深入分析C语言分解质因数的实现方法.docx
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深入分析C语言分解质因数的实现方法.docx
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深入分析C语言分解质因数的实现方法
首先来看一个最简单的C语言实现质因数分解的列子:
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#include
voidmain()
{
intdata,i=2;
scanf("%d",&data);
while(data>1)
{
if(data%i==0)
{
printf("%d",i);
data/=i;
}
elsei++;
}
}
原理&&方法
把一个合数分解为若干个质因数的乘积的形式,即求质因数的过程叫做分解质因数,分解质因数只针对合数
求一个数分解质因数,要从最小的质数除起,一直除到结果为质数为止。
分解质因数的算式的叫短除法,和除法的性质差不多,还可以用来求多个个数的公因式:
以24为例:
2--24
2--12
2--6
3(3是质数,结束)
得出24=2×2×2×3=2^3*3
代码
可先用素数筛选法,筛选出符合条件的质因数,然后for循环遍历即可,通过一道题目来show一下这部分代码
题目1
题目描述:
求正整数N(N>1)的质因数的个数。
相同的质因数需要重复计算。
如120=2*2*2*3*5,共有5个质因数。
输入:
可能有多组测试数据,每组测试数据的输入是一个正整数N,(1 输出: 对于每组数据,输出N的质因数的个数。 样例输入: 120 样例输出: 5 提示: 注意: 1不是N的质因数;若N为质数,N是N的质因数。 ac代码 ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 #include intmain() { intn,count,i; while(scanf("%d",&n)! =EOF){ count=0; for(i=2;i*i<=n;i++){ if(n%i==0){ while(n%i==0){ count++; n/=i; } } } if(n>1){ count++; } printf("%d\n",count); } return0; } 深入理解 我所谓的深入理解,就是通过4星的题目来灵活运用分解质因数的方法,题目如下 题目2 题目描述: 给定n,a求最大的k,使n! 可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除。 输入: 两个整数n(2<=n<=1000),a(2<=a<=1000) 输出: 一个整数. 样例输入: 610 样例输出: 1 思路 a^k和n! 都可能非常大,甚至超过longlongint的表示范围,所以也就不能直接用取余操作判断它们之间是否存在整除关系,因此我们需要换一种思路,从分解质因数入手,假设两个数a和b: ? 1 a=p1^e1*p2^e2*...*pn^en,b=p1^d1*p2^d2*...*pn^dn 则b除以a可以表示为: ? 1 b/a=(p1^d1*p2^d2*...*pn^dn)/(p1^e1*p2^e2*...*pn^en) 若b能被a整除,则b/a必为整数,且两个素数必护质,则我们可以得出如下规律: 若a存在质因数px,则b必也存在该质因数,且该素因数在b中对应的幂指数必不小于在a中的幂指数 另b=n! a^k=p1^ke1*p2^ke2*...*pn^ken,因此我们需要确定最大的非负整数k即可。 要求得该k,我们只需要依次测试a中每一个素因数,确定b中该素因数是a中该素因数的幂指数的多少倍即可,所有倍数中最小的那个即为我们要求得的k 分析到这里,剩下的工作似乎只是对a和n! 分解质因数,但是将n! 计算出来再分解质因数,这样n! 数值太大。 考虑n! 中含有素因数p的个数,即确定素因数p对应的幂指数。 我们知道n! 包含了从1到n区间所有整数的乘积,这些乘积中每一个p的倍数(包括其本身)都对n! 贡献至少一个p因子,且我们知道在1到n中p的倍数共有n/p个。 同理,计算p^2,p^3,...即可 代码 ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 #include #include #include #defineN1001 intprime[N],size; /** *素数筛选法进行预处理 */ voidinitProcess() { inti,j; for(prime[0]=prime[1]=0,i=2;i prime[i]=1; } size=0; for(i=2;i if(prime[i]){ size++; for(j=2*i;j prime[j]=0; } } } } intmain(void) { inti,n,a,k,num,count,base,tmp,*ansbase,*ansnum; //预处理 initProcess(); while(scanf("%d%d",&n,&a)! =EOF){ ansbase=(int*)calloc(size,sizeof(int)); ansnum=(int*)calloc(size,sizeof(int)); //将a分解质因数 for(i=2,num=0;i =1;i++){ if(prime[i]&&a%i==0){ ansbase[num]=i; ansnum[num]=0; while(a! =1&&a%i==0){ ansnum[num]+=1; a=a/i; } num++; } } //求最小的k for(i=0,k=0x7fffffff;i base=ansbase[i]; count=0; while(base<=n){ count+=n/base; base*=ansbase[i]; } tmp=count/ansnum[i]; if(tmp } printf("%d\n",k); } return0; } /************************************************************** Problem: 1104 User: wangzhengyi Language: C Result: Accepted Time: 0ms Memory: 916kb ****************************************************************/ 约数个数定理 对于一个大于1的正整数n可以分解质因数: ? 1 n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...*pn^an 则n的正约数的个数为: ? 1 (a1+1)*(a2+1)*...*(an+1) .其中p1,p2,..pn都是n的质因数,a1,a2...an是p1,p2,..pn的指数 证明 n可以分解质因数: n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak, 由约数定义可知p1^a1的约数有: p1^0,p1^1,p1^2......p1^a1,共(a1+1)个;同理p2^a2的约数有(a2+1)个......pk^ak的约数有(ak+1)个 故根据乘法原理: n的约数的个数就是 ? 1 (a1+1)*(a2+1)*(a3+1)*…*(ak+1) 题目3 题目描述: 输入n个整数,依次输出每个数的约数的个数 输入: 输入的第一行为N,即数组的个数(N<=1000) 接下来的1行包括N个整数,其中每个数的范围为(1<=Num<=1000000000) 当N=0时输入结束。 输出: 可能有多组输入数据,对于每组输入数据, 输出N行,其中每一行对应上面的一个数的约数的个数。 样例输入: 5 134612 样例输出: 1 2 3 4 6 代码 ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 #include #include #defineN40000 typedeflonglongintlint; intprime[N],size; voidinit() { inti,j; for(prime[0]=prime[1]=0,i=2;i prime[i]=1; } size=0; for(i=2;i if(prime[i]){ size++; for(j=2*i;j prime[j]=0; } } } lintnumPrime(intn) { inti,num,*ansnum,*ansprime; lintcount; ansnum=(int*)malloc(sizeof(int)*(size+1)); ansprime=(int*)malloc(sizeof(int)*(size+1)); for(i=2,num=0;i =1;i++){ if(prime[i]&&n%i==0){ ansprime[num]=i; ansnum[num]=0; while(n! =1&&n%i==0){ ansnum[num]+=1; n/=i; } num++; } } if(n! =1){ ansprime[num]=n; ansnum[num]=1; num++; } for(i=0,count=1;i count*=(ansnum[i]+1); } free(ansnum); free(ansprime); returncount; } intmain(void) { inti,n,*arr; lintcount; init(); while(scanf("%d",&n)! =EOF&&n! =0){ arr=(int*)malloc(sizeof(int)*n); for(i=0;i scanf("%d",arr+i); } for(i=0;i count=numPrime(arr[i]); printf("%lld\n",count); } free(arr); } return0; } /************************************************************** Problem: 1087 User: wangzhengyi Language: C Result: Accepted Time: 190ms Memory: 1068kb ****************************************************************/
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- 关 键 词:
- 深入 分析 语言 分解 质因数 实现 方法