完整版新版线性代数习题及答案复旦版主编周勇朱砾docx.docx
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性代数及答案allin
一
1.求下列各排列的逆序数.
(1)341782659;
(2)987654321;
(3)n(n1)⋯321;(4)13⋯(2n1)(2n)(2n2)⋯2.
【解】
(1)τ(341782659)=11;
(2)τ(987654321)=36;
n(n1)
(3)τ(n(n1)⋯3·2·1)=0+1+2+⋯+(n1)=;
2
(4)τ(13⋯(2n1)(2n)(2n2)⋯2)=0+1+⋯+(n1)+(n1)+(n2)+⋯+1+0=n(n1).
2.略.教材参考答案.
3.略.教材参考答案.
5x
1
2
3
x
x
1
2
x3
和x4
4.本行列式D4
2
x
的展开式中包含
的.
1
3
x
1
2
2x
解:
D
4
(1)
(i1i2i3i4)a
a
a
a
,其中i1,i2,i3,i4分不同列中元素的行下,
D4展
i1
i
2i
3i4
i1i2i3i4
1
2
3
4
开式中含x3
有
(1)(2134)
x1x2x
(
1)(4231)
x
xx32x3
(3x3)5x3
D4展开式中含x4有
(1)(1234)2xxx2x10x4.
5.用定算下列各行列式.
0
2
0
0
1
2
3
0
0
0
1
0
0
0
2
0
(1)
0
0
;
(2)
0
4
.
3
0
3
5
0
0
0
4
0
0
0
1
【解】
(1)D=(
1)τ(2314)4!
=24;
(2)D=12.
6.算下列各行列式.
1
(1)
(3)
2
1
4
1
ab
ac
ae
3
1
2
1
(2)bd
cd
de;
1
2
3
;
2
bf
cf
ef
5
0
6
2
a
1
0
0
1
2
3
4
1
b
1
0
2
3
4
1
0
1
c
;
(4)
4
1
.
1
3
2
0
0
1
d
4
1
2
3
5
0
6
2
r
1r23
1
2
1
【解】
(1)D
1
2
3
0;
2
5
0
6
2
1
1
1
(2)D
abcdef
1
1
1
4abcdef;
1
1
1
b
1
0
1
1
0
abc
1
1
1
(3)D
a1
c
1
(
1)20
c
1
cd1
0
1
d
0
1
d
1
d
0
d
abcd
ab
ad
cd
1;
10
2
3
4
10
2
3
4
10
2
3
4
c1c210341r2r1011
3r32r2011
3
160.
(4)D
r3r1
02
2
2
r4r2
00
44
c1c3
cc
1041
2r
r
1
4
4
1
10
1
2
3
0
1
1
1
0
0
0
4
7.证明下列各式.
a2
ab
b2
(1)2a
ab
2b(ab)2;
1
1
1
a2
(a
1)2
(a
2)2
(a
3)2
b2
(b
1)2
(b
2)2
(b
3)2
0;
(2)
(c
1)2
(c
2)2
(c
3)2
c2
d2
(d
1)2
(d
2)2
(d
3)2
1
a2
a3
1
a
a2
(3)1
b2
b3
(ab
bc
ca)1
b
b2
1
c2
c3
1
c
c2
2
a
0
0
b
O
N
(4)D2n
0
a
b
0
(adbc)n;
0
c
d
0
N
O
c
0
0
d
1a1
1
L
1
1
1
a2
L
1
1
n
1
n
ai.
(5)
M
M
ai
M
i
1
i1
1
1
1
an
【证明】
(1)
c
c
(a
b)(ab)
b(a
b)
b
2
1
3
左端
c3
2(a
b)
a
b
2b
c2
0
0
1
(a
b)(a
b)
b(a
b)
(ab)2
a
b
b
(ab)3
右端.
2(a
b)
a
b
2
1
a2
2a
1
4a
4
6a
9
c2-c1
b2
2b
1
4b
4
6b
9
(2)左端
c
2
2c
1
4c
4
6c
9
c3
c1
c
c
4
1
d2
2d
1
4d
4
6d
9
a2
2a
1
2
6
c3-2c2
b2
2b
1
2
6
右端.
c2
2c
1
2
0
c43c2
6
d2
2d
1
2
6
(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:
1
x
x2
x3
1
a
a2
a3
(x
a)(x
b)(x
c)(a
b)(ac)(b
c)
(*)
f(x)
b
b2
b3
1
1
c
c2
c3
从上面的4阶范德蒙行列式知,多项式
f(x)的x的系数为
1
a
a2
(ab
bc
ac)(ab)(a
c)(b
c)
(ab
bcac)1
b
b2
1
c
c2
但对(*)式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等,故
1a2a3
1123
(1)1bb,
(4)对D2n按第一行展开,得
3
D2n
据此递推下去,可得
a
b
0
0
a
b
O
N
O
N
a
b
a
b
a
c
d
b
c
d
N
O
N
O
c
d
0
0
c
d
0
0
d
c
0
0
ad
D2(n1)
bcD2(n1)
(ad
bc)D2(n1),
D2n(ad
bc)D2(n1)
(ad
bc)2D2(n2)
L
(adbc)n
1D2
(adbc)n1(adbc)
(ad
bc)n
D2n(adbc)n.
