1);
7、两直线平行的判定:
(1)公理4:
平行于同一直线的两直线互相平行;
(2)线面平行的性质:
如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;(3)面面平行的性质:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质:
如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
8、两直线垂直的判定:
(1)转化为证线面垂直;
(2)三垂线定理及逆定理。
9、直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内;
(2)直线与平面相交。
其中,如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。
注意:
任一条直线并不等同于无数条直线;(3)直线与平面平行。
其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。
如
(1)下列命题中,正确的是A、若直线平行于平面内的一条直线b,则// B、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影,则⊥b C、若直线垂直于平面,直线b是平面的斜线,则与b是异面直线 D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成的角也相等,则它一定是正棱锥(答:
D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是___________(答:
线段B1C)。
10、直线与平面平行的判定和性质:
(1)判定:
①判定定理:
如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个平面平行;②面面平行的性质:
若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
(2)性质:
如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。
在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质。
如
(1)α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β,a⊥β B、α∩β=b,且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且aβ(答:
D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:
MN∥面AA1B1B。
11、直线和平面垂直的判定和性质:
(1)判定:
①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。
②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。
(2)性质:
①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。
②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
如
(1)如果命题“若∥z,则”不成立,那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____(答:
x、y是直线,z是平面);
(2)已知a,b,c是直线,α、β是平面,下列条件中能得出直线a⊥平面α的是 A、a⊥b,a⊥c其中bα,cα B、a⊥b,b∥α C、α⊥β,a∥β D、a∥b,b⊥α(答:
D);(3)AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,求证:
BD⊥平面AEF。
12、三垂线定理及逆定理:
(1)定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
(2)逆定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。
13、直线和平面所成的角:
(1)定义:
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角。
(2)范围:
;(3)求法:
作出直线在平面上的射影;(4)斜线与平面所成的角的特征:
斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
如
(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,BD=1,则AD与平面AA1C1C所成的角为______(答:
arcsin);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB、C1D1的中点,则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是______(答:
);(3)是从点引出的三条射线,每两条的夹角都是,则直线与平面所成角的余弦值为______(答:
);(4)若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ,则sinθ的值为______(答:
)。
14、平面与平面的位置关系:
(1)平行――没有公共点;
(2)相交――有一条公共直线。
15、两个平面平行的判定和性质:
(1)判定:
一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行。
(2)性质:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
如
(1)是两个不重合的平面,在下列条件中,不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的两条边,且 B、内有不共线的三点到的距离都相等 C、都垂直于同一条直线 D、是两条异面直线,,且(答:
B);
(2)给出以下六个命题:
①垂直于同一直线的两个平面平行;②平行于同一直线的两个平面平行;③平行于同一平面的两个平面平行;④与同一直线成等角的两个平面平行;⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行;⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行。
其中正确的序号是___________(答:
①③⑤);(3)正方体ABCD-A1B1C1D1中AB=。
①求证:
平面AD1B1∥平面C1DB;②求证:
A1C⊥平面AD1B1;③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离(答:
);
16、二面角:
(1)平面角的三要素:
①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边与棱都垂直。
(2)作平面角的主要方法:
①定义法:
直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;②三垂线法:
过其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;③垂面法:
过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角;(3)二面角的范围:
;(4)二面角的求法:
①转化为求平面角;②面积射影法:
利用面积射影公式,其中为平面角的大小。
对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法)。
如
(1)正方形ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-A1C-A的大小为________(答:
);
(2)将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠,使A、C的距离等于BD,则二面角A-BD-C的余弦值是______(答:
);(3)正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°,则二面角C1—BD1—B1的大小为______(答:
);(4)从点P出发引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60°,则二面角B-PA-C的余弦值是______(答:
);(5)二面角α--β的平面角为120°,A、B∈,ACα,BDβ,AC⊥,BD⊥,若AB=AC=BD=1,则CD的长______(答:
2);(6)AB