二次函数新课讲义通用6.docx
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二次函数新课讲义通用6
二次函数讲义
第1课时二次函数
第2课时二次函数y=ax2的图象与性质
第3课时二次函数y=ax2+k的图象与性质
第4课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质第5课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质第6课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
第7课时二次函数y=ax+bx+c的性质
第8课时二次函数y=ax2+bx+c解析式求法
第9课时二次函数y=ax2+bx+c的性质
第10课时用函数观点看一元二次方程
第11课时实际问题与二次函数
第12课时实际问题与二次函数
第1课时二次函数
一、阅读课本:
二、学习目标:
1.知道二次函数的一般表达式;
2.会利用二次函数的概念分析解题;
3.列二次函数表达式解实际问题.
三、知识点:
一般地,形如的函数,叫做二次函数。
其中x是,a是
,b是,c是.
四、基本知识练习
1.观察:
①y=6x2;②y=-32x2+30x;③y=200x2+400x+200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是次.一般地,如果y=ax2+bx+c(a、
b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的.
2.函数y=(m-2)x2+mx-3(m为常数).
(1)当m时,该函数为二次函数;
(2)当m时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?
哪些不是?
若是二次函数,请指出各项对应项的系数.
22
(1)y=1-3x2
(2)y=3x2+2x(3)y=x(x-5)+2
32
(4)y=3x3+2x2(5)y=x+x
x
五、课堂训练
2
1.y=(m+1)xmm-3x+1是二次函数,则m的值为.
2.下列函数中是二次函数的是()
12221
A.y=x+2B.y=3(x-1)C.y=(x+1)-xD.y=x2-x
2x
3.在一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为
s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为()
A.28米B.48米C.68米D.88米
4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
A.a=1
B.a=±1
C.a≠1
D.a≠-1
2.下列函数中,
是二次函数的是(
)
2A.y=x-
1B.y=x-1
C.y=8
x
8
D.y=x2
3.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
4.已知二次函数y=-x2+bx+3.当x=2时,y=3,求这个二次函数解析式.
2课时二次函数y=ax2的图象与性质
、阅读课本:
、学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物线;
2.会画二次函数y=ax2的图象;
3.掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用.、探索新知:
画二次函数y=x2的图象.
【提示:
画图象的一般步骤:
①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】
列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2y=x
填“最高”或“最低”)
因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的
6.抛物线y=x有点
四、例题分析
y=12x2
y=x2的图象刚画过,再把它画出来.
x
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2y=2x
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
2y=x
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
12y=-2x
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2y=-2x
1
归纳:
抛物线y=-x2,y=-2x2,y=-2x2的二次项系数a0,顶点都是,对称轴
是,顶点是抛物线的最点(填“高”或“低”).
五、理一理
1.抛物线y=ax2的性质
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a>0
当x=时,y有最值,是.
a<0
当x=时,y有最值,是.
2.抛物线y=x2与y=-x2关于对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于
对称,开口大小
3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则
2y=ax
2y=bx
2
y=cx
y=dx2
比较a、b、c、d的大小,用“>”连接.
七、目标检测
3.二次函数
范围为
4.写出一个过点(1,2)的函数表达式
第3课时二次函数y=ax2+k的图象与性质
、阅读课本:
、学习目标:
1.会画二次函数y=ax2+k的图象;
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质,并会应用;
3.知道二次函数y=ax2与y=的ax2+k的联系.三、探索新知:
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1,y=x2-1的图象.
解:
先列表
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x2+1
y=x2-1
描点并画图
观察图象得:
1.
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
2y=x
2-1y=x-1
y=x2+1
2.可以发现,把抛物线y=x2向平移个单位,就得到抛物线y=x2+1;把抛物线y=x2
向平移个单位,就得到抛物线y=x2-1.
3.抛物线y=x2,y=x2-1与y=x2+1的形状.
四、理一理知识点
1.
2y=ax
y=ax2+k
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
a>0时,当x=时,y有
最值为;
a<0时,当x=时,y有
最值为.
增减性
2.抛物线y=2x2向上平移3个单位,就得到抛物线;
抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线.
因此,把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线;
把抛物线y=ax2向下平移m(m>0)个单位,就得到抛物线.
3.抛物线y=-3x2与y=-3x2+1是通过平移得到的,从而它们的形状,由此可得二次
函数y=ax2与y=ax2+k的形状.
五、课堂巩固训练
1.填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
2y=3x
2y=-3x2+1
y=-4x2-5
2.将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为.
3.写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y=-x2的方向相反,形状相同的抛物线解析式.
4.抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为.
六、目标检测
1.填表
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴左侧的增减性
y=-5x2+3
y=7x2-1
2.抛物线y=-13x2-2可由抛物线y=-31x2+3向平移个单位得到的.
33
3.抛物线y=-x2+h的顶点坐标为(0,2),则h=.
4.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为
第4课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
y=a(x-h)2的图象;
y=a(x-h)2的性质,并要会灵活应用;三、探索新知:
画出二次函数y=-21(x+1)2,y-12(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最
值、增减性.先列表:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
12
y=-2(x+1)2
12y=-2(x-1)2
描点并画图.
1.观察图象,填表:
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
12y=-2(x+1)2
12y=-2(x-1)2
2.请在图上把抛物线y=-21x2也画上去(草图).
①抛物线y=-21(x+1)2,y=-12x2,y=-12(x-1)2的形状大小
②把抛物线y=-12x2向左平移个单位,就得到抛物线y=-12(x+1)2;
把抛物线y=-21x2向右平移个单位,就得到抛物线y=-12(x+1)2.
