离散数学期末复习题.docx
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离散数学期末复习题
《离散数学》复习题
一、单项选择题
1.给定如下4个语句:
(2)除非天下雨,否则我就去踢足球。
(4)我在说谎。
(1)刘红与魏新是同学。
(3)我每天都看新闻联播。
其中不是复合命题的是(B)。
A.
D.⑶⑷
⑶B.
(1)(3)(4)C.
(1)(3)
2.下列式子不是谓词合式公式的是(B)。
A.(-x)P(x)tR(y)
B.(-X)nP(x)=(-x)(P(x)tQ(x))
C•(F(y)(P(x)AQ(y))t(x)R(x)
D•(—x)(P(x,y)TQ(x,z))V(z)R(x,z)
3.命题公式(一P—Q)—(—QP)中成真赋值的个数为(D)。
A.0B.1C.2D.3
4.在下述公式中是重言式为(A)。
A.(PQ)—;(PQ)B.P.Q
C.一(P—;Q)Q;D.P—;(-PQ)。
5.谓词公式(—x)(P(x)V(y)R(y))tQ(x)中的y(A)。
A.只是约束变元B.只是自由变元
C.既非约束变元又非自由变元D.既是约束变元又是自由变元
6.设R,S是集合A上的关系,则下列说法正确的是(A)。
A.若R,S是自反的,则RS是自反的;
B•若R,S是反自反的,则RS是反自反的;
C.若R,S是对称的,则RS是对称的;
D.若R,S是传递的,则RS是传递的。
7.下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是(B)。
-
1
0
01
B.
0
1
1
-
1
0
1J
1
0
1〕
D.
0
1
0
_1
0
0一
"1011
A.011
100一
"001〕
C.001
」00一
8.下面四组数能构成无向简单图的度数列的有(A)。
A.(2,2,2,2,2)
B.(1,1,2,2,3)
C.(5,4,3,2,2)
D.(0,1,3,3,3)
9.下列图中是欧拉图的有(A)。
[A]
[D]
10.
设图G的邻接矩阵为
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
,则
G的顶点数与边数分别为(
D)。
A.4,5
B.5,6
C.4,10
D.5,8
11.一棵无向树
T有4度、
3度、2度的分支点各
1个,其余顶点均为树叶,则T中有(C)
片树叶。
A.3
B.4
C.5D.
6
12.若图G有一条通路经过图中每条边恰好一次,则G(A)。
A.有一条欧拉通路
C.有一条哈密顿通路
13.设P,Q,R是命题公式,则
B.是欧拉图
D.是哈密顿图
PtR,QtR,PVQ=(C)。
A.P
B.QC.RD.nR
14.命题公式(一P'Q)'(一QP)中极小项的个数为(D)。
A.0B.1C.2D.315.设S={1,2,3},S上关系R的关系图为
则R具有(D)性质。
A.自反性、对称性、传递性B.反自反性、反对称性
C.反自反性、反对称性、传递性D•自反性
16.谓词公式(_x)(P(x)V(y)R(y))tQ(x)中的x(D)。
A.只是约束变元B.只是自由变元
C.既非约束变元又非自由变元D.既是约束变元又是自由变元
17.设个体域为整数集,则下列公式中值为真的是(B)。
A.(一y)(x)(x•y=2)B.(一x)(y)(x+y=2y)
C.(_x)(x•y=x)D.(Tx)(_y)(x+y=3y)
18.设S={1,2,3},贝US的幕集的元素的个数有(A)。
A.8个B.6个C.3个D.7个
19.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},贝UR具有(B)
A.自反性B.传递性C.对称性D.以上答案都不对
20.下面四组数能构成无向简单图的度数列的有(A)。
A.(5,5,4,4,2,1)B.(5,4,3,2,2)
C.(3,3,3,1)D.(4,4,3,3,2,2)
21.一棵树的3个4度点,4个2度点,其它的都是1度,那么这棵树的边数是(B)。
A.13B.14
C.15D.16
22.若图G有一条通路经过图中每个顶点恰好一次,则G(C)。
A.有一条欧拉通路B.是欧拉图
C.有一条哈密顿通路D.是哈密顿图
二、填空题
1.Q的主析取范式中,含有2个极小项。
2.设有集合A和,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B=⑶,
P(A)-P(B)={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。
3.由集合运算的吸收律,AI(AUB)=A,AU(AIB)=A。
4.给定集合A={1,2,3,4,5},在集合A上定义两种关系:
R={<1,2>,<3,4>,<2,2>},
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>},贝URS={<1,5>,<2,5>,<3,2>},
SR=,{<1,4>,<3,2>,<4,2>}。
5.设A={x|-1_x_2,xR},B={x|0:
:
x_5,xR},则A-B={x|-1_x_0},~A={x|2:
:
x_5}。
6.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性、对称性和传递
性。
7.设一阶逻辑公式G=~xP(x)r_xQ(x),贝UG的前束范式是Tx(—P(x)VQ(x))。
三、计算题
1.画出命题公式(PtQ)t(PAnR)的真值表,并求它的主合取范式,写出相应的成真赋值和成假赋值。
真值表如下表:
主合取范式为:
M0AM1AM2AM3AM7
成真赋值为:
100,101,110
成假赋值为:
000,001,010,011,111
P
Q
R
iQ
PAnR
(PtQ)t(PAnR)
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
2.今有111人购买A,B,C三种股票,已知只买了一种股票的共75人,买了A股和B股的
共有20人,买了B股和C股的共有9人,买了A股和C股的共17人,只买A股的共
31人,只买B股的共23人。
试求:
1)三种股票都买的有几人?
