山东烟台中考数学解析.docx
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山东烟台中考数学解析
2015山东烟台中考数学解析
D
柱体放置在长方体上,其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相等,则该几何体的左视图是()
【答案】A
4.(2015山东烟台,4,3分)下列等式不一定成立的是()
A.
=
(b≠0)B.a3·a-5=
(a≠0)
C.a2-4b2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a3)2=4a6
【答案】A
5.(2015山东烟台,5,3分)李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格:
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分,则表中数据一定不发生变化的是()
A.平均数B.众数C.方差D.中位数
【答案】D
6.(2015山东烟台,6,3分)如果x2-x-1=(x+1)0,那么x的值为()
A.2或-1B.0或1C.2D.-1
【答案】C
7.(2015山东烟台,7,3分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且点E是AB中点,则tan∠BFE的值是()
A.
B.2C.
D.
【答案】D
8.(2015山东烟台,8,3分)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2,…,按照此规律继续下去,则S2015的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
9.(2015山东烟台,9,3分)等腰三角形三边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为()
A.9B.10C.9或10D.8或10
【答案】B
10.(2015山东烟台,10,3分)A,B两地相距20千米,甲、乙两人都从A地去B地,图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程S(千米)与时间t(小时)之间的关系.下列说法:
①乙晚出发1小时;②乙出发3小时后追上甲;③甲的速度是4千米/小时;④乙先到达B地.其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
11.(2015山东烟台,11,3分)如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4).则下列结论中错误的是()
A.b2>4ac
B.ax2+bx+c≥-6
C.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>n.
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-1.
【答案】C
12.(2015山东烟台,12,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8.以2
为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上,且点D与点A重合.现将正方形DEFG沿A→B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动,当点D与点B重合时停止,则在这个运动过程中,正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是()
【答案】A
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.(2015山东烟台,13,3分)如图,数轴上点A,B所表示的两个数的和的绝对值是.
【答案】1
14.(2015山东烟台,14,3分)正多边形的一个外角是72°,则这个多边形的内角和的度数是.
【答案】540°
15.(2015山东烟台,15,3分)如图,有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外,其余相同.将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张卡片,则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为.
【答案】
16.(2015山东烟台,16,3分)如图,将弧长为6π,圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径OA与OB重合(接缝粘连部分忽略不计),则圆锥形纸帽的高是.
【答案】6
17.(2015山东烟台,17,3分)如图,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别是(4,0)和(0,2),反比例函数y=
(x>0)的图象过对角线的交点P并且与AB,BC分别交于D,E两点.连接OD,OE,DE,则△ODE的面积为.
【答案】
18.(2015山东烟台,18,3分)如图,直线l∶y=-
x+1与坐标轴交于A,B两点,点M(m,0)是x轴上一动点,以点M为圆心,2个单位长度为半径作⊙M,当⊙M与直线l相切时,m的值为.
【答案】2-2
或2+2
三、解答题(本大题共7个小题,满分66分)
19.(2015山东烟台,19,6分)先化简:
,再从-2<x<3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值.
解:
原式=
=
=
.
由题意,可取x=2代入上式,
=
=4(答案不唯一)
20.(2015山东烟台,20,8分)“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措.某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果分为A,B,C,D四个等级,A:
1小时以内,B:
1小时~1.5小时,C:
1.5~2小时,D:
2小时以上.根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息解答下列问题:
(1)该校共调查了名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)表示等级A的扇形圆心角α的度数是;
(4)在此次问卷调查中,甲、乙两班各有2人平均每天课外作业时间都是2小时以上,从这4人中任选2人去参加座谈,用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
解:
(1)
=200,故填200.
(2)C等级的人数为200-60-80-20=40.
如图所示:
(3)108.
(4)树状图如下:
共有12种等可能结果,其中符合要求的是8种结果.
∴P(选出的2人来自不同班级)=
=
.
21.(2015山东烟台,21,8分)2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通.从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米,运行时间减少了9小时.已知烟台到北京的普快列车里程约1026千米,高铁平均时速为普快平均时速的2.5倍.
(1)求高铁列车的平均时速;
(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14:
00召开的会议,如果他买到当日8:
40从烟台至该市的高铁票,而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时,试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前赶到吗?
解:
(1)设普快列车的平均时速为x千米/时,则高铁列车的平均时速为2.5x千米/时.
根据题意,得
.
解得x=72.
经检验x=72是原方程的解.
2.5x=180.
答:
高铁列车的平均时速为180千米/时.
(2)630÷180=3.5(小时),3.5+1.5=5(小时),8:
40+5=13:
40.
∴可以在14:
00之前赶到会议.
