中考数学复习指导例析相似三角形的探索性问题.docx
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中考数学复习指导例析相似三角形的探索性问题
相似三角形的探索性问题
探索性问题一般没有明确的结论,没有固定的形式和方法,要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括,得出结论,形成方法和思路的数学问题,这类题是考查学生分析问题和解决问题的重要题型,它可以分为三类:
一.条件探索性问题
条件探索性问题是指所给问题中结论明确,而需要完备使结论成立的条件的题目,这类问题大致分为两种类型:
一是问题中的条件未知或不足需要探求,二是条件多余或有错,要求排除或修正.
例1:
如图1,已知△ABC,P是AB边上的一点,连结CP.要使△APC∽△ACB,则应添加一个条件是_______.
分析:
⑴∠ACP=∠B(或∠APC=∠ACB)时,可得到△APC∽△ACB;
⑵
即
△APC∽△ACB
方法探究:
在△APC和△ACB中,已有一角对应相等,因此添加的条件应从“有两个角对应相等,两个三角形相似”和“两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形形似”两个途径进行思考,本题是一个条件探究题,这类问题一般解法是把结论当作已知反溯条件.
二.结论探索性问题
它是指题目结论不确定,不唯一,或题目结论需要通过类比引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论.
例2:
已知:
如图2,△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连结DE并延长交BC的延长线于点F,连结DC、BE.若∠BDE+∠BCE=180°.
(1)写出图中三对相似三角形(注意:
不得加字母和线);
(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.
分析:
先由角的关系入手,由∠BDE+∠BCE=180°和图形中∠BDE+∠ADE=∠BCE+∠ECF=180°,可得∠BDE=∠ECF,∠ADE=∠BCE,易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角),其次,由△ECF∽△BDF得
可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角).
解:
⑴△ADE∽△ACB,△ECF∽△BDF,△FDC∽△FBE.
⑵①△ADE∽△ACB.证明如下:
∵∠BDE+∠BCE=180°.
又∵∠BDE+∠ADE=180°,∴∠ADE=∠BCE.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB。
②△ECF∽△BDF.证明如下:
∵∠BDE+∠BCE=180°,
又∵∠BCE+∠ECF=180°,∴∠BDE=∠ECF.∵∠F=∠F,∴△ECF∽△BDF.
③△FDC∽△FBE.证明如下:
∵∠BDE+∠BCE=180°,
又∵∠BCE+∠ECF=180°,∴∠BDE=∠ECF.∵∠F=∠F,∴△ECF∽△BDF.
∴
∵∠F=∠F,∴△FDC∽△FBE.
反思:
这是一道结论开放型试题,这种题型要求根据题意去探求,往往结论不唯一,具有开放性,解题时,要充分利用已知条件进行大胆而合理的猜想,发现结论,这就要求平时要注意发散性为司和所学基本知识的应用能力的培养.
三.探索存在性问题
存在性问题是指在一定的条件下,探索某种数学对象是否存在的问题.
例3:
如图3,DE是△ABC的中位线,∠B=
AF∥BC,在射线AF上是否存在一点M,使△MEC与△ADE相似?
若存在,请先确定M,并说明这两个三角形为何相似?
若不存在,请说明理由.
解析:
存在,过点E作AC的垂线交AF于点M(或作∠MCA=∠AED).连接MC,
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,AE=EC.
又ME⊥AC,∴AM=CM,∠MAC=∠MCA.
又∵AF∥BC,∴AF∥DE,∴∠AED=∠MAC,
∴∠AED=∠MCA,又∠ADE=∠MEC=
∴△ADE∽△MEC.
评注:
存在型问题的解题思路是:
先假定探索的对象存在,以此为依据进行计算或推理,若推出矛盾,则假定是错误的,从而给出否定的结论,否则给出肯定的结论.
中考相似三角形探索题
探索性试题是中考中的热点问题,这类试题重在考查考生创新思维能力.下面介绍几道和相似三角形有关的探索型试题.
例1 、如图1,在水平的桌面上两个“E”,当点P1、P2、O在一直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.
(1)图中b1、b2、l1、l2满足怎样的关系式?
(2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测试距离l1=8m,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少?
分析:
本题是一道以生活实际为素材的探索型试题,解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型.从已知图形可得P1D1∥P2D2,由平行可得△P1D1O∽△P2D2O,借助相似三角形的特征列出比例式可解决问题.
解:
(1)因为P1D1∥P2D2,所以△P1D1O∽△P2D2O.
所以
.
即
.
(2)因为
,且b1=3.2cm,b2=2cm,l1=8m,
所以
(注:
可不进行单位换算),l2=5cm.