2)买A股、B股和C股的各几人?
根据题意画出文氏图如下图
解:
设集合A,B,C分别表示购买A,B,C三种股票的人的集合。
所示。
设三种股票都买的有x人,由已知条件填写图中相应区域。
IC-(AnB)I=75-31-23=21
由已知条件,可得以下方程:
(20-x)+x+(9-x)+(17-x)+31+23+21=111
解得:
x=5
故IAI=31+(20-5)+5+(17-5)=63
IBI=23+(20-5)+5+(9-5)=47
ICI=21+(9-5)+5+(17-5)=42
因而可得,三种股票都买的有5人。
买A股的有63人,买B股的有47人,买C股的有42人。
、02
3.设集合A={a,b,c,d}上的二元关系R={,,,
解R°=IA={:
:
a,a,:
b,b,:
c,c,:
:
d,d}
-
1
1
0
01
[
1
1
0
01
1
0
0
0
1
1
0
0
Mr=
,MR2=Mr.Mr=
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0_
11
1
1
0
0一
写出R的关系矩阵,
2
故R={:
a,a,:
a,b,:
b,a,:
b,b,:
c,a,:
d,a,:
d,b}
r(R)=RIa={:
:
a,b,:
:
b,a,:
:
c,d,:
:
d,a,:
:
a,a,:
:
b,b,:
:
:
c,c,:
:
:
d,d}
1
s(R)=RR={:
:
a,a,:
a,b,:
b,a,:
a,d,:
:
d,a,:
c,d,:
d,c}
4.
t(R)={■.a,a,:
:
a,b,:
:
b,a,:
:
b,b
画出R的关系图(如下图所示),并根据沃舍尔算法画出t(R)的关系图
「:
d,b}
设A二1,2,3,5,6,9,15,27,36,45?
上的整除关系
R-\a1,a2|a1,a^人印整除a2/,
1)画出R的哈斯图;
2)求9,9曲勺最小上界和最大下界
答案:
R是A上的偏序关系。
1)R的哈斯图:
35
2)<2,9詁勺最小上界lub「2,9X36,最大下界glb「2,9;=1
5.如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,v3,LL,v7及预先算出它们之间的一些直
接通信线路造价,试给出一个设计方案,使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
答案:
用Kruskal算法求产生的最优树。
算法为:
w(v1,v7)=1
选g二v1v7
w(v7,v2)=4
选e2二V7V2
W(V7,V3)=9
选e3=V7V3...