四、整理知识点
1.
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
2.对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状,只是不同.
五、课堂训练
1.填表
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
12y=2x
y=-5(x+3)
2
y=3(x-3)2
2.抛物线y=4(x-2)2与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标为
3.把抛物线y=3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为
把抛物线y=3x2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为.
1
4.将抛物线y=-13(x-1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为.
5.写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y=-2x2都相同的二次函数解析式.
六、目标检测
1.抛物线y=2(x+3)2的开口;顶点坐标为;对称轴是;当x>-3
时,y;当x=-3时,y有值是.
2.抛物线y=m(x+n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y=-4(x-4)2,则
m=,n=.
3.若将抛物线y=2x2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为.
4.若抛物线y=m(x+1)2过点(1,-4),则m=.
第5课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
一、阅读课本:
二、学习目标:
1.会画二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的图象;
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质;
3.会应用二次函数y=a(x-h)2+k的性质解题.
三、探索新知:
画出函数y=-12(x+1)2-1的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.
列表:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y=-21(x+1)2-1
1.
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y=-21(x+1)2-1
2.把抛物线y=-21x2向平移个单位,再向平移个单位,就得到抛物线y
=-21(x+1)2-1.
四、理一理知识点
2y=ax
y=ax2+k
2
y=a(x-h)
2
y=a(x-h)2+k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴右侧)
2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状,位置
五、课堂练习
1.
2y=3x
y=-x2+1
y=12(x+2)2
2
y=-4(x-5)2-3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
2.y=6x2+3与y=6(x-1)2+10相同,而不同.
3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=21x2相同的解析式为()
12121212
A.y=2(x-2)2+3B.y=2(x+2)2-3C.y=2(x+2)2+3D.y=-2(x+2)2+3
4.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为.
5.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为
6.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a、k的值.
7.若抛物线y=a(x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A'的坐标为
六、目标检测
1.
开口方向
顶点
对称轴
y=x2+1
2
y=2(x-3)2
y=-(x+5)2-4
2.抛物线y=-3(x+4)2+1中,当x=时,y有最值是.
3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示
4.将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为
5.一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为.(任写一个)
第6课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
一、阅读课本:
二、学习目标:
1.配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴;
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式;3.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象.
三、探索新知:
1
1.求二次函数y=2x2-6x+21的顶点坐标与对称轴.解:
将函数等号右边配方:
y=12x2-6x+21
12
2.画二次函数y=2x2-6x+21的图象.
1
解:
y=12x2-6x+21配成顶点式为.
3.用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
四、理一理知识点:
2y=ax
y=ax2+k
y=a(x-h)2
2
y=a(x-h)2+k
2y=ax+bx+c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
五、课堂练习
1.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
2.用两种方法求二次函数y=3x2+2x的顶点坐标.
3.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=,c=.
4.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当时,y随x的增大而增大;当x=时,y
有值是.
六、目标检测
1
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=2x2-2-1的顶点坐标.
2.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
第7课时二次函数y=ax2+bx+c的性质
一、复习知识点:
二、学习目标:
1.懂得求二次函数y=ax2+bx+c与x轴、y轴的交点的方法;2.知道二次函数中a,b,c以及△=b2-4ac对图象的影响.
三、基本知识练习
1.求二次函数y=x2+3x-4与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标.
2.二次函数y=x2+3x-4的顶点坐标为,对称轴为.
3.一元二次方程x2+3x-4=0的根的判别式△=.
4.二次函数y=x2+bx过点(1,4),则b=.
5.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0),△>0时,一元二次方程有,
△=0时,一元二次方程有,△<0时,一元二次方程.
四、知识点应用
1.求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点(含y=0时,则在函数值y=0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).
例1求y=x2-2x-3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点(含x=0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标)例2求抛物线y=x2-2x-3与y轴交点坐标.
3.a、b、c以及△=b2-4ac对图象的影响.
抛物线yaxbxc的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
1).a的符号决定抛物线的开口方向:
当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;
a相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2).对称轴:
平行于y轴(或重合)的直线记作xb.特别地,y轴记作直线x0.
2a
3).顶点坐标:
(b,4acb)
2a4a
4).顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
5).│a│越大,开口越小,图像两边越靠近y轴,│a│越小,开口越大,?
图像两边越靠近x轴
当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y轴
2a
6).当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
0与x轴有两个交点
7).△=b2-4ac0与x轴有一个交点
0与x轴没有交点
4.抛物线的形状、开口方向都与抛物线
y=-21x2相同,顶点在(1,-2),则抛物线的解析式为
三、例题分析
例1已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3),求抛物线的解析式.
例2已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.
例3已知抛物线与x轴的两交点为(-1,0)和(3,0),且过点(2,-3).求抛物线的解析式.
四、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:
二次函数解析式的表示方法
一般式:
yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
2
顶点式:
ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0);
两根式:
ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
五、实际问题中求二次函数解析式
例4要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
六、课堂训练1.已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求这个二次函数的解
析式.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与
y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?
写出函数关系式及t的取值范围.
七、目标检测
1.已知二次函数的图像过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,求这个二次函数解析式.
第9课时二次函数y=ax2+bx+c的性质
一、阅读教科书:
二、学习目标:
几何问题中应用二次函数的最值.
三、课前基本练习
1.抛物线y=-(x+1)2+2中,当x=时,y有值是.
1
2.抛物线y=2x2-x+1中,当x=时,y有值是.
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中,当x=时,y有值是.
四、例题分析:
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大?
五、课后练习
1.已知直角三角形两条直角
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