江苏省姜堰市溱潼中学届高三数学基础知识梳理 第7章 解析几何.docx
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江苏省姜堰市溱潼中学届高三数学基础知识梳理第7章解析几何
第七章解析几何基础知识梳理
一、直线:
㈠基本公式:
⒈两点距离公式:
已知点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则|P1P2|=.
⒉线段的定比分点坐标公式:
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),点P(x,y)分有向线段
的比是λ,即
λ
,
则x=,y=.
⒊中点坐标公式:
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),线段P1P2的中点坐标是(x,y),
则x=,y=.
⒋三角形的重心坐标公式:
已知三角形的三点坐标A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),
△ABC的重心是G(x,y),则x=,y=.
⒌斜率
⑴直线倾斜角的定义:
⑵直线斜率的定义:
⑶公式:
已知两点A(x1,y1)、B(x2,y2),(x1≠x2),则kAB=.
注:
已知三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),如何证明这三点共线?
㈡直线方程:
⒈直线方程的几种形式:
名称
已知条件
方程
说明
点斜式
点P(x0,y0)和斜率k
不包括与x轴垂直的直线
斜截式
斜率k和纵截距b
不包括与x轴垂直的直线
两点式
两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)
x1≠x2且y1≠y2
截距式
在x轴、y轴上的截距分别是a、b
不包括平行于坐标轴及经过原点的直线
一般式
A、B不全为0
注:
已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则直线P1P2的方程总可写为(不要讨论):
.
⒉特殊位置的直线方程:
⑴垂直于x轴的直线方程是.y轴的方程是.
⑵垂直于y轴的直线方程是.x轴的方程是.
⑶过原点的直线(除y轴)方程是.
⑷求过点P(x0,y0)(不是原点)且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况?
㈢点P(x0,y0)与直线l:
Ax+By+C=0的位置关系:
⒈P在直线l上,则有.
⒉P在直线l外,P到直线l的距离为d,则d=
㈣两直线l1和l2的位置关系:
⒈斜率存在,直线l1:
y=k1x+b1,直线l2:
y=k2x+b2,则
⑴l1与l2相交
;⑵l1∥l2
;⑶l1与l2重合
;
⑷l1⊥l2
.
⒉斜率不一定存在,直线l1:
A1x+B1y+C1=0,直线l2:
A2x+B2y+C2=0,则:
⑴l1与l2相交
;
⑵l1∥l2
;
⑶l1与l2重合
;
⑷l1⊥l2
.
⒌两相交直线交点坐标的求法:
⒍两平行线之间的距离:
直线l1:
Ax+By+C1=0,直线l2:
Ax+By+C2=0,则l1与l2间的距离d=.
过两定点P、Q分别作倾斜角相等的直线,这两条平行直线间距离的最大值是.
㈤对称:
⒈请填以下空格,并记住结论:
点P坐标
关于什么对称
对称点P/的坐标
备注
(a,b)
点(x0,y0)
可直接用
(a,b)
原点
可直接用
(a,b)
x轴
可直接用
(a,b)
y轴
可直接用
(a,b)
直线x-y=0
可直接用
(a,b)
直线x+y=0
可直接用
(a,b)
直线x-y+c=0
只用于选择、填空题
(a,b)
直线x+y+c=0
只用于选择、填空题
注:
若对称轴的斜率不是±1,没有上述结论!
只可用下面的方法求:
设P(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标是(x,y),则
⑴当A=0且B≠0时,则x=,y=;
⑵当B=0且A≠0时,则x=,y=;
⑶当AB≠0时,则
㈥直线系:
1、直线系的定义:
具有某种共同特征的直线的集合叫做直线系,它的方程叫做直线系方程.
2、常见的直线系方程:
⑴过定点P(x0,y0)的直线系方程是.
⑵斜率是k的直线系方程是.
⑶与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是.
⑷与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是.
⑸在x轴和y轴上截距的和是10的直线系方程是.
3、设直线l1:
A1x+B1y+C1=0和直线l2:
A2x+B2y+C2=0相交于P点,则经过P点的直线
系方程是.
4、如何证明直线系过定点?
㈦二元一次不等式表示的平面区域:
⒈当B>0时,⑴点P(x1,y1)在直线l:
Ax+By+C=0的上方
;
⑵点P(x1,y1)在直线l:
Ax+By+C=0的下方
.
⒉当B=0,A>0时,⑴点P(x1,y1)在直线l:
Ax+C=0的右方
;
⑵点P(x1,y1)在直线l:
Ax+C=0的左方
.
㈧简单线性规划问题最优解的解题步骤:
⒈画可行域;
⒉画斜率是k的直线系;
⒊根据直线系扫过可行域的情况,判别直线在哪一点处纵截距有最小值,在哪一点处
纵截距有最大值;
⒋求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标,即最优解;
⒌根据最优解求出目标函数的最大值或最小值.
㈨基本练习题:
⒈已知直线l:
(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0,当倾斜角α=45°时,m=;当m=
时,l平行于y轴;当m时,l在y轴上的截距为4.
⒉已知直线kx+2y-3=0过点(1,1),则k=;若它与直线2x-y+5=0垂直,则k=;
此时两直线交点坐标为;两直线与x轴围成的三角形的面积为.
⒊若P<-1,则原点到直线xcosθ+ysinθ+p=0的距离为.
