常微分方程第三版课后答案.docx
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常微分方程第三版课后答案
常微分方程
2.1
1.,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.
解:
对原式进行变量分离得
并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.
解:
对原式进行变量分离得:
3
解:
原式可化为:
12.
解
15.
16.
解:
,这是齐次方程,令
17.
解:
原方程化为
令
方程组
则有
令
当当
另外
19.已知f(x).
解:
设f(x)=y,则原方程化为两边求导得
20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。
解:
令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。
所以x(0)=0.x’(t)=)
两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解
1.=
解:
y=e(e)
=e[-e()+c]
=ce-()是原方程的解。
2.+3x=e
解:
原方程可化为:
=-3x+e
所以:
x=e(ee)
=e(e+c)
=ce+e是原方程的解。
3.=-s+
解:
s=e(e)
=e()
=e()
=是原方程的解。
4.,n为常数.
解:
原方程可化为:
是原方程的解.
5.+=
解:
原方程可化为:
=-
()
=是原方程的解.
6.
解:
=+
令则=u
因此:
=
(*)
将带入(*)中得:
是原方程的解.
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以,
令
P(x)=Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
=
14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以令
P(x)=Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
=P(y)=-2yQ(y)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
16y=+
P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式
=
=
c=1
y=
17设函数(t)于∞ 试求此函数。 令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或 (1)当时即 ∞,∞) (2)当时= == = 于是变量分离得积分 由于,即t=0时1=c=1 故 20.试证: (1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解; (2)若是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为,其中为任意常数. (3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解. 证明: (2.28) (2.3) (1)设,是(2.28)的任意两个解 则 (1) (2) (1)- (2)得 即是满足方程(2.3) 所以,命题成立。 (2)由题意得: (3) (4) 1)先证是(2.28)的一个解。 于是得 故是(2.28)的一个解。 2)现证方程(4)的任一解都可写成的形式 设是(2.28)的一个解 则(4’) 于是(4’)-(4)得 从而 即 所以,命题成立。 (3)设,是(2.3)的任意两个解 则(5) (6) 于是(5)得 即其中为任意常数 也就是满足方程(2.3) (5)(6)得 即 也就是满足方程(2.3) 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 (5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方; (6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项; 解: 设为曲线上的任一点,则过点曲线的切线方程为 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 即横截距为, 纵截距为。 由题意得: (5) 方程变形为 于是 所以,方程的通解为。 (6) 方程变形为 于是 所以,方程的通解为。 22.求解下列方程。 (1) 解: = = = (2) P(x)=Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = = = 习题2.3 1、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。 1. 解: ,=1. 则 所以此方程是恰当方程。 凑微分, 得: 2. 解: ,. 则. 所以此方程为恰当方程。 凑微分, 得 3. 解: 则. 因此此方程是恰当方程。 (1) (2) 对 (1)做的积分,则 =(3) 对(3)做的积分,则 = = 则 故此方程的通解为 4、 解: ,. . 则此方程为恰当方程。 凑微分, 得: 5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0 解: M=sin-cos+1N=cos-sin+ =-sin-cos-cos+sin =-sin-cos-cos+sin 所以,=,故原方程为恰当方程 因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0 d(-cos)+d(sin)+dx+d(-)=0 所以,d(sin-cos+x-)=0 故所求的解为sin-cos+x-=C 求下列方程的解: 6.2x(y-1)dx+dy=0 解: =2x,=2x 所以,=,故原方程为恰当方程 又2xydx-2xdx+dy=0 所以,d(y-x)=0 故所求的解为y-x=C 7.(e+3y)dx+2xydy=0 解: edx+3ydx+2xydy=0 exdx+3xydx+2xydy=0 所以,de(x-2x+2)+d(xy)=0 即d[e(x-2x+2)+xy]=0 故方程的解为e(x-2x+2)+xy=C 8.2xydx+(x+1)dy=0 解: 2xydx+xdy+dy=0 d(xy)+dy=0 即d(xy+y)=0 故方程的解为xy+y=C 9、 解: 两边同除以得 即, 故方程的通解为 10、 解: 方程可化为: 即, 故方程的通解为: 即: 同时,y=0也是方程的解。 11、 解: 方程可化为: 即: 故方程的通解为: 12、 解: 方程可化为: 故方程的通解为: 即: 13、 解: 这里, 方程有积分因子 两边乘以得: 方程是恰当方程 故方程的通解为: 即: 14、 解: 这里 因为 故方程的通解为: 即: 15、 解: 这里 方程有积分因子: 两边乘以得: 方程为恰当方程 故通解为: 即: 16、 解: 两边同乘以得: 故方程的通解为: 17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。 解: 若方程具有为积分因子, (是连续可导) 令 ,. , , , 方程有积分因子的充要条件是: 是的函数, 此时,积分因子为. 令 , 此时的积分因子为 18.设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子. 证: 必要性若该方程为线性方程,则有, 此方程有积分因子,只与有关. 充分性若该方程有只与有关的积分因子. 则为恰当方程, 从而,, . 其中.于是方程可化为 即方程为一阶线性方程. 20.设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u)g(u),\,试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)]) 证: 在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得: uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则=uf+uy+yf=+-yf == = 而=ug+ux+xg=+-xg == 故=,所以u是方程得一个积分因子 21.假设方程(2.43)中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数,试证方程(2.43) 有积分因子u=exp(+) 证明: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证u+M=u+N u(-)=N-Mu(-)=Nef(x) -Meg(y)u(-)=e(Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立,故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解: 已知伯努利方程为: 两边同乘以,令, 线性方程有积分因子: ,故原方程的积分因子为: ,证毕! 23、设是方程的积分因子,从而求得可微函数, 使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。 证明: 若,则 又 即为的一个积分因子。 24、设是方程的两个积分因子,且常数,求证(任意常数)是方程的通解。 证明: 因为是方程的积分因子 所以为恰当方程 即, 下面只需证的全微分沿方程恒为零 事实上: 即当时,是方程的解。 证毕! 习题2.4 求解下列方程 1、 解: 令,则, 从而, 于是求得方程参数形式得通解为. 2、 解: 令,则,即, 从而 , 于是求得方程参数形式得通解为. 3、 解: 令,则, 从而 = , 于是求得方程参数形式的通解为, 另外,y=0也是方程的解. 4、,为常数 解: 令,则, 从而 , 于是求得方程参数形式的通解为. 5、1 解: 令,则, 从而 , 于是求得方程参数形式的通解为. 6、 解: 令,则,得, 所以, 从而, 于是求得方程参数形式的通解为, 因此方程的通解为. 习题2.5 2. 解: 两边同除以,得: 即 4. 解: 两边同除以,得 令 则 即 得到, 即 另外也是方程的解。 6. 解: 得到 即 另外也是方程的解。 8. 解: 令 则: 即 得到 故 即 另外也是方程的解。 10. 解: 令 即 而故两边积分得到 因此原方程的解为,。 12. 解: 令 则 即 故方程的解为 14. 解: 令 则 那么 求得: 故方程的解为 或可写为 16. 解: 令则 即方程的解为 18. 解: 将方程变形后得 同除以得: 令则 即原方程的解为 19.X( 解: 方程可化为2y( 令 27. 解: 令,,则 ,, , 两边积分得 即为方程的通解。 另外,,即也是方程的解。 28. 解: 两边同除以,方程可化为: 令,则 即, 两边积分得 即 为方程的解。 29. 解: 令,则, , 那么 即 两边积分得 即为方程的解。 30. 解: 方程可化为 两
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- 微分方程 第三 课后 答案