(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时,可直接验算结论成立,假定对这样的
n
1阶行列式结论成立,进而证明阶数为
n时结论也成立.
按Dn的最后一列,把
Dn拆成两个n阶行列式相加:
1
a1
1
L
1
1a1
1
L
1
0
1
1a2
L
1
0
1
1a2L
1
1
Dn
1
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
1
L
1an1
0
1
1
L
1
1
1
1
L
1
an
1
a1a2Lan1
anDn1.
但由归纳假设
n1
1
Dn1a1a2Lan11
i1
ai
从而有
n
1
1
Dna1a2Lan1ana1a2Lan11
ai
i
1
n
1
n
1
n
a1a2Lan1an1
1
ai.
i1ai
i
1
aii1
8.计算下列n阶行列式.
4
x
1
L
1
1
2
2
L
2
2
2
2
L
2
1
x
L
1
(1)
Dn
(2)
Dn2
2
3
L
2;
MM
M
L
L
L
L
L
1
1
L
x
2
2
2
L
n
x
y
0
L
0
0
0
x
y
L
0
0
(3)D
n
L
L
L
L
L
L
.(4)D
n
a
其中a
i
j(i,j1,2,L,n);
ij
ij
0
0
0
L
x
y
y
0
0
L
0
x
2
1
0
L
0
0
1
2
1
L
0
0
(5)
Dn
0
1
2
L
0
0
.
MMM
MM
0
0
0
L
2
1
0
0
0
L
1
2
【解】
(1)
各行都加到第一行,再从第一行提出
x+(n1),得
1
1
L
1
Dn
[x
(n
1)]
1
x
L
1
MM
M
1
1
L
x
将第一行乘(
1)后分别加到其余各行,得
1
1
L
1
Dn
[x
(n
1)]
1
x1
L
0
(x
n
1)(x
1)n1.
M
M
M
0
0
Lx
1
1
2
2
2
L
2
2
2
2
L
2
1
0
0
0
L
0
0
1
0
L
0
r2
r11
0
1
0
L
0
(2)
Dn
按第二行展开
0
0
2
L
0
2(n2)!
.
r3
Mr1
1
0
0
2
L
0
rnr1MMMM
M
MMM
L
M
1
0
0
0
L
n
2
0
0
0
n2
(3)行列式按第一列展开后,得
5
x
y0
L
0
0
y00
L
0
0
0
x
y
L
0
0
xy0
L
0
0
DnxMM
MMM
M
y
(1)n10xy
L
0
0
0
0
0
L
x
y
MMM
MM
y0
0
L0
x
000
Lxy
x
x(n
1)
y(
1)(n1)
y(n1)
xn
(
1)n1yn.
(4)由题意,知
a11
a12
L
a1n
0
1
2
L
n
1
1
0
1
L
n
2
a21
a22
L
a2n
Dn
2
1
0
L
n
3
M
M
M
M
M
M
M
an1
an2
L
ann
n1
n
2
n
3
L
0
0
1
2
L
n
2
n
1
1
1
1
L
1
1
后一行减去前一行
1
1
1
L
1
1
自第三行起后一行减去前一行
M
M
M
M
M
1
1
1
L
1
1
1
1
1
L
1
1
0
1
2
L
n2n
1
1
2
L
n
2
n1
1
1
1
L
1
1
2
0
L
0
0
0
2
0
L
0
0
按第一列展开
0
2
L
0
0
M
M
M
M
M
MM
M
M
0
0
0
L
0
0
0
0
L
2
0
0
0
0
L
2
0
2
0
L
0
按第n-1列展开(
1)n1(n
1)
0
2
L
0
(1)n1(n
1)2n
2
.
MM
M
0
0
L
2
2
1
0
L
0020
0
L
0
00
1
0
L
00
1
2
1
L
0012
1
L
0
01
2
1
L
00
(5)Dn
0
1
2
L
0001
2
L
0
00
1
2
L
00
MMM
MMMMM
MMMMM
MM
0
0
0
L
2100
0
L
2
10
0
0
L
21
0
0
0
L
1200
0
L
1
20
0
0
L
12
2Dn
1
Dn2.
6
即有DnDn1Dn1Dn2LD2D11
由
DnDn1
Dn1
Dn2
LD2
D1
n1得
Dn
D1
n1,Dn
n12n1.
9.计算n阶行列式.
1
a1
a2
L
an
Dn
a1
1
a2
L
an
M
M
M
a1
a2
L
1
an
n
【解】各列都加到第一列,再从第一列提出
1
i1
ai,得
1
a2
a3
L
an
n
1
1
a2
a3
L
an
1a3L
Dn
1
ai
1a2
an
i
1
M
M
M
M
1
a2
a3
L
1an
将第一行乘
(1)后加到其余各行,得
1
a2
a3
L
an
n
0
1
0
L
0
n
Dn
1
ai
001L01
ai.
i
1
MM
M
M
i1
0
0
0
L
1
10.计算n阶行列式(其中ai
0,i
1,2,L
n).
a1n1
a2n1
a3n1
L
ann1
a1
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