学年高一数学上册阶段质量检测.docx
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学年高一数学上册阶段质量检测
阶段质量检测
(二)
(A卷 学业水平达标)
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(共10小题,每小题6分,共60分)
1.下列说法不正确的是( )
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B.同一平面的两条垂线一定共面
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
答案:
D
2.(浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
答案:
C
3.
如图在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( )
A.在直线DB上
B.在直线AB上
C.在直线CB上
D.都不对
答案:
A
4.
如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD
C.A1DD.A1D1
答案:
B
5.给定下列四个命题:
①若两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中为正确的命题的是( )
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
答案:
D
6.正方体AC1中,E,F分别是DD1,BD的中点,则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
7.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为
,其余各棱长都为1,则二面角ACDB的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
8.设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列三个说法:
①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,则l∥β;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中正确的说法个数是( )
A.3B.2
C.1D.0
答案:
B
9.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列结论正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案:
D
10.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和平面β内,且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,则CD的长度为( )
A.13B.
C.12
D.15
答案:
A
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
11.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的即可)
答案:
BM⊥PC(其他合理即可)
12.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个说法:
①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;
②若a∥α,α⊥β,则a⊥β;
③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确的个数为________.
答案:
3
13.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=
,则异面直线AD与BC所成角的大小为________.
答案:
60°
14.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下三个结论.
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
说法正确的命题序号是________.
答案:
①②
三、解答题(共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分10分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA⊥平面ABCD,CD⊥PC,
(1)证明:
CD⊥平面PAC;
(2)若E为AD的中点,求证:
CE∥平面PAB.
证明:
(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.又CD⊥PC,PA∩PC=P,
∴CD⊥平面PAC.
(2)∵AD∥BC,AB⊥BC,AB=BC=1,
∴∠BAC=45°,∠CAD=45°,AC=
.
∵CD⊥平面PAC,∴CD⊥CA,
∴AD=2.
又∵E为AD的中点,
∴AE=BC=1,∴AE綊BC,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴CE∥AB.
又∵AB⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,
∴CE∥平面PAB.
16.(本小题满分12分)(山东高考)如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.
(1)求证:
BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:
DM∥平面BEC.
证明:
(1)取BD的中点O,连接CO,EO.
由于CB=CD,所以CO⊥BD,
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC⊂平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
因此BD⊥EO,
又O为BD的中点,
所以BE=DE.
(2)法一:
取AB的中点N,连接DM,DN,MN,
因为M是AE的中点,
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC,BE⊂平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形.
所以∠BDN=30°,
又CB=CD,∠BCD=120°,
因此∠CBD=30°,
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,
故平面DMN∥平面BEC.
又DM⊂平面DMN,
所以DM∥平面BEC.
法二:
延长AD,BC交于点F,连接EF.
因为CB=CD,∠BCD=120°,
所以∠CBD=30°.
因为△ABD为正三角形,
所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,
因此∠AFB=30°,所以AB=
AF.
又AB=AD,所以D为线段AF的中点.
连接DM,由于点M是线段AE的中点,
因此DM∥EF.
又DM⊄平面BEC,EF⊂平面BEC,
所以DM∥平面BEC.
17.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,BB1=2BC,D,E,F分别是CC1,A1C1,B1C1的中点,G在BB1上,且BG=3GB1.求证:
(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面GEF∥平面ABD.
证明:
(1)取BB1的中点为M,连接MD,如图所示.
因为BB1=2BC,且四边形BB1C1C为平行四边形,
所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形.
故∠CDB=∠BDM,∠MDB1=∠B1DC1,
所以∠BDM+∠MDB1=90°,即BD⊥B1D.
又AB⊥平面BB1C1C,B1D⊂平面BB1C1C,
所以AB⊥B1D.
又AB∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
(2)连接MC1,可知G为MB1的中点,
又F为B1C1的中点,所以GF∥MC1.
又MB綊C1D,
所以四边形BMC1D为平行四边形,
所以MC1∥BD,故GF∥BD.
又BD⊂平面ABD,所以GF∥平面ABD.
又EF∥A1B1,A1B1∥AB,AB⊂平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
又EF∩GF=F,故平面GEF∥平面ABD.
18.(本小题满分12分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=
,CE=EF=1.
(1)求证:
AF∥平面BDE;
(2)求证:
CF⊥平面BDE.
证明:
(1)设AC与BD交于点G.
∵EF∥AG,且EF=1,AG=
AC=1,
∴四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.
∵EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FG.
∵EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,
∴四边形CEFG为菱形.∴CF⊥EG.
∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD,
且平面ACEF∩平面ABCD=AC,
∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.
又BD∩EG=G,∴CF⊥平面BDE.
19.(本小题满分12分)如图所示,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:
(1)AO与A′C′所成角的度数;
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.