⒋已知直线l1:
(a-1)x-2y+3=0、l2:
x-ay+1=0,当a=时,l1∥l2;
当a=时,l1⊥l2;当a=时,l1、l2所成的角等于45°.
⒌直线l过点A(-2,2)且和两坐标轴围成的三角形面积等于1,则直线l的斜率k=.
⒍不论k取何值,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0必过定点.
三、圆:
㈠圆的定义;.
㈡圆的方程:
⒈标准方程:
;圆心坐标是,半径是.
⒉一般方程:
;圆心坐标是,半径是.
注:
⑴若已知条件与圆心或半径有关,通常用标准式求圆方程;若已知条件是不共线的
三点,通常用一般式求圆的方程.
⑵以A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径端点的圆的方程是.
㈢点与圆的位置关系:
已知点P(x0,y0)与圆C方程(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0),则:
点P在圆C上或;
点P在圆C外或;
点P在圆C内或.
㈣直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有、、三种.判别方法如下:
判别方法
(一)根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系:
d<r;d=r;d>r.
判别方法
(二)利用一元二次方程的判别式△与0的大小关系:
△>0;△=0;△<0.
㈤当直线与圆相交时,弦长公式是弦长l=.
㈥当直线与圆相切时,切线方程的求法:
⒈过圆上一点P(x0,y0)的切线方程的求法:
这时切线只有一条!
通常用“替换法则”:
⒉过圆外一点P(x0,y0)的切线方程的求法:
这时切线总有两条!
通常用点斜式,但要讨论斜率存在与否.在求斜率时,通常有两种方法:
⑴圆心到切线的距离等于半径;
⑵切线方程与圆方程联立消去一元得到另一元的二次方程后令判别式△=0.
注意:
不论用哪一种,如果求出的斜率k只有一解,说明另一条切线的斜率不存在.
⒊已知圆C方程及圆的切线的斜率K,如何求切线方程?
通常用斜截式方程,即设切线
方程为y=kx+b,仿照上面(⒉中的⑴⑵两点,任选其一)求出b.
㈦圆与圆的位置关系:
设⊙C1、⊙C2的半径分别是r1、r2,圆心距|C1C2|=d,则:
外离
外切
相交
内切
内含
㈧两圆相交时公共弦所在直线方程的求法:
.
㈨两圆相切时过切点的公切线方程的求法:
.
㈩过圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,,y0)引圆的切线,
则切线长t=或.
(十一)过圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,,y0)引圆的两条切线,切点
为A、B,则直线AB方程为.
四、椭圆:
㈠椭圆的定义、方程和性质:
定义
⒈
⒉
y
y
标准方程
B1
B2
B2
A2
B1
A2
A1
A1
l2
l1
l2
l1
·
F2
F1
·
o
x
F2
F1
·
·
o
x
图形
范围
顶点
焦点
焦距
中心
长短轴长
a、b、c的关系
对称性
离心率
定义
⒈
⒉
离心率
公式
准线方程
焦点到准线的距离
在椭圆第一定义中,注意“2a>|F1F2|”这个条件,若2a=|F1F2|,这时动点轨迹是.
椭圆的两个标准方程
、
,
这两个标准方程可以合并为一个:
Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
㈦椭圆上任一点到一焦点的最大距离是;最小距离是.
㈧椭圆的焦点弦长最大值是;最小值是.
㈩两个重要结论:
⒈椭圆
长轴的两个端点为A1、A2,短轴的一个端点是B,
P是椭圆上任一点,则∠A1PA2≤∠A1BA2;
⒉椭圆
的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点是B,
P是椭圆上任一点,则∠F1PF2≤∠F1BF2.
五、双曲线:
㈠双曲线的定义及性质:
定义
⒈
⒉
标准方程
·
·
·
·
A2
A1
F1
F2
l1
l2
A2
A1
F2
l2
l1
F1
o
图形
范围
顶点
焦点
焦距
中心
实轴虚轴长
a、b、c的关系
对称性
离心率
定义
⒈
⒉
离心率
公式
准线方程
焦点到准线的距离
渐近线方程
⒈在双曲线的第一定义中,应注意“差的绝对值”及“2a<|F1F2|”.
⑴若仅仅是“差是定值“,则动点轨迹是双曲线的一支;
⑵若2a=|F1F2|(其中a≠0),则动点轨迹是两条射线.
⒉双曲线的两个标准方程
、
,
这两个标准方程可合并为一个:
Ax2−By2=1(A·B>0)
㈡在双曲线的性质中要记住:
㈢等轴双曲线的标准方程可设为,它的离心率e=.
㈤共渐近线问题:
⒈以直线y=±
x为渐近线的双曲线方程为
⒉与双曲线
共渐近线的双曲线方程为.
六、抛物线:
㈠抛物线的定义、标准方程、性质:
定义
图形
标准方程
范围
焦点坐标
准线方程
对称轴方程
顶点坐标
离心率
抛物线的标准方程有四个,y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0),其中p是焦点到准线的距离.
焦点在x轴上的两个方程y2=±2px(p>0),可合并为:
y2=ax(a≠0),焦点F(
),准线x=−
;
焦点在y轴上的两个方程x2=±2py(p>0),可合并为:
x2=ay(a≠0),焦点F(
),准线y=−
.
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