湖南三校高二数学联考试题文科含答案.docx
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湖南三校高二数学联考试题文科含答案
湖南三校2017-2018高二数学12月联考试题(文科含答案)
浏阳一中醴陵一中南方中学2017下学期高二年级联考
文科数学
总分:
150分时量:
120分钟考试时间:
2017年12月12日
命题人:
审题人:
一.选择题(共12小题,每题5分)
1.已知命题p:
若a>b>0,则a2>b2;命题q:
若x2=4,则x=2,.下列说法正确的是()
A.“p∨q”为假命题B.“p∧q”为假命题
C.“p”为真命题D.“q”为假命题
2.椭圆的离心率为()
A.B.C.2D.4
3.下列命题的说法错误的是()
A.对于命题p:
∀x∈R,x2+x+1>0,则p:
∃x0∈R,x02+x0+1≤0.
B.“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件.
C.“ac2<bc2“是“a<b“的必要不充分条件.
D.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:
“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”.
4.在等比数列中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,则a5=()
A.12B.18C.24D.36
5.已知函数f(x)=xex,则f′
(2)等于()
A.e2B.2e2C.3e2D.2ln2
6.已知双曲线(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为()
A.x±y=0B.C.D.2x±y=0
7.已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是()
A.a2<abB.|a|<|b|C.D.
8.已知某生产厂家的年利润y(单位:
万元)与年产量x(单位:
万件)的函数关系式为y=﹣+36x+126,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()
A.11万件B.9万件C.6万件D.7万件
9.函数y=的图象大致是()
A.B.C.D.
10.已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列,则等于()
A.B.C.D.
11.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()
A.3B.C.D.
12.已知定义在R上的函数f(x)=ex+mx2﹣m(m>0),当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f
(1)恒成立,则实数x1的取值范围是()
A.(﹣∞,0)B.C.D.(1,+∞)
二.填空题(共4小题,每题5分)
13.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y的最大值为.
14.已知m>0,n>0且n+2m=4,则+的最小值是.
15.如图是某算法的程序框图,若任意输入[,19]中的实数x,则输出的x大于49的概率为.
16.f(x)=ax3﹣x2+x+2,,∀x1∈(0,1],∀x2∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是.
三.解答题(共6小题,总共70分)
17.已知函数f(x)=x3﹣12x.
(1)求在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
18.在等差数列中,a1=﹣2,a12=20.
(Ⅰ)求通项an;
(Ⅱ)若,求数列的前n项和.
19.某家电公司销售部门共有200位销售员,每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务,已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2,22](单位:
百万元)内,现将其分成5组,第1组,第2组,第3组,第4组,第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],绘制出频率分布直方图.
(1)求a的值,并计算完成年度任务的人数;
(2)用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;
(3)现从
(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2位,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率.
20.已知椭圆C:
=1(a>b>0)经过点,一个焦点是F(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点,且|AB|=,求直线l的方程.
21.已知抛物线C顶点为O(0,0),焦点为F(1,0),A为抛物线C上第一象限的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|,延长AF交曲线C于点E.过点E作直线l1平行于l,设l1与此抛物线准线交于点Q.
(Ⅰ)求抛物线的C的方程;
(Ⅱ)设点A、B、E的纵坐标分别为yA、yB、yE,求的值;
(Ⅲ)求△AEQ面积的最小值.
22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1),a∈R
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≤恒成立,求a的取值范围.
浏阳一中醴陵一中南方中学2017下学期高二年级联考文科数学
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
题号123456789101112
答案BBCBCCCCDDAD
12.【解答】解:
∵不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f
(1)恒成立,
∴不等式f(x1)﹣f(x2)>f
(1)﹣f(0)恒成立,
又∵x1+x2=1,
∴不等式f(x1)﹣f(1﹣x1)>f
(1)﹣f(1﹣1)恒成立,
设g(x)=f(x)﹣f(1﹣x),
∵f(x)=ex+mx2﹣m(m>0),
∴g(x)=ex﹣e1﹣x+m(2x﹣1),
则g′(x)=ex+e1﹣x+2m>0,∴g(x)在R上单调递增,
∴不等式g(x1)>g
(1)恒成立,∴x1>1,故选:
D.
二.填空题(共4小题)
13.914.15.16.[﹣2,+∞)
16.【解答】解:
g′(x)=,而x∈(0,1],
故g′(x)>0在(0,1]恒成立,
故g(x)在(0,1]递增,
g(x)max=g
(1)=0,
若∀x1∈(0,1],∀x2∈(0,1],使得f(x1)≥g(x2),
只需f(x)min≥g(x)max即可;
故ax3﹣x2+x+2≥0在(0,1]恒成立,
即a≥在(0,1]恒成立,令h(x)=,x∈(0,1],
h′(x)=>0,h(x)在(0,1]递增,
故h(x)max=h
(1)=﹣2,故a≥﹣2,故答案为:
[﹣2,+∞).
