完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx.docx
- 文档编号:7492962
- 上传时间:2023-01-24
- 格式:DOCX
- 页数:54
- 大小:43.44KB
完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx.docx
《完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx.docx(54页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案docx
因式分解的常用方法第一部分:
方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法
灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法.:
ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a
-b)=a
2
2
2
2
-b);
-b---------a
-b=(a+b)(a
(2)(a
±b)2=a
2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)(a+b)(a
2
2
3
3
3
3
2
2
;
-ab+b)=a
+b------a
+b=(a+b)(a
-ab+b)
(4)(a
-b)(a2+ab+b2)=a
3
-b
3------a
3
-b
3=(a-b)(a
2+ab+b2).
下面再补充两个常用的公式:
2
2
2
2
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)
;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a
2+b2+c2-ab-bc-ca);
例.已知a,b,c是
ABC的三边,且a2
b2
c2
ab
bc
ca,
则
ABC的形状是(
)
A.直角三角形
B等腰三角形
C
等边三角形
D等腰直角三角形
解:
a2
b2
c2
ab
bc
ca
2a2
2b2
2c2
2ab
2bc2ca
(ab)2
(bc)2
(ca)2
0
abc
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
amanbmbn
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用
公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考
1
虑两组之间的联系。
解:
原式=(aman)(bmbn)
=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式!
=(mn)(ab)
例2、分解因式:
2ax10ay5bybx
解法一:
第一、二项为一组;解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解:
原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)
=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)
=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)
练习:
分解因式1、a2abacbc2、xyxy1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
x2y2axay
分析:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:
原式=(x2
y2)
(ax
ay)
=(x
y)(x
y)
a(x
y)
=(x
y)(x
ya)
例4、分解因式:
a2
2ab
b2
c2
解:
原式=(a2
2ab
b2)
c2
=(ab)2
c2
=(abc)(abc)
练习:
分解因式3、x2
x
9y2
3y
4、x2
y2
z2
2yz
综合练习:
(1)x3
x2y
xy2
y3
(2)ax2
bx2
bx
ax
ab
(3)x2
6xy
9y2
16a2
8a
1(4)a2
6ab12b
9b2
4a
(5)a4
2a3
a2
9
(6)4a2x4a2yb2xb2y
(7)x2
2xy
xz
yz
y2
(8)a2
2ab2
2b
2ab1
(9)y(y
2)
(m
1)(m
1)
(10)(a
c)(a
c)
b(b
2a)
(11)a2(bc)
b2(a
c)
c2(a
b)2abc(12)a3
b3
c3
3abc
2
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<a≤5,且a为整数,若2x2
3xa能用十字相乘法分解因
式,求符合条件的a.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求
b2
4ac
>0而且是一个完全平方数。
于是
98a为完全平方数,a1
例5、分解因式:
x2
5x
6
分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于
5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3
的分解适合,即
2+3=5。
1
2
解:
x2
5x
6=x2
(23)x23
1
3
=(x
2)(x3)
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
x2
7x
6
解:
原式=x2
[
(1)
(6)]x
(1)(6)
=(x
1)(x
6)
1-1
1-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式
(1)
x2
14x
24
(2)a2
15a
36(3)x2
4x
5
练习6、分解因式
(1)
x2
x
2
(2)y2
2y15
(3)x2
10x
24
3
(二)二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件:
(1)aa1a2
a1
c1
(2)c
c1c2
a2
c2
(3)b
a1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果:
ax2
bx
c=(a1xc1)(a2x
c2)
例7、分解因式:
3x211x10
分析:
1
-2
3
-5
(-6)+(-5)=-11
解:
3x2
11x10=(x
2)(3x
5)
练习7、分解因式:
(1)5x2
7x6
(2)
3x2
7x2
(3)10x2
17x3
(4)
6y2
11y10
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
a28ab128b2
分析:
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相
乘法进行分解。
1
8b
1
-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
a2
8ab128b2=a2
[8b
(16b)]a8b(16b)
=(a
8b)(a
16b)
练习8、分解因式
(1)x23xy2y2
(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2