即②号“E”的测试距离是l2=5cm.
例2、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放如图2的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,回答下列问题:
(1)图中共有多少个三角形?
把它们一一写出来;
(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗?
如果有,就把它们一一写出来.
分析:
本题是一道多解型探索题,在探索问题时,思考要全面,做到不重不漏.
解:
(1)三角形有:
△ABD,△AEB,△ABC,△BDE,△BDC,△BEC,△BFG;
(2)因为∠A=∠C=∠EBD=45°,
所以∠BDE=∠CDB,∠BED=45°+∠EBC=∠CBD.
所以△DEB∽△DBC;
由∠BED=∠AEB,∠BDE=45°+∠ABD=∠ABE,
所以△EDB∽△EBA.
由△EDB∽△EBA,△DEB∽△DBC,得
△ABE∽△CDB.
相似形中探索猜想问题闪亮登场
类型1:
条件探索猜想型
这类问题一般命题的结论明确,需读者反溯结论成立的条件.可采取逆向思维,由结论成立看需要什么条件,再结合已有的条件,并辅助于图形结构、隐含的条件进行分析探究,方可得到所需的条件.
例1学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”。
类似地,你可以等到:
“满足,或,两个直角三角形相似”。
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足
的两个直角三角形相似”。
请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程。
已知:
如图1,。
试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.
分析:
我们通过对三角形全等知识的学习与三角形相似知识的探究不难发现,它们之间有着千丝万缕的联系,实际上当两个相似三角形的对应边的比等于1时,这两个三角形就成为全等三角形.本题是要求读者从特殊(全等)到一般(相似)类比探索猜想问题,根据直角三角形全等的判定条件猜想出直角三角形相似的判定条件.为此只需把角的相等条件迁移,将对应边相等改成对应边成比例即可.
解:
(1)一个锐角对应相等
两直角边对应成比例
(2)斜边和一条直角边对应成比例
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,
=
.
解法一:
设
=
=k,则AB=kA′B′,AC=kA′C′.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
∴
=
=
=k.∴
=
=
.
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
解法二:
如图,假设AB>A′B′,在AB上截取AB″=A′B′,过点B″作B″C″⊥AC,垂足为C″.
∵∠C=∠AC″B″,∴BC∥B″C″.
∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″.∴
=
.
∵AB″=A′B′,∴
=
.
∵
=
,∴
=
.∴AC″=A′C′.
又∵AB″=A′B′,∠C′=∠AC″B″=90°,
∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
例2、如图2,
两点分别在
的边
上,
与
不平行,当满足条件(写出一个即可)时,
.
分析:
根据两个三角形相似的条件结合图形发现△ADE与△ACB有一个公共角∠A,所以我们只要补充一个角,或夹这个角的两边对应成比例即可说明△ADE∽△ACB.因为DE与BC不平行因而可补充条件∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD·AB=AE·AC
类型2存在探究性
所谓“存在性”的问题,就是要求应试者在给定的部分条件下,判断某种数学对象(直线、点、几何图形等)是否存在的命题,这种题型有利于测试学生的猜想、判断、逻辑推理等创造性解决问题的能力.解决此类问题的方法是:
先对结论作出肯定存在的假设而后结合题设、定理等进行正确的推理,若得出矛盾的结果,则否定先前假设,说明结论不存在;若推出合理的结果,说明假设成立,进而知结论是存在的.
例3、一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法。
请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:
如图3-1,在△ABC中,∠ACB>∠ABC。
(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD~△ABC(不包括全等)?
(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD~△ABC(不包括全等)的点D的个数。
(1)(i)如图3-1,若点D在线段AB上,
由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.
(ii)如图①,若点D在线段AB的延长线上,
则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点D不存在。
(iii)如图②,若点D在线段AB的反向延长线上,
由于∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD,不可能有△ACD∽△ABC.
因此,这样的点D不存在.
综上所述,这样的点D有一个.
类型3结论探索性
探索结论型的问题的特点是:
命题只给出了明确的条件,隐去了结论,要求考生需结合图形探究、发现、猜测出相应的结论,或变换命题中的部分条件探究对结论的影响;解题时读者必须全方位审题,挖掘、搜集必要的信息进行提炼,大胆推测结论,小心求证.
例1已知:
如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O.
(1)当P点在BC边上运动时,求证:
△BOP∽△DOE;
(2)设
(1)中的相似比为
,若AD︰BC=2︰3.请探究:
当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?
①当
=1时,是;②当
=2时,是;③当
=3时,是.并证明
=2时的结论.