三.解答题(共6小题)
17.【解答】解:
(1)∵f(x)=x3﹣12x,∴f
(1)=﹣11,
f′(x)=3x2﹣12,f′
(1)=﹣9,
故函数f(x)在(1,﹣11)处的切线方程是:
y+11=﹣9(x﹣1),
即9x+y+2=0;
(2)∵f(x)=x3﹣12x,
∴f′(x)=3x2﹣12,
令f′(x)>0,解得:
x>2或x<﹣2,
令f′(x)<0,解得:
﹣2<x<2,
∴f(x)在(﹣∞,﹣2),(2,+∞)递增,在(﹣2,2)递减,
∴f(x)极大值=f(﹣2)=16,f(x)极小值=f
(2)=﹣16.
18.【解答】解:
(Ⅰ)因为an=﹣2+(n﹣1)d,
所以a12=﹣2+11d=20.
于是d=2,所以an=2n﹣4.
(Ⅱ)因为an=2n﹣4,
所以.
于是,
令,则.
显然数列是等比数列,且,公比q=3,
所以数列的前n项和.
19【解答】解:
(1)2a=0.25﹣(0.02+0.08+0.09),解得a=0.03,
完成完成年度任务的人数200×4×(0.03+0.03)=48人,
(2)这5组的人数比为0.02:
0.08:
0.09:
0.03:
0.03=2:
8:
9:
3:
3,
故这5组分别应抽取的人数为2,8,9,3,3人
(3)设第四组的4人用a,b,c表示,第5组的3人用A,B,C表示,
从中随机抽取2人的所有情况如下ab,ac,aA,aB,aC,bc,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC共15种,其中在同一组的有ab,ac,bc,AB,AC,BC共6种,
故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=.
20【解答】解:
(1)椭圆C:
=1(a>b>0)经过点,
则:
①
椭圆的一个焦点是F(0,1).则a2﹣b2=1②
由①②得:
a2=4b2=3
椭圆C的方程:
③
(2)根据题意可知:
设直线l的方程为:
y=x+b④
联立③④得:
3(x+b)2+4x2=12
整理得:
7x2+6bx+3b2﹣12=0
∴
∵|AB|===
解方程得:
b=±2∴直线l的方程为:
y=x±2
故答案为:
(1)
(2)直线l的方程为:
y=x±2
21.【解答】解:
(Ⅰ)由抛物线C顶点为O(0,0),焦点为F(1,0),
即有抛物线的方程为y2=4x;
(Ⅱ)设,,
∵|AF|=|DF|∴,∴,
∴直线AD的方程为,
1)当
2)当直线AE的方程为,
由,可得∵yA=t,∴,
由,可得∵yA=t∴
∴;综上所得
(Ⅲ)直线l1方程为y=﹣x﹣,
令x=﹣1,可得Q(﹣1,﹣),yE=,取AE的中点G,
QG∥x轴,则S△AQE=|QG||yA﹣yE|,
|QG|=(++2)=(+)2,即有S△AQE=(t+)3≥
(2)3=4,
则S△AQE的最小值为4,当且仅当t=2取等号.
22.【解答】解:
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),,
若a≤0,则f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,则由f′(x)=0,得x=,
当x∈(0,)时,f′(x)>0,
当x∈()时,f′(x)<0,
∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.
所以当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.
(Ⅱ)f(x)﹣=,
令g(x)=xlnx﹣a(x2﹣1),(x≥1),
g′(x)=lnx+1﹣2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1﹣2ax,
,
①若a≤0,F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)上递增,
g′(x)≥g′
(1)=1﹣2a>0,
∴g(x)在[1,+∞)上递增,g(x)≥g
(1)=0,
从而f(x)﹣不符合题意.
②若0<a<,当x∈(1,),F′(x)>0,
∴g′(x)在(1,)上递增,
从而g′(x)>g′
(1)=1﹣2a,
∴g(x)在[1,+∞)上递增,g(x)≥g
(1)=0,
从而f(x)﹣不符合题意.
③若a,F′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
∴g′(x)在[1,+∞)上递减,g′(x)≤g′
(1)=1﹣2a≤0,
从而g(x)在[1,+∞)上递减,
∴g(x)≤g
(1)=0,f(x)﹣≤0,
综上所述,a的取值范围是[).
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