解:
(1)∵A′C′∥AC,
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵OC⊥OB,AB⊥平面BC′,
∴OC⊥AB.又AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.
又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=
,AC=
,
sin∠OAC=
=
,∴∠OAC=30°.
即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图所示,
作OE⊥BC于E,连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD,
∴OE⊥平面ABCD,∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中,OE=
,
AE=
=
,
∴tan∠OAE=
=
.
(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O,
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
20.(本小题满分12分)如图①,在平面四边形ABCD中,∠A=90°,∠B=135°,∠C=60°,AB=AD,M,N分别是边AD,CD上的点,且2AM=MD,
2CN=ND,如图①,将△ABD沿对角线BD折叠,使得平面ABD⊥平面BCD,并连接AC,MN(如图②).
(1)证明:
MN∥平面ABC;
(2)证明:
AD⊥BC;
(3)若BC=1,求三棱锥ABCD的体积.
解:
(1)证明:
在△ACD中,
∵2AM=MD,2CN=ND,
∴MN∥AC,
又∵MN⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴MN∥平面ABC.
(2)证明:
在△ABD中,AB=AD,∠A=90°,
∴∠ABD=45°.
∵在平面四边形ABCD中,∠B=135°,
∴BC⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD,
且BC⊂平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
∴BC⊥平面ABD,又AD⊂平面ABD,
∴AD⊥BC.
(3)在△BCD中,
∵BC=1,∠CBD=90°,∠BCD=60°,
∴BD=
.
在△ABD中,∵∠A=90°,AB=AD,
∴AB=AD=
,
∴S△ABD=
AB·AD=
,
由
(2)知BC⊥平面ABD,
∴VABCD=VCABD=
×
×1=
.
(B卷 能力素养提升)
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(共10小题,每小题6分,共60分)
1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
解析:
选D 由等角定理可知β=60°或120°.
2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析:
选D 若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.
3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,①DA1与BC1平行;②DD1与BC1垂直;③BC1与AC所成角为60°.
以上三个结论中,正确结论的序号是( )
A.① B.②
C.③ D.②③
解析:
选C ①错,应为DA1⊥BC1;②错,两直线所成角为45°;③正确,将BC1平移至AD1,由于三角形AD1C为等边三角形,故两异面直线所成角为60°,即正确命题序号为③,故选C.
4.已知l是直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中的真命题( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
C.若l∥α,α∥β,则l∥β
D.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
解析:
选D 对于A,若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,所以A错;
对于B,若α⊥β,l∥α,则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交,所以B错;
对于C,若l∥α,α∥β,则l∥β或l⊂β,所以C错;
对于D,若l⊥α,l∥β,则α⊥β,由面面垂直的判定可知选项D正确.
5.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
解析:
选C ∵MN∥PQ,由线面平行的性质定理可得MN∥AC,
从而AC∥截面PQMN,B正确;
同理可得MQ∥BD,
故AC⊥BD,A正确;
又∠PMQ=45°,故D正确.
6.α,β,γ是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:
①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( )
A.①或②B.②或③
C.①或③D.只有②
解析:
选C 若填入①,则由a∥γ,b⊂β,b⊂γ,b=β∩γ,又a⊂β,则a∥b;若填入③,则由a⊂γ,a=α∩β,则a是三个平面α、β、γ的交线,又b∥β,b⊂γ,则b∥a;若填入②,不能推出a∥b,可以举出反例,例如使β∥γ,b⊂γ,画一草图可知,此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b,有可能异面.从而A、B、D都不正确,只有C正确.
7.平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系是( )
A.c与a,b都异面
B.c与a,b都相交
C.c至少与a,b中的一条相交
D.c与a,b都平行
解析:
选D 如图,以三棱柱为模型.
∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ.
又∵a⊂β,β∩γ=c,
∴a∥c.∴a∥b∥c.
8.如下图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )
A.平行B.相交且垂直
C.异面D.相交成60°
解析:
选D 还原几何体,如图.可知D点与B点重合,△ABC是正三角形,所以选D.
9.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°,则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
解析:
选A 如图,二面角αlβ为45°,AB⊂β,且与棱l成45°角,过A作AO⊥α于O,作AH⊥l于H.连接OH、OB,则∠AHO为二面角αlβ的平面角,∠ABO为AB与平面α所成角.不妨设AH=
,在Rt△AOH中,易得AO=1;在Rt△ABH中,易得AB=2.
故在Rt△ABO中,sin∠ABO=
=
,
∴∠ABO=30°,为所求线面角.
10.如图
(1)所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,如图
(2)所示,那么,在四面体AEFH中必有( )
A.AH⊥△EFH所在平面
B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△EFH所在平面
解析:
选A 折成的四面体中有AH⊥EH,AH⊥FH,∴AH⊥平面HEF.故选A.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
11.如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=
,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于________.