22.(2015山东烟台,22,9分)如图1,滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯.灯杆顶端装有风力发电机,中间装有太阳能板,下端装有路灯.该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2,已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF,路灯顶端E距离地面6米,DE=1.8米,∠CDE=60°.且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°,AB=1.5米,CD=1米.为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转,叶片与太阳能板顶端A的最近距离不少于0.5米,
求灯杆OF至少要多高?
(利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820,cos43°≈0.7314,tan43°≈0.9325,结果保留两位小数)
解:
如图,过点E作EG⊥直线l于点G,过点D作DH⊥EG于点H.
∴四边形DFGH是矩形.
∵在Rt△DEH中,DE=1.8,∠EDH=90°-∠CDE=30°,
∴EH=
DE=0.9.
∴HG=EG-EH=6-0.9=5.1.
∵四边形DFGH是矩形,∴DF=HG=5.1.
在Rt△ABC中,AC=ABsin∠B=1.5×sin43°≈1.5×0.682=1.023,
由题意得OA≥1.5,
∴OF=OA+AC+CD+DF≥1.5+1.023+1+5.1=8.623≈8.63.
∴灯杆OF至少要8.63米高.
23.(2015山东烟台,23,9分)如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D,E,且
=
.
(1)试判断△ABC的形状,井说明理由;
(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.
解:
(1)△ABC是等腰三角形.
∵
=
,∴∠EBD=∠EDB.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90°.
∴∠CDE=∠C.
∵四边形ABED内接于⊙O,∴∠CDE=∠CBA,∴∠C=∠CBA.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵∠CDE=∠C,∴CE=DE.
∵
=
,∴DE=EB,∴CE=EB=
BC=
×12=6.
∵⊙O的半径是5,∴AC=AB=10.
∵∠CDE=∠CBA,∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA.
∴
=
,即
=
,解得CD=7.2.
∴AD=AC-CD=10-7.2=2.8.
∴在Rt△ADB中,sin∠ABD=
=
=
.
24.(2015山东烟台,24,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A,B,C,D四点,其中A,B两点坐标升别为(-1,0),(0,-2),点D在.x轴上且AD为⊙M的直径,点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧
上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5.
(1)求点D的坐标及抛物线的表达式;
(2)若点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QCM是等腰三角形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)连接MB,设⊙M的半径为r.
∵A(-1,0),B(0,-2),
∴Rt△OMB中,OB=2,OM=r-1,
由勾股定理得22+(r-1)2=r2.
∴r=
.
∴AD=5.
∴点D的坐标是(4,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(0,-2),D(4,0),
解得a=
,b=-
,c=-2.
∴抛物线的表达式为y=
x2-
x-2.
(2)连接BF,与x轴相交于点P,则点P即为所求.连接MF.
∵在△MFH中,MF=2.5,FH=1.5,
∴MH=
=2.
∴OH=3.5.
由题意得△POB∽△PHF,∴
=
.
即
=
.
∴OP=2.
∴△PEF的周长最小时点P的坐标是(2,0).
(3)存在,Q1(
,
),Q2(
,-
),Q3(
,-4),Q4(
,-
).
25.(2015山东烟台,25,14分)【问题提出】
如图1,已知△ABC是等边三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF,连接EF.
试证明:
AB=DB+AF.
【类比探究】
(1)如图2,如果点E在线段AB的延长线上,其它条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?
请说明理由.
(2)如果点E在线段BA的延长线上,其它条件不变,请在图3的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由.
【问题提出】证明:
由旋转知BE=AF,∠ABC=∠FAC,EC=FC,∠ECF=60°,
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°.∴∠AEF+∠BEC=120°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=120°,∴∠AEF=∠BCE.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.∴∠AEF=∠D.
∵∠FAC=60°,∠BAC=60°,∴∠EAF=120°.
∵∠ABC=60°,∴∠DBE=120°.∴∠EAF=∠DBE.
∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.
∵AB=AE+EB,EB=AF,AE=DB,∴AB=DB+AF.
【类比探究】
(1)AB=DB-AF.
解:
由旋转知BE=AF,∠EBC=∠FAC,EC=FC,∠ECF=60°,
∴△ECF是等边三角形.
∴∠FEC=60°,∴∠FEA+∠BEC=60°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=60°.
∴∠BEC+∠BCE=60°,∴∠FEA=∠BCE.
∵DE=CE,∴∠D=∠BCE,∴∠FEA=∠D.
∵∠ABC=60°,∴∠DBE=60°,∠EBC=120°.
∴∠FAC=∠EBC=120°.
∵∠BAC=60°,∴∠FAE=60°.
∴∠FAE=∠DBE.
∵∠FEA=∠D,AF=BE,∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.
∵AB=AE-BE,AF=BE,
∴AB=DB-AF.
【类比探究】
(2)AB=AF-DB.
只画出图3中的一个图即可.
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