椭圆练习题经典归纳课件精选.docx
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椭圆练习题经典归纳课件精选
初步圆锥曲线
感受:
已知圆O以坐标原点为圆心且过点1,3
22
M,N为平面上关于原点对称的两点,已知N的坐
标为
0,
3
3
过N作直线交圆于A,B两点
(1)求圆O的方程;
(2)求ABM面积的取值范围
二.曲线方程和方程曲线
(1)曲线上点的坐标都是方程的解;
(2)方程的解为坐标的点都在曲线上.
三.轨迹方程
例题:
教材P.37A组.T3T4B组T2
练习1.设一动点P到直线l:
x3的距离到它到点A1,0的距离之比为
3
3
,则动点P的轨迹方程是
____
练习2.已知两定点的坐标分别为A1,0,B2,0,动点满足条件MBA2MAB,则动点M的轨
迹方程为___________
总结:
求点轨迹方程的步骤:
(1)建立直角坐标系
(2)设点:
将所求点坐标设为x,y,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
(3)列式:
从已知条件中发掘x,y的关系,列出方程
(4)化简:
将方程进行变形化简,并求出x,y的范围
四.设直线方程
设直线方程:
若直线方程未给出,应先假设.
(1)若已知直线过点
(x,y),则假设方程为y-y0=k(x-x0);
00
(2)若已知直线恒过y轴上一点0,t,则假设方程为ykxt;
(3)若仅仅知道是直线,则假设方程为ykxb
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论;
1
(4)若已知直线恒过x轴上一点(t,0),且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设
直线为x=my+t。
【反斜截式,
m
1
=】不含垂直于y轴的情况(水平线)
k
2y
2
例题:
圆C的方程为:
x20.
(1)若直线过点(0,4)且与圆C相交于A,B两点,且AB2,求直线方程.
(2)若直线过点(1,3)且与圆C相切,求直线方程.
(3)若直线过点(4,0)且与圆C相切,求直线方程.
2y
2
附加:
C(:
x3)(4)4.
若直线过点(1,0)且与圆C相交于P、Q两点,求
S最大时的直线方程.
CPQ
椭圆
1、椭圆概念
平面内与两个定点
F、F2的距离的和等于常数2a(大于|FF2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个
11
定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若M为椭圆上任意一点,则有
|MF||MF|2a.
12
注意:
2aFF表示椭圆;
12
2aFF表示线段F1F2;
12
2aFF没有轨迹;
12
2、椭圆标准方程
22
xy
椭圆方程为1
,设
222
aac
22
xy
2c2
ba,则化为1ab0
22
ab
这就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是
Fc,0,F2c,0,且
1
2c2
ba.
类比:
写出焦点在y轴上,中心在原点的椭圆的
标准方程
22
yx
2210
ab
ab
.
椭圆标准方程:
22
xy
221
(ab0)(焦点在x轴上)
ab
22
yx
或1(ab0)(焦点在y轴上)。
22
ab
注:
(1)以上方程中a,b的大小ab0,其中
222
bac;
(2)要分清焦点的位置,只要看
2
x和
2
y的分母的大小,“谁大焦点在谁上”
2
一、求解椭圆方程
22
xy
1已知方程1表示椭圆,则k的取值范围为__________.
3k2k
2y2
2.椭圆2x36的焦距是()
A.2B.2(32)C.25D.2(32)
53
3.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点)(,,则椭圆方程是()
22
2x22x
22x2
yC.1
yD.
yB.1
A.1
8410648
2y
2
x
106
1
4.过点(3,-2)且与椭圆4x
2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是()
A.
22
xy
1510
1
B.
22
xy
510
1
22
xy
C.1D.
1015
22
xy
2510
1
5.椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,
则该椭圆方程是.()
2
x
16
+
2
y
9
=1B.
2
x
16
+
2
y
12
=1C.
2
x
4
+
2
y
3
=1D.
2
x
3
+
2
y
4
A.=1
二、椭圆定义的应用
2y
2
x
1.椭圆1
上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为()2516
A.2B.3C.5D.7
2.设定点F(10,-3)、F(20,3),动点P满足条件9(0)
PF,则点P的轨迹是()
1PFaa
2
a
A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段
2y
2
3.过椭圆4x21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点,则A、B与椭圆的另一焦点F2
构成
ABF,那么ABF2的周长是()
2
A.22B.2C.2D.1
4.椭圆
22
xy
259
1
上的点M到焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,则|ON|为()
A.4B.2C.8D.
3
2
2y2x
5.椭圆1
的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,那么PF1是PF2123
的
A.4倍B.5倍C.7倍D.3倍
3
三、求椭圆轨迹方程
1.F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是
A.椭圆B.直线C.线段D.圆
2.设A,B的坐标分别为5,0,5,0.直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为
求点M的轨迹方程
4
9
,
22及点为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹3.已知圆C:
(x1)y25A(1,0),Q
方程为
4.P是椭圆
2y2
x
95
=1上的动点,过P作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM中点的轨迹方程为
22
42yx4
2
A、1
xB、y1
9595
2y
2
x
C、1
920
D、
2y
2
x
365
=1
2y2yx
22
5.动圆与圆O:
x1外切,与圆C:
x680内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A.抛物线B.圆C.椭圆D.双曲线一支
25
6.设Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线l:
x的距离的比是常数
4
4
5
,求点M的轨迹方程.