解析:
∵A1B1∥AB,∴AB与BD1所成的角即是A1B1与BD1所成的角.连接AD1,
可知AB⊥AD1,在Rt△BAD1中,
AB=1,AD1=
,∴tan∠ABD1=
=
,
∴∠ABD1=60°,故A1B1与BD1的夹角为60°.
答案:
60°
12.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________.
解析:
取AC,A1C1的中点E,E1,连接BE,B1E1,EE1,由题意知平面BEE1B1⊥平面AC1,过D作DF⊥EE1于F,连接AF,则DF⊥平面AC1.∴∠DAF即为AD与平面AC1所成的角.可求得AD=
,DF=
,∴sin∠DAF=
=
.
答案:
13.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;
⑤若a,b与c成等角,则a∥b.
上述命题中正确的命题是________(只填序号).
解析:
由公理4知①正确;
当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;
当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;
a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;
当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.
答案:
①
14.给出下列命题:
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a,b中一条相交;
②若直线a与b异面,直线b与c异面,则直线a与c异面;
③一定存在平面α同时和异面直线a,b都平行.
其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号)
解析:
①中,异面直线a,b可以都与c相交,故不正确;②中,直线异面不具有传递性,故不正确;③中,过直线b上一点P作a′∥a,则a′、b确定一平面,则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a、b)都与异面直线a、b平行,故正确.
答案:
③
三、解答题(共6小题,共70分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算过程)
15.(本小题满分10分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为CC1,AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
解:
在平面AA1D1D内,延长D1F,∵D1F与DA不平行,∴D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈D1F,P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F,AD⊂平面ABCD,∴P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,连接PB,∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.
16.(本小题满分12分)在右图的几何体中,面ABC∥面DEFG,∠BAC=∠EDG=120°,四边形ABED是矩形,四边形ADGC是直角梯形,∠ADG=90°,四边形DEFG是梯形,EF∥DG,AB=AC=AD=EF=1,DG=2.
(1)求证:
FG⊥面ADF;
(2)求四面体CDFG的体积.
解:
(1)连接DF、AF,作DG的中点H,
连接FH,EH,
∵EF∥DH,EF=DH=ED=1,
∴四边形DEFH是菱形,∴EH⊥DF,
又∵EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴FG∥EH,∴FG⊥DF,
由已知条件可知AD⊥DG,AD⊥ED,
所以AD⊥面EDGF,所以AD⊥FG.
又∵
∴FG⊥面ADF.
(2)因为DH∥AC且DH=AC,
所以四边形ADHC为平行四边形,
所以CH∥AD,CH=AD=1,
由
(1)知AD⊥面EDGF,
所以CH⊥面DEFG.
由已知,可知在三角形DEF中,
ED=EF=1,∠DEF=60°,
所以,△DEF为正三角形,
DF=1,∠FDG=60°,
S△DEG=
·DF·DG·sin∠FDG=
.
四面体CDFG=
·S△DFG·CH
=
×
×1=
.
17.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,N为线段PB的中点,G在线段BM上,且
=2.
(1)求证:
AB⊥PD;
(2)求证:
GN∥平面PCD.
证明:
(1)因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又因为AD⊥AB,AD∩PA=A,
所以AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.
(2)因为△ABC是正三角形,且M是AC的中点,所以BM⊥AC.
在直角三角形AMD中,∠MAD=30°,
所以MD=
AD.
在直角三角形ABD中,∠ABD=30°,
所以AD=
BD,所以MD=
BD.
又因为
=2,所以BG=GD.
又N为线段PB的中点,所以GN∥PD.
又GN⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,
所以GN∥平面PCD.
18.(本小题满分12分)(浙江高考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:
A1D⊥平面A1BC;
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
解:
(1)证明:
设E为BC的中点,
连接AE,A1E,DE,
由题意得A1E⊥平面ABC,
所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,
所以AE⊥BC.
又因为A1E,BC⊂平面A1BC,A1E∩BC=E,
故AE⊥平面A1BC.
由D,E分别为B1C1,BC的中点,
得DE∥B1B且DE=B1B,
从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以四边形AA1DE为平行四边形.
于是A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
(2)作A1F⊥DE,垂足为F,连接BF.
因为A1E⊥平面ABC,所以BC⊥A1E.
因为BC⊥AE,AE∩A1E=E,
所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.
又因为DE∩BC=E,所以A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.
由AB=AC=2,∠CAB=90°,得EA=EB=
.
由A1E⊥平面ABC,得A1A=A1B=4,A1E=
.
由DE=BB1=4,DA1=EA=
,∠DA1E=90°,得A1F=
.所以sin∠A1BF=
.
19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:
平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:
C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥EABC的体积.
解:
(1)证明:
在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC,
所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,BB1∩BC=B,
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB⊂平面ABE,
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明:
取AB中点
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 学年 数学 上册 阶段 质量 检测