分析:
(1)观察图形由两个三角形相似的判定条件:
“有两个角对应相等的两
三角形相似”容易证明△BOP∽△DOE.
(2)①当
=1时,由△BOP∽△DOE可知△BOP≌△DOE,所以BP=DE,又DE=AE,所以AE=BP,又AE//BP,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知四边形ABPE是平行四边形.
②直角梯形
③等腰梯形
证明:
∵k=2时,
∴BP=2DE=AD
又∵AD︰BC=2︰3∴BC=
AD
∴PC=BC-BP=
AD-AD=
AD=ED
又ED∥PC,∴四边形PCDE是平行四边形,又∵∠DCB=90°∴四边形PCDE是矩形∴∠EPB=90°
又∵在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB与DC不平行∴AE∥BP,AB与EP不平行
∴是直角梯形
评注:
解决本题的关键是通过△BOP∽△DOE,当相似比发生变化,取某些特殊的整数值(K=1,2,3)时找到BP与AD的数量关系,进一步通过计算发现PC与DE数量关系得出四边形PCDE的形状,再结合合情与演绎推理判断四边形ABPE的形状,整个问题以计算为先导,探索发现为目的,推理证明保驾护航,让动态的数学环境出现的几个静态的位置到达问题的高潮(问题的结论),使学生在知识的发生、发展过程中品味到特殊四边形的转化关系,确实是一道训练学生分析、探索思维不可多得美味佳肴.
相似三角形开放题中考直播
开放创新题开阔了同学们的视野,发展了同学们的发散思维能力和解题创新探索能力,因此倍受命题者的青睐,近年来在中考中频频亮相,另人耳目一新、目不暇接,现从中采撷几例相似三角形开放题,希望对同学们有所帮助和启发.
一.条件开放型
例1如图1在△ABC中D是AB边上一点,连接CD,要使△ADC与△ABC相似,应添加的条件是
解析:
考虑相似三角形判定方法,由图可知,已经有一个公共角A对应相等了,若根据两角对应相等两三角形相似需要添加∠ACD=∠B或者∠ADC=∠ACB,若根据两边对应成比例,两三角形相似需要添加
,就可以两个三角形相似.
评注:
本题是一道条件开放性试题,所给问题结论△ADC与△ABC相似,需要完备使△ADC∽△ABC的条件,答案不唯一,有利于同学们发挥自己的思维,找出符合条件的答案,由于只要找一个条件,相对来说降低了题目的难度.
二.结论开放型
例2如图2,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线);
(2)请分别说明两对三角形相似的理由.
分析:
△BAD∽△CAE,△ABC∽△ADE;∠BAD=∠CAE知∠BAC=∠DAE,又.∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE∴
又∵∠BAD=∠CAE∴△BAD∽△CAE
解:
(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE
(2)①证△ABC∽△ADE.∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE
又∵∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE
②证△ABD∽△ACE.
∵△ABC∽△ADE,∴
.
又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.
点评:
结论不唯一,具有开放性.本题判断相似比较容易,证明需灵活运用相似三角形的判定方法进行证明.
三.条件结论双开放型
例3如图3,Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC交斜边于点E,CC的延长线交BB于点F.
(1)证明:
△ACE∽△FBE;
(2)设∠ABC=
,∠CAC=
,试探索
、
满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
分析:
(1)证明两个三角形相似首先要考虑到方法是找出这两个三角形有两个对应角分别相等,:
△ACE、△FBE已经知道一组对顶角对应相等,还须知道另一组角对应相等,根据旋转的性质,不难得出:
△BAB、△CAC都是等腰三角形,且顶角度数相等,这样易求得∠ACC=∠ABB,由此,便可推出△ACE∽△FBE.第
(2)问是因果索因,答题时可先假设△ACE≌△FBE,再一步步地推出这两个三角形全等时
、
之间满足的关系.
解:
(1)证明:
∵Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,∴AC=AC,AB=AB,∠CAB=∠CAB∴∠CAC=∠BAB∴∠ACC=∠ABB,又∠AEC=∠FEB,∴△ACE∽△FBE..
(2)解:
当
时,△ACE≌△FBE.在△ACC中,∵AC=AC,∴
.在Rt△ABC中,∠ACC+∠BCE=90°,即
,∴∠BCE=
.∵∠ABC=
,∴∠ABC=∠BCE,∴CE=BE
由
(1)知:
△ACE∽△FBE,∴△ACE≌△FBE.
评注:
本题融相似三角形、全等三角形相关知识于一题,综合性较强,且第一问是由因执果,第二问则因果索因,题目设置上一正一反,考察了学生运用正向思维、逆向思维解题能力.
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