(四)二次项系数不为
1的齐次多项式
例9、2x2
7xy6y2
例10、x2y2
3xy2
1
-2y
把xy看作一个整体1
-1
2
-3y
1
-2
(-3y)+(-4y)=-7y
(-1)+(-2)=-3
解:
原式=(x2y)(2x
3y)
解:
原式=(xy
1)(xy
2)
练习9、分解因式:
(1)15x2
7xy
4y2
(2)a2x2
6ax
8
4
综合练习10、
(1)8x6
7x3
1
(2)12x2
11xy
15y2
(3)(xy)2
3(xy)
10
(4)(ab)2
4a
4b
3
(5)x2y2
5x2y6x2
(6)m2
4mn
4n2
3m
6n
2
(7)x2
4xy
4y2
2x
4y
3(8)5(a
b)2
23(a2
b2)
10(a
b)2
(9)4x2
4xy
6x
3y
y2
10(10)12(xy)2
11(x2
y2)
2(x
y)2
思考:
分解因式:
abcx2
(a2b2
c2)xabc
五、换元法。
例13、分解因式
(1)2005x2
(20052
1)x
2005
(2)(x1)(x
2)(x3)(x
6)
x2
解:
(1)设2005=a,则原式=ax2
(a2
1)x
a
=(ax
1)(x
a)
=(2005x1)(x
2005)
(2)型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2
7x6)(x2
5x6)x2
设x2
5x
6A,则x2
7x6A2x
∴原式=(A
2x)Ax2
=A2
2Axx2
=(A
x)2=(x2
6x6)2
练习13、分解因式
(1)(x
(2)(x
(3)(a
2
xy
y2)2
4xy(x2
y2)
2
3x
2)(4x2
8x
3)90
2
1)2
(a2
5)2
4(a2
3)2
例14、分解因式(
1)2x4
x3
6x2
x2
观察:
此多项式的特点——是关于
x的降幂排列,每一项的次数依次少
1,
并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”
。
方法:
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
解:
原式=x2(2x2
x
6
1
1
)=x2
2(x21
)(x
1)
6
x
x2
x2
x
设x
1
t,则x2
1
t2
2
2
x
2
x2
2
2
∴原式=
x
2
2)
t
6
=x
2t
t10
(t
5
=x22t5t2=x22x
2
5x
1
2
x
x
=x·2x
2
5·x·x
1
2
=2x2
5x2x2
2x1
x
x
=(x
1)2(2x
1)(x
2)
(2)x4
4x3
x2
4x1
2
2
4x
1
4
1
=x
2
x
2
1
4x
1
解:
原式=x(x
x
2)
x2
1
x
x
设x
1
y,则x2
1
y2
2
x
x2
∴原式=x2(y2
4y
3)
=x2(y
1)(y
3)
=x2(x
1
1)(x
1
3)=x2
x1x2
3x1
x
x
练习14、
(1)6x4
7x3
36x2
7x
6
(2)x4
2x3
x2
12(xx2)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)x3解法1——拆项。
原式=x3
13x2
3
=(x
1)(x2
x
1)
=(x
1)(x2
x
1
=(x
1)(x2
4x
4)
=(x
1)(x
2)2
3x2
4
解法2——添项。
原式=x3
3x2
4x4x4
3(x1)(x1)
=x(x2
3x
4)
(4x
4)
3x3)
=x(x
1)(x
4)
4(x
1)
=(x
1)(x2
4x
4)
=(x
1)(x
2)2
(2)x9
x6
x3
3
解:
原式=(x9
1)(x6
1)
(x3
1)
=(x3
1)(x6
x3
1)(x3
1)(x3
1)(x3
1)
=(x3
1)(x6
x3
1x3
11)
=(x
1)(x2
x1)(x6
2x3
3)
练习15、分解因式
(1)x3
9x
8
(2)(x1)4
(x2
1)2
(x1)4
(3)x4
7x2
1
(4)x4
x2
2ax
1
a2
(5)
4
4
4
2
2
2
2
2
2
4
4
4
x
y
(x
y)
()2ab
2ac2bc
ab
c
6
6
七、待定系数法。
例16、分解因式x2
xy
6y2
x
13y6
分析:
原式的前
3项x2
xy
6y2
可以分为(x3y)(x
2y),则原多项式
必定可分为(x3ym)(x
2y
n)
解:
设x2
xy
6y2
x
13y
6=(x
3y
m)(x2y
n)
∵(x3y
m)(x
2y
n)=x2
xy
6y2
(m
n)x
(3n
2m)y
mn
∴
x2
xy
6y2
x
13y
6=x2
xy
6y2
(m
n)x
(3n
2m)y
mn
m
n
1
m
2
3n
对比左右两边相同项的系数可得
2m13,解得
3
mn
6
n
∴原式=(x3y2)(x2y
3)
例17、
(1)当m为何值时,多项式x2
y2
mx
5y6能分解因式,并分
解此多项式。
(2)如果x3ax2
bx
8有两个因式为x
1
和x
2,求a
b的值。
(1)分析:
前两项可以分解为
(x
y)(xy),故此多项式分解的形式必
为(x
y
a)(x
y
b)
解:
设x2
y2
mx
5y
6=(x
y
a)(x
yb)
则x2
y2
mx5y6=x2
y2
(ab)x(ba)yab
a
b
m
a
2
a2
比较对应的系数可得:
b
a
5,解得:
b
3或b
3
ab
6
m
1
m
1
∴当m
1时,原多项式可以分解;
当m1
时,原式=(x
y
2)(x
y
3);
当m
1时,原式=(x
y
2)(xy
3)
(2)分析:
x3
ax2
bx
8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,
因此第三个因式必为形如
x
c的一次二项式。
解:
设x3
ax2
bx
8=(x1)(x
2)(x
c)
则x3ax2
bx8=x3(3c)x2
(23c)x2c
7
a
3
c
a
7
∴b
2
3c
解得b
14,
2c
8
c
4
∴ab=21
练习17、
(1)分解因式
x
2
3
10
y
2
x
9
y
2
xy
(2)分解因式x2
3xy
2y2
5x
7y
6
(3)已知:
x2
2xy
3y2
6x
14y
p能分解成两个一次因式
之积,求常数
p并且分解因式。
(4)k为何值时,x2
2xy
ky2
3x
5y2能分解成两个一次
因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:
习题大全
经典一:
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=
.
3.分解因式:
x2-4y2=__
_____.
4、分解因式:
x2
4x
4=_________________。
n
分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)
,则
n的值
5.将x-yn
为
.
6、若xy
5,xy
6,则x2yxy2
=_________,2x2
2y2
=__________。
二、选择题
7、多项式15m3n2
5m2n
20m2n3
的公因式是(
)
A、5mn
B
、5m2n2
C
、5m2nD
、5mn2
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是
(
)
A、
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 因式分解 常用 方法 目前 最牛最全 教案 docx