way)=3
选e=v3v4-】;”■':
丁彳
w(V4,V5)=17
选e=v4v5■
w(v「V6)=23
选e=v1v61广';
结果如图:
树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价
6.有向图D如下图所示
1)写出D的关联矩阵和邻接矩阵;
2)求出各顶点的入度和出度。
解:
1)写出D的关联矩阵和邻接矩阵
关联矩阵Md
-1
2)写出各顶点的出度和入度
出度
d(VJ=1d—(VJ=2
d(V2)=2
d(V3)=0
d(V4)=2
1
0
0
-n
■0
1
0
01
1
1
0
0
1
0
0
1
,邻接矩阵A=
-
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
-1
1
1一
J
0
1
0一
入度
d一(V2)=1
d@3)=1
dg)=1
7.解求命题公式(pq)>r的主析取范式和主合取范式,并求其成真赋值。
答案:
(pVq—rn(pVq)Vr
二(npAnq)Vr
=(npVr)A(jqVr)
二(npV(nqAq)Vr)A((npAp)VjqVr)
u(npVnqVr)A(npVqVr)A(npVnqVr)A(pVnqVr)
:
=M2M4M6
=momim^mtm7
其成真赋值为000,001,011,101,111&求从1到500的整数中,能被3或5除尽的数的个数。
解:
设A为从1到500的整数中,能被3除尽的数的集合。
B为从1到500的整数中,能被5除尽的数的集合。
则|A|=[500/3]=166([x]表示不超过x的最大整数)
|B|=[500/5]=100
|AnB|=[500/(3*5)]=33
由包含排斥原理:
|AUB|=|A|+|B|-|AnB|=166+100-33=233
即从1到500的整数中,能被3或5除尽的数有233个。
9.设A二{1,2,3,4},A上二元关系R二{:
:
1,1,:
:
2,3,:
:
2,4,:
:
3,2,:
:
3,4}求其
自反闭包、对称闭包、传递闭包。
答案:
(计算过程自己补充)
自反闭包r(R)=f:
:
1,1,:
:
2,3,:
:
2,4,:
:
3,2,:
:
3,4,:
:
2,2,:
:
3,3,:
:
4,4}
对称闭包s(R)={:
:
1,1「:
2,3,:
:
2,4,:
:
3,2,:
:
3,4,:
:
4,2,:
:
4,3}
传递闭包t(R)二{:
:
:
1,1,:
:
2,3「:
2,4,:
:
3,2,:
:
3,4,:
:
2,2,:
:
3,3}
10.对集合A中的整除关系画出哈斯图,A={1,2,3,4,6,8,12,14},并求A的极大元、
极小元、最小元和最大元。
解:
首先画出哈斯图(如右图所示)
极小元:
1
极大元:
14,8,12
最小元:
1
最大元:
无
11.在二叉树中
1)求带权为2,3,5,7,8的最优二叉树T。
2)求T对应的二元前缀码。
12.
13.
8
无向图G如下图所示
1)
2)
3)
画出顶点集{V1,V2,
写出G的关联矩阵。
求G中各顶点的度数。
解:
1)
-
2
1
0
1
01
关联矩阵Mg=
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1一
写出G的关联矩阵
2)求各顶点的度数
d(Vj=4d(V2)=2dM)=3
dM)=1
3)画出顶点集{V1,V2,V4}的导出子图G
V1。
V4
e2
V2
四、证明题
1.在谓词逻辑中,将下列命题推理符号化并给出形式证明:
任何人,如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车。
每一个人或者喜欢乘汽车,或者喜欢骑
自行车。
并非每个人都喜欢骑自行车。
因此,有的人不爱步行。
(个体域为人类集合)
解:
设F(x):
x喜欢步行,G(x):
x喜欢乘汽车,H(x):
x喜欢骑自行车则上述推理可以符号化为:
x(F(x)r(G(x)),
-x(G(x)VH(x)),n一xH(x)卜xnF(x)
证明:
(1)「一xH(x)
P
(2)xnH(x)
T
(1),E
⑶「H(c)
T
(2),I
(4)-x(G(x)VH(x))
P
(5)G(c)VH(c)
T(4),I
⑹G(c)
T(3)(5),I
⑺x(F(x)t(G(x))P
(8)F(c)r(G(c)
T(7),I
(9)nF(c)
T(6)(8),I
(10)xnF(x)
T(9),I
2.在谓词逻辑中,将下列命题推理符号化并给出形式证明:
如果一个人怕困难,那么他就不会获得成功。
每个人或者获得成功或者失败过。
证明:
有些人未曾失败过,所以有些人不怕困难。
(个体域为人类集合)
解:
D(x):
x怕困难,S(x):
x获得成功,F(x):
x失败
前提:
-x(D(x)S(x)),-x(S(x)F(x)),「F(x)
结论:
-.IxP(x)
证明:
(1)X—F(x)P
(2)F(c)T
(1),ES
(3)-x(S(x)F(x))P
⑷S(c)F(c)T
(2),US
(5)S(c)T
(2)(4),l
(6)-x(D(x)t—S(x))P
(7)D(c)t—s(c)T(6),US
(8)-D(c)T(5)⑺,1
(9)x—D(x)T(8),EG
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