四、焦点三角形
2y
2
x
1.椭圆1的焦点F1、F2,P为椭圆上的一点,已知PF1PF2,则△F1PF2的面积为()
259
A.9B.12C.10D.8
2.
2y
2
x的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠
F1,F是椭圆1
2
97
0
AF1F45,则ΔAF1F2的面积为
2
7
775
A.7B.C.D.
4
222
x
3.若点P在椭圆21上,F1、F2分别是椭圆的两焦点,且F1PF290,则F1PF2的面积是
y2
A.2B.1C.
3
2
D.
1
2
4.若P为椭圆
22
xy
43
1上的一点,F1,F2为左右焦点,若F1PF2,求点P到x轴的距离.
3
5.设P是椭圆
2
x
4
21
y上的一点,
F1,F2是椭圆的两个焦点,则
PFPF的最大值为.
12
6.若P在椭圆
22
xy
21(5b0)
25b
上的一点,F1,F2为左右焦点,若F1PF2的最大值为
2
,则椭
圆的方程为.
7.P为椭圆
22
xy
94
1上一点,F1,F2为焦点,满足F1PF290的点的个数为.
4
五、椭圆的简单几何性质
①范围;②对称;③顶点;④离心率:
(0e1),刻画椭圆的扁平程度.
e
把椭圆的焦距与长轴的比
c
a
0e1叫椭圆的离心率。
e
c
a
2
2
c
a
2
a
a
2
2
b
1
b
a
2
2y2
1.椭圆4x25100的长轴长等于____________,短半轴长等于____________,焦距_________,
左焦点坐标____________,离心率________,顶点坐标_________.
求离心率(构造a,c的齐次式,解出e)
1.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为
1
3
,长轴长为12,则椭圆方程为()
2y2
x
A.1
144128
2y2
x
或1
128144
2y2
x
B.1
64
2y22y
2
xx
C.1或1
36323236
2y2
x
D.1
46
2y2
x
或1
64
2.已知椭圆
25250
mxymm的离心率为
10
e,求m.
5
3.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则椭圆的离心率是
22
xy
4.若椭圆1,(ab0)短轴端点为满足,则椭圆的离心率为.
PPF1PF2e22
ab
22
12
xye
5.已知1(m0.n0)则当mn取得最小值时,椭圆1的离心率为.
22
mnmn
22
xy1
6.椭圆1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣,
22
2ab
则椭圆的离心率为.
e
7.以椭圆的右焦点F2为圆心作圆,使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,椭圆的左焦点为
e
F1,直线MF1与圆相切,则椭圆的离心率为.
8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角
形,则椭圆的离心率为.
e
FF2MF1MF20M
9.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范
1
围是.
22
xy
ab0P,
10.设分别是椭圆221()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段
F,F
12
ab
PF
1
的中垂线过点F,则椭圆离心率的取值范围是.
2
六、直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆方程,消参数,得关于x或y的一个一元二次方程;
(1)相交:
0,直线与椭圆有两个交点;
5
(2)相切:
0,直线与椭圆有一个交点;(3)相离:
0,直线与椭圆无交点;
弦长公式:
若直线l:
ykxm与椭圆
22
xy
221(ab0)
ab
相交于P,Q两点,求弦长|PQ|的步骤:
设
P(x,y),Q(x,y),联立方程组(将直线方程代入椭圆方程):
1122
ykxm,
222222
bxayab,
消去y整理成关于x的一元二次方程:
20
AxBxC,
则x1,x2是上式的两个根,
B
240
BAC;由韦达定理得:
x1x2,
A
C
x1x2,
A
又P,Q两点在直线l上,故
y1kx1m,y2kx2m,则y2y1k(x2x1),从而
22
|PQ|(xx)(yy)
2121
222
(xx)k(xx)
2121
22
(1k)(xx)
21
22
(1k)[(xx)4xx]
1212
1
2
k
A
【注意:
如果联立方程组消去x整理成关于y的一元二次方程:
20
Ay+By+C=,则
11
2
|PQ|
(1)(yy)1=
21
22
kkA
1
2
m
A
2
x
2
1.已知椭圆方程为1
y
与直线方程
2
1
l:
yx相交于A、B两点,求AB=____________.
2
2
2.设抛物线y4x
截直线y2xm所得的弦长AB长为35,求m=___________.
2
x
2
3.椭圆方程为1,通径=__________.
y2
2y
2
x
4.椭圆1
164
上的点到直线x2y20的最大距离是()
A.3B.11C.22D.10
点差法
2y
2
1.椭圆4x9144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程
为.
2.过椭圆M:
2
2
x
a
y
b
2
2
=1(a>b>0)右焦点的直线xy30交M于A,B两点,P为AB的中点,
且OP的斜率为
1
2
.求M的方程.
6
综合问题
1.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,
两准线(注:
左右准线方程为
x
2
a
c
)间的距离为4
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
2.已知椭圆G:
2
x
4
21
y,过点(m,0)作圆
221
xy的切线l交椭圆G于A,B两点。
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值。
3.已知椭圆C:
2
x
2
a
y
b
2
2
=1(a>b>0)的离心率为
6
3
短轴一个端点到右焦点的距离为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为
3
2
,求△AOB面积的最大值.
4.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:
ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过
椭圆C的右顶点,求